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Lerch超越

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Lerch先验是Hurwitz zeta函数和多对数功能。许多倒数和权力可以用它的经典定义是

Phi（z，s，a）=sum_（k=0）^inff（z^k）/（（a+k）^s），
(1)

对于|z |<1和a！=0,-1,….它以这种形式实现为HurwitzLerchPhi公司[z（z）,秒,一]在中Wolfram语言.

略有不同的形式

Phi^*（z，s，a）=sum_（k=0）^inff（z^k）/（[（a+k）^2]^（s/2））
(2)

有时也表示Phi^~（z，s，a），用于|z |<1（或|z |=1和R[s]>1)和a！=0,-1,-2, ...，在中实现沃尔夫拉姆语言作为勒克菲[z（z）,秒,一].请注意，这两者仅在以下情况下相同R[a]>0.

一个级数公式Phi（z，s，a）在复合体中的较大域上有效z（z）-平面由以下公式给出

（1-z）功率因数（z，s，a）=sum_（n=0）^infty（（-z）/（1-z））^nsum_（k=0.）^n（-1）^k（n；k）（a+k）^（-s），
(3)

适用于所有复杂情况秒和复杂z（z）具有R[z]<1/2（Guillera和Sondow，2005年）。

Lerch超越可以用来表达狄利克雷β函数

β（s）=sum_（k=0）^（infty）（-1）^k（2k+1）^
(4)
=2^（-s）Phi（-1，s，1/2）。
(5)

特殊情况如下所示

Phi（z，n，1）=（Li_n（z））/z，
(6)

（Guillera和Sondow，2005年），其中Li_n（z）是多对数.

给出简单常数的特殊情况包括

功率因数（-1，2，1/2）=4公里
(7)
（partialPhi）/（partials）（-1，-1,1）=ln（（A^3）/（2^（1/3）e^（1/4）））
(8)
（partialPhi）/（partials）（-1，-2,1）=（7zeta（3））/（4pi^2）
(9)
（partialPhi）/（partials）（-1，-1,1/2）=K/π
(10)

哪里K（K）是加泰罗尼亚常数,泽塔（3）是阿佩里常数,和A类是Glaisher-Kinkelin常数（吉列拉和Sondow 2005）。

它给出了费米-狄拉克统计分布

int_0^infty（k^sdk）/（e^（k-mu）+1）=e^muGamma（s+1）Phi（-e^mu，s+1，1）
(11)
=-γ（s+1）Li_（1+s）（-e^mu），
(12)

哪里伽马（z）是伽马函数和Li_n（z）是多对数和玻色-爱因斯坦分布

int_0^infty（k^sdk）/（e^（k-mu）-1）=e^muGamma（s+1）Phi（e^mu，s+1，1）
(13)
=伽马（s+1）Li_（1+s）（e^mu）。
(14)

二重积分牵涉到超越的领袖包括

int_0^1int_0^1（x^（u-1）y^（v-1））/（1-xyz）[-ln（xy）]^sdxdy=伽马（s+1）（Phi（z，s+1，v）-Phi（z，s+1，u））/（u-v）int_0^1int_0^1（（xy）^（u-1））/（1-xyz）[-ln（xy=伽马Phi（z，s+2，u），
(15)

哪里伽马（z）是伽马函数。这些公式导致各种漂亮的特例单位正方形积分（Guillera和Sondow，2005年）。

它还可以用于评估Dirichlet L系列.

另请参见

玻色-爱因斯坦分布,Dirichlet Beta函数,迪里克莱L系列,费米-迪拉克分布,Hurwitz Zeta函数,雅各比Theta函数,Legendre的Chi-Function,多对数,单位方形积分

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylographs/LerchPhi/

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工具书类

埃尔德莱伊，A。；马格纳斯，W。；Oberhettinger，F。；和F.G.特里科米。“功能Psi（z，s，v）=sum_（n=0）^（infty）（v+n）^." §1.11在里面较高的先验函数，第1卷。纽约：克里格，第27-31页，1981I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。“Lerch函数功率因数（z，s，v）."§9.55英寸桌子积分、级数和乘积，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，第1029页，2000年。Guillera，J.和Sondow，J.“二重积分和一些经典常数的无穷乘积勒赫的超越。“2005年6月16日http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.泰吉，S.“Riemann-Zeta、Lerch和Dirichlet的双指数方法L（左）-功能。"https://arxiv.org/abs/2203.02509.2022年3月7日。

参考Wolfram | Alpha

Lerch超越

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“领袖超越。”发件人数学世界--Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/LerchTranscendent.html

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