显示找到的38个结果中的1-10个。
1, 0, 1, 0, -1, 5, -14, 35, -81, 180, -389, 825, -1726, 3575, -7349, 15020, -30561, 61965, -125294, 252795, -509161, 1024100, -2057549, 4130225, -8284926, 16609455, -33282989, 66669660, -133507081, 267285605, -535010414, 1070731475, -2142612801, 4287086100
配方奶粉
通用公式:(1+3*x+2*x^2+x^3)/((1+2*x)*(1+x-x^2))-R.J.马塔尔2008年9月22日
a(n)=(-1)^(n+1)*(2^(n-1)-F(n+1-F(n-1)),其中F(n)=A000045号(n) ,对于n>=1,a(0)=1-约翰内斯·梅耶尔2010年8月15日
a(n)=-3*a(n-1)-a(n-2)+2*a(n-3)-韦斯利·伊万·赫特,2017年10月6日
数学
表[(-1)^n*(LucasL[n]-2^(n-1))-Boole[n==0]/2,{n,0,40}](*G.C.格鲁贝尔,2021年4月14日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[1]猫[(-1)^n*(卢卡斯(n)-2^(n-1)):n in[1..40]]//G.C.格鲁贝尔2021年4月14日
对于(1..40)中的n,(鼠尾草)[1]+[(-1)^n*(lucas_number2(n,1,-1)-2^(n-1))]#G.C.格鲁贝尔2021年4月14日
1, 2, 5, 14, 39, 107, 290, 779, 2079, 5522, 14615, 38579, 101634, 267347, 702455, 1844114, 4838079, 12686507, 33254210, 87141659, 228301839, 598026002, 1566300455, 4101923939, 10741568514, 28126975907, 73647747815, 192833044754, 504884940879, 1321888886747
评论
第k次迭代差中的第二项是2、3、6、10、17、28、46=A001610号(k+1)。
配方奶粉
通用公式:(1-3*x+2*x^2+x^3)/((1-3*x+x^2)*(1-2*x))。
a(n)=5*a(n-1)-7*a(n-2)+2*a(n-3);a(0)=1,a(1)=2,a(2)=5,a(3)=14-哈维·P·戴尔2011年8月8日
a(n)=(-2^(-1+n)+((3-sqrt(5))/2)^n+((3+sqrt)(5)/2)^n),对于n>0-科林·巴克2017年6月5日
MAPLE公司
1,seq(组合[fibonacci](2*n+1)+组合[fibosacci](2*n-1)-2^(n-1),n=1..30)#G.C.格鲁贝尔2021年4月13日
数学
系数列表[级数[(1-3x+2x^2+x^3)/(1-3x+x^2)(1-2x)),{x,0,30}],x](*或*)联接[{1},线性递归[{5,-7,2},{2,5,14},30]](*哈维·P·戴尔2011年8月8日*)
黄体脂酮素
(PARI)Vec((1-3*x+2*x^2+x^3)/(1-3x+x^2)*(1-2*x))+O(x^30))\\科林·巴克2017年6月5日
(岩浆)[1]猫[Lucas(2*n)-2^(n-1):n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2021年4月13日
(鼠尾草)[1]+[lucas_number2(2*n,1,-1)-2^(n-1)for n in(1..30)]#G.C.格鲁贝尔2021年4月13日
3, 5, 9, 13, 23, 35, 59, 93, 153, 245, 399, 643, 1043, 1685, 2729, 4413, 7143, 11555, 18699, 30253, 48953, 79205, 128159, 207363, 335523, 542885, 878409, 1421293, 2299703, 3720995, 6020699, 9741693, 15762393, 25504085, 41266479, 66770563
评论
最低有效数字是周期长度为4:3,5,9,3的序列。
一个人可以延伸A014217号使用其递归定义A014217号(-1)=-1. 根据定义,这将在此处添加a(-1)=3,最低有效数字仍将跟随长度为4:3,3,5,9的(相同,换行)周期。
配方奶粉
a(2n+2)=a(2n+1)+a(2n)+1。a(2n+3)=a(2n+2)+a(2n-1)-1。
发件人R.J.马塔尔,2009年2月7日,2009年4月18日:(开始)
a(n)=2*a(n-2)+a(n-3)=(-1)^n+2*A000032号(n+1)。
G.f.:(3+5x+3x^2)/((1+x)(1-x-x^2))。(结束)
a(n)=((-2)^n+(1-平方(5))^(1+n)+(1+sqrt(5)-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年12月25日
数学
线性递归[{0,2,1},{3,5,9},40](*哈维·P·戴尔2022年6月23日*)
1, 4, 15, 53, 187, 656, 2301, 8071, 28308, 99293, 348275, 1221603, 4284864, 15029495, 52717114, 184909361, 648583888, 2274958177, 7979591823, 27989035739, 98173708464, 344351878525, 1207840857737, 4236595263812, 14860185689435, 52123251095327
评论
假设s=(c(0),c(1),c是序列,p(S)是多项式。设S(x)=c(0)*x+c(1)*x^2+c(2)*x*^3+。。。和T(x)=(-p(0)+1/p(S(x)))/x。取p(S)=1-S得到S的“INVERT”变换,因此p-INVERT是“INVERT”变换的推广(例如。,A033453号).
