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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A036968号 Genocchi数(第一类):2*x/(exp(x)+1)的展开式。 27
1,-1,0,1,0,-3,0,17,0,-155,0,2073,0,-38227,0,929569,0,-28820619,0,1109652905,0,-51943281731,0,29051510444881,0,-191329672483963,0,146556626154768697,0,-1291885088448017715,0,129848163681107301953 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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a(1)的符号取决于选择哪种约定:B(n)=B_n(1)或B(n)=B_n(0),其中B(n)是伯努利数,B峎n(x)是伯努利多项式(见维基百科上关于伯努利数的文章)。给出的定义符合B(n)=B\n(0)。约定B(n)=B峎n(1)对应于e.g.f.-2*x/(1+exp(-x))。-彼得·卢什尼2013年6月28日

根据Hetyei【2017年】,“除了最大的顶点外,每个顶点至少开始一次上升的交替非循环锦标赛,以第一类Genocchi数计算。”-丹尼·罗拉堡2017年4月25日

参考文献

五十、 Comtet,《高级组合学》,Reidel,1974年,第49页。

A、 弗莱彻,J.C.P.Miller,L.Rosenhead和L.J.Comrie,数学表格索引。沃尔斯。1和2,第2版,布莱克威尔,牛津和艾迪生韦斯利,雷丁,1962年,第一卷,第73页。

R、 L.Graham,D.E.Knuth和O.Patashnik,混凝土数学。Addison Wesley,雷丁,马萨诸塞州,1990年,第528页。

R、 斯坦利,计数组合学,剑桥,第2卷,1999年;见问题5.8。

H、 M.Terrill和E.M.Terrill,与切线系数相关的数字表,J.Franklin Inst.,239(1945),66-67。

链接

真山真一,n=1..551的n,a(n)表

R、 阿奇博尔德,特瑞尔论文述评,数学。《比较》,1(1945年),第385-386页。

光武臣,正则C-分式的一个有趣引理《整数序列杂志》,第6卷,2003年。

D、 杜蒙,Genocchi nombres de Genocchi综合解释,杜克数学。J、 ,41(1974年),305-318年。

D、 杜蒙,Genocchi地名组合,杜克数学。J、 ,41(1974年),305-318年。(带注释的扫描副本)

H、 -C.赫比格,D.赫登,C.西顿,关于x^2/(1-x)的合成,arXiv预印本arXiv:1404.1022[math.SG],2014年。

Gábor Hetyei,交替非循环锦标赛,arXiv:math/1704.07245[math.CO],2017年。

G、 克雷韦拉斯,一级和二级热那契的排列组合,欧洲。J、 第18卷,第49-58页,1997年。

维基百科,伯努利数

维基百科,Genocchi编号

公式

E、 g.f.:2*x/(实验(x)+1)。

a(n)=2*(1-2^n)*B_n(B=伯努利数)。-贝诺伊特·克罗伊特2003年10月26日

2*x/(exp(x)+1)=x+和{n>0}x^(2*n)*G{2*n}/(2*n)!。

a(n)=和{k=0^(n-1)}二项式(n,k)2^k*B(k)。-彼得·卢什尼2009年4月30日

谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月12日开始:(2012年12月23日)

E、 g.f.:2*x/(exp(x)+1)=x-x^2/2*g(0),其中g(k)=1-x^2/(x^2+4*(2*k+1)*(2*k+3)/g(k+1))。

E、 g.f.:2/(E(0)+1),其中E(k)=1+x/(2*k+1-x*(2*k+1)/(x+(2*k+2)/E(k+1)))。

G、 f.:2-1/G(0),其中G(k)=1-x*(k+1)/(1+x*(k+1)/(1-x*(k+1)/(1+x*(k+1)/G(k+1)))。

E、 g.f.:2*x/(1+exp(x))=2*x-2-2*T(0),其中T(k)=4*k-1+x/(2-x/(4*k+1+x/(2-x/T(k+1)))。

G、 f.:2-Q(0)/(1-x+x^2),其中Q(k)=1-x^4*(k+1)^4/(x^4*(k+1)^4-(1-x+x^2+2*x^2*k*(k+1))*(1-x+x^2+2*x^2*(k+1)*(k+2))/Q(k+1))。(结束)

对于n>1,a(n)=n*zeta(1-n)*(2^(n+1)-2)。-彼得·卢什尼2013年6月28日

O、 g.f.:x*Sum{n>=0}n!*(-x)^n/(1-n*x)/乘积{k=1..n}(1-k*x)。-保罗·D·汉娜2014年8月3日

枫木

a:=n->n*euler(n-1,0)#彼得·卢什尼2009年7月13日

数学

a[n_u]:=n*EulerE[n-1,0];表[a[n],{n,1,32}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年12月8日,之后彼得·卢什尼*)

范围[0,31]!系数列表[系列[2x/(1+Exp[x]),{x,0,32}],x](*罗伯特·G·威尔逊五世2012年10月26日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*波尔科夫(2*x/(1+exp(x+x*O(x^n))),n))}/*迈克尔·索莫斯2005年7月23日*/

(鼠尾草)#带(1)=-1

[z*zeta(1-z)*(2^(z+1)-2)代表z in(1..32)]#彼得·卢什尼2013年6月28日

#或者:

定义A036968号_列表(长度):

e,f,R,C=4,1,[],[1]+[0]*(长度-1)

对于n in(2..len-1):

对于范围(n,0,-1)中的k:

C[k]=C[k-1]/(k+1)

C[0]=-和(C[k]代表k in(1..n))

R.append((2-e)*f*C[0])

f*=n;e*=2

返回R

打印(A036968号_列表(34))#彼得·卢什尼2016年2月22日

(平价)/*来自o.g.f(保罗·D·汉娜2014年8月3日):*/

{a(n)=局部(a=1);a=x*和(m=0,n,m!*(-x)^m/(1-m*x)/生产(k=1,m,1-k*x+x*O(x^n));波尔科夫(A,n)}

对于(n=1,32,print1(a(n),“,”)

交叉引用

A001469号是此序列的主条目。A226158是另一个版本。

囊性纤维变性。A083007号,A083008年,A083009年,A083010型,A083011型,A083012型,A083013型,A083014型.

上下文顺序:A038122型 A143779号 A240244号*A226158 A024040型 A009759号

相邻序列:A036965号 A036966号 A036967号*A036969号 A036970型 A036971号

关键字

签名,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月9日13:27。包含335543个序列。(运行在oeis4上。)