话题
搜索

Lerch超越


Lerch超越是Hurwitz zeta函数多对数功能。许多倒数和权力可以用它的经典定义是

 Phi(z,s,a)=sum_(k=0)^inff(z^k)/((a+k)^s),
(1)

对于|z |<1a=0-1….它以这种形式实现为HurwitzLerchPhi公司[z]在中Wolfram语言.

略有不同的形式

 Phi^*(z,s,a)=sum_(k=0)^inff(z^k)/([(a+k)^2]^(s/2))
(2)

有时也表示Phi^~(z,s,a),用于|z |<1(或|z |=1R[s]>1)和a=0-1-2, ..., 在中实现沃尔夫拉姆语言作为勒克菲[z]. 请注意,这两者仅在以下情况下相同R[a]>0.

一个级数公式功率因数(z,s,a)在复合体中的较大域上有效z-平面由以下公式给出

 (1-z)功率因数(z,s,a)=sum_(n=0)^infty((-z)/(1-z))^nsum_(k=0.)^n(-1)^k(n;k)(a+k)^(-s),
(3)

适用于所有复杂情况秒和复杂z具有R[z]<1/2(Guillera和Sondow,2005年)。

Lerch超越可以用来表达迪里克莱β函数

β(s)=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(2k+1)^
(4)
=2^(-s)Phi(-1,s,1/2)。
(5)

特殊情况如下所示

 Phi(z,n,1)=(Li_n(z))/z,
(6)

(Guillera和Sondow,2005年),其中Li_n(z)多对数.

给出简单常数的特殊情况包括

Phi(-1,2,1/2)=4公里
(7)
(partialPhi)/(partials)(-1,-1,1)=ln((A^3)/(2^(1/3)e^(1/4)))
(8)
(partialPhi)/(partials)(-1,-2,1)=(7zeta(3))/(4pi^2)
(9)
(partialPhi)/(partials)(-1,-1,1/2)=K/π
(10)

哪里K(K)加泰罗尼亚常数泽塔(3)阿佩里常数一个Glaisher-Kinkelin常数(吉列拉和Sondow 2005)。

它给出了费米-狄拉克统计分布

int_0^infty(k^sdk)/(e^(k-mu)+1)=e^muGamma(s+1)Phi(-e^mu,s+1,1)
(11)
=-γ(s+1)Li_(1+s)(-e^mu),
(12)

哪里伽马(z)伽马函数锂_n(z)多对数玻色-爱因斯坦分布

int_0^infty(k^sdk)/(e^(k-mu)-1)=e^muGamma(s+1)Phi(e^mu,s+1,1)
(13)
=γ(s+1)Li_(1+s)(e^mu)。
(14)

二重积分牵涉到超越的领袖包括

 int_0^1int_0^1(x^(u-1)y^(v-1))/(1-xyz)[-ln(xy)]^sdxdy=伽马(s+1)(Phi(z,s+1,v)-Phi(z,s+1,u))/(u-v)int_0^1int_0^1((xy)^(u-1))/(1-xyz)[-ln(xy)]^sdxdy=伽马Phi(z,s+2,u),
(15)

哪里伽马(z)伽马函数。这些公式导致各种漂亮的特例单位正方形积分(Guillera和Sondow,2005年)。

它还可以用于评估Dirichlet L系列.


另请参见

玻色-爱因斯坦分布Dirichlet Beta函数迪里克莱L系列费米-迪拉克分布Hurwitz Zeta函数雅各比Theta函数Legendre的Chi-Function多对数单位方形积分

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylographs/LerchPhi/

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情:

工具书类

埃尔德莱伊,A。;马格纳斯,W。;Oberhettinger,F。;和F.G.特里科米。“功能Psi(z,s,v)=sum_(n=0)^(infty)(v+n)^." §1.11在里面较高的先验函数,第1卷。纽约:Krieger,第27-31页,1981I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。“Lerch函数功率因数(z,s,v)."§9.55英寸桌子积分、级数和乘积,第6版。加州圣地亚哥:学术出版社,第10292000页。Guillera,J.和Sondow,J.“二重积分一些经典常数的无穷乘积勒赫的超越。“2005年6月16日http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.泰吉,S.“Riemann-Zeta、Lerch和Dirichlet的双指数方法L(左)-功能。"https://arxiv.org/abs/2203.02509.2022年3月7日。

参考Wolfram | Alpha

Lerch超越

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“领袖超越。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LerchTranscendent.html

主题分类