配方奶粉
通用公式:(1-x^2+x^3)*。
当n>7时,a(n)=3*a(n-1)+4*a(n-2)-7*a(n3)-5*a(-n4)+7*a(v-5)+4*a(n-6)-3*a(7-7)-a(n-8)。
(结束)
数学
z=60;r=黄金比率;s=总和[下限[r^k]x^k,{k,1,z}];p=1-s-s^2;
删除[CoefficientList[Series[s,{x,0,z}],x],1](*A014217号移位*)
删除[CoefficientList[Series[1/p,{x,0,z}],x],1](*A289927型*)
2, 4, 6, 10, 18, 28, 46, 76, 122, 198, 322, 520, 842, 1364, 2206, 3570, 5778, 9348, 15126, 24476, 39602, 64078, 103682, 167760, 271442, 439204, 710646, 1149850, 1860498, 3010348, 4870846, 7881196, 12752042, 20633238, 33385282, 54018520, 87403802, 141422324, 228826126
配方奶粉
a(n)=卢卡斯(n+1)-(1/2)*(1+(-1)^((n+2)mod 3))-G.C.格鲁贝尔2021年4月14日
数学
表[LucasL[n+1]-(1/2)*(1+(-1)^Mod[n+2,3]),{n,45}](*G.C.格鲁贝尔2021年4月14日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[卢卡斯(n+1)-(1/2)*(1+(-1)^(n+2)mod 3)):n in[1..45]]//G.C.格鲁贝尔2021年4月14日
(鼠尾草)[(1..45)中n的lucas_number2(n+1,1,-1)-(1/2)*(1+(-1)^((n+2)%3)]#G.C.格鲁贝尔2021年4月14日
2, 4, 11, 17, 46, 76, 199, 321, 842, 1364, 3571, 5777, 15126, 24476, 64079, 103681, 271442, 439204, 1149851, 1860497, 4870846, 7881196, 20633239, 33385282, 87403803, 141422324, 370248451, 599074578
配方奶粉
a(n)=楼层(r^m(n)),其中r=(1+sqrt(5))/2和m(n
当k>=0时,通过整数3k+2和3k+3。
例子
a(1)=楼面(r^2)=2,a(2)=楼房(r^3)=4,a(3)=楼盖(r^5)=11。
1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 17, 20, 29, 31, 46, 54, 76, 97, 122, 148, 199, 306, 321, 403, 521, 842, 961, 1096, 1364, 2206, 2980, 3020, 3571, 5777, 8103, 9349, 9488, 15126, 22026, 24476
例子
a(8)=6,因为楼层((1+sqrt(5))/2)^4)=6;a(9)=7,原因是楼层(e^2)=7;a(10)=9,原因是楼板(Pi^2)=9。
1, 1, 11, 17, 29, 199, 321, 521, 3571, 5777, 9349, 64079, 103681, 167761, 1149851, 1860497, 3010349, 20633239
1, 1, 4, 2, 11, 6, 29, 17, 76, 46, 199, 122, 521, 321, 1364, 842, 3571, 2206, 9349, 5777, 24476, 15126, 64079, 39602, 167761, 103681, 439204, 271442, 1149851, 710646, 3010349, 1860497, 7881196, 4870846, 20633239, 12752042
评论
我们可以建立一个辅助函数b(n)=a(n+1)-2a(n)=-1,2,-6,7,。。。,其二分法b(2n)=a(2n+2)-2a(2n-A106729号(n) ●●●●。
配方奶粉
a(n)=4*a(n-2)-4*(n-4)+a(n-6)。通用格式:(1+x-2x^3-x^4+2x^5)/((1-x)(1+x)(x^2+x-1)(x*2-x-1))。[R.J.马塔尔,2009年1月23日]
