Lerch超越是Hurwitz zeta函数和多对数功能。许多倒数和权力可以用它的经典定义是
![Phi(z,s,a)=sum_(k=0)^inff(z^k)/((a+k)^s),](/images/equations/LerchTranscendent/NumberedEquation1.svg) |
(1)
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对于
和
,
,….它以这种形式实现为HurwitzLerchPhi公司[z,秒,一]在中Wolfram语言.
略有不同的形式
![Phi^*(z,s,a)=sum_(k=0)^inff(z^k)/([(a+k)^2]^(s/2))](/images/equations/LerchTranscendent/NumberedEquation2.svg) |
(2)
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有时也表示
,用于
(或
和
)和
,
,
, ..., 在中实现沃尔夫拉姆语言作为勒克菲[z,秒,一]. 请注意,这两者仅在以下情况下相同
.
一个级数公式
在复合体中的较大域上有效
-平面由以下公式给出
![(1-z)功率因数(z,s,a)=sum_(n=0)^infty((-z)/(1-z))^nsum_(k=0.)^n(-1)^k(n;k)(a+k)^(-s),](/images/equations/LerchTranscendent/NumberedEquation3.svg) |
(3)
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适用于所有复杂情况
和复杂
具有
(Guillera和Sondow,2005年)。
Lerch超越可以用来表达迪里克莱β函数
特殊情况如下所示
![Phi(z,n,1)=(Li_n(z))/z,](/images/equations/LerchTranscendent/NumberedEquation4.svg) |
(6)
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(Guillera和Sondow,2005年),其中
是多对数.
给出简单常数的特殊情况包括
哪里
是加泰罗尼亚常数,
是阿佩里常数,和
是Glaisher-Kinkelin常数(吉列拉和Sondow 2005)。
它给出了费米-狄拉克统计分布
哪里
是伽马函数和
是多对数和玻色-爱因斯坦分布
二重积分牵涉到超越的领袖包括
![int_0^1int_0^1(x^(u-1)y^(v-1))/(1-xyz)[-ln(xy)]^sdxdy=伽马(s+1)(Phi(z,s+1,v)-Phi(z,s+1,u))/(u-v)int_0^1int_0^1((xy)^(u-1))/(1-xyz)[-ln(xy)]^sdxdy=伽马Phi(z,s+2,u),](/images/equations/LerchTranscendent/NumberedEquation5.svg) |
(15)
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哪里
是伽马函数。这些公式导致各种漂亮的特例单位正方形积分(Guillera和Sondow,2005年)。
它还可以用于评估Dirichlet L系列.