Lucas数从2:L(n)=L(n-1)+L(n-2)开始,L(0)=2,L(1)=1。 (原名M0155)
+10 1427
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803
评论
此外,当n>=2时,循环图C_n的独立顶点集和顶点覆盖数-埃里克·韦斯特因2014年1月4日
此外,当n>=3时,n圈图C_n中的匹配数-埃里克·韦斯特因2017年10月1日
对于n>=3的n-helm图,给出了最大独立顶点集(和最大顶点覆盖)的个数-埃里克·韦斯特因2017年5月27日
同时给出了n>=3时n-sunlet图的最大独立顶点集(和最大顶点覆盖)的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月7日
这也是霍拉达姆层序(2,1,1,一)-罗斯·拉海耶2003年8月18日
对于不同素数p,q,L(p)与1 mod p同余,L(2p)与3 mod p和L(pq)同余1+q(L(q)-1)mod p。此外,L(m)除F(2km)和L(2k+1)m),k,m>=0。
a(n)=和{k=0..上限(n-1)/2)}P(3;n-1-k,k),n>=1,a(0)=2。这些是P(3;n,k)(3,1)Pascal三角形中SW-NE对角线上的和A093560号.观察者保罗·巴里,2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。(1,2)Pascal三角形的SW-NE对角和A029635号(T(0,0)替换为2)。
假设psi=log(phi)=A002390号如果n是偶数,则得到L(n)=2*cosh(n*psi)的表示;如果n为奇数,L(n)=2*sinh(n*psi)。斐波那契数也有类似的表示法(A000045号). 许多卢卡斯公式现在很容易从适当的sinh和cosh公式中学习。例如:单位cosh^2(x)-sinh^2(x)=1表示L(n)^2-5*F(n)*2=4*(-1)^n(设置x=n*psi)-Hieronymus Fischer公司2007年4月18日
L(n)的奇偶性很容易从它的定义中得到,它表明,当n是3的倍数时,L(n)是偶数,否则是奇数。
前六个乘法公式是:
L(2n)=L(n)^2-2*(-1)^n;
L(3n)=L(n)^3-3*(-1)^n*L(n;
L(4n)=L(n)^4-4*(-1)^n*L(n)^2+2;
L(5n)=L(n)^5-5*(-1)^n*L(n)^3+5*L(n);
L(6n)=L(n)^6-6*(-1)^n*L(n。
通常,L(n)|L(mn)当且仅当m是奇数。
在L(mn)的展开式中,其中m表示乘数,n表示L(n)已知值的指数,系数的绝对值是三角形第m行中的项A034807号当m=1且n=1,L(n)=1且所有项均为正时A034807号就是卢卡斯的数字。(结束)
米克洛斯·克里斯托夫(Miklos Kristof)于2007年3月19日提交的关于斐波那契数列的评论(A000045号)包含四个重要的恒等式,这些恒等式与卢卡斯数相似:
对于a>=b和奇数b,L(a+b)+L(a-b)=5*F(a)*F(b)。
对于a>=b和偶数b,L(a+b)+L(a-b)=L(a)*L(b)。
对于a>=b和奇数b,L(a+b)-L(a-b)=L(a)*L(b)。
对于a>=b和偶数b,L(a+b)-L(a-b)=5*F(a)*F(b)。
偶数b的差分恒等式的一个特别有趣的例子是L(A+30)-L(A-30)=5*F(A)*832040,因为5*832040-可以被100整除,证明卢卡斯数的最后两位数字在一个长度为60的循环中重复(参见A106291号(100)). (结束)
卢卡斯数满足显著的差分方程,在某些情况下,最好使用斐波那契数表示,其中代表性示例如下:
L(n)-L(n-3)=2*L(n-2);
L(n)-L(n-4)=5*F(n-2);
L(n)-L(n-6)=4*L(n-3);
L(n)-L(n-12)=40*F(n-6);
L(n)-L(n-60)=4160200*F(n-30)。
这些公式分别确定,卢卡斯数形成一个长度为3(mod 2)、长度为4(mod 5)、长度6(mod 4)、长度12(mod 40)和长度60(mod 4160200)的循环剩余系统。最后一个模可以被100整除,这说明卢卡斯数的最后两位数字在L(60)处开始重复。
卢卡斯数的可除性非常复杂,至今仍未完全理解,但在孙志宏2003年对斐波那契数同余的调查中,确立了几个重要的标准。(结束)
和{n>0}a(n)/(n*2^n)=2*log(2)-杰姆·奥利弗·拉丰,2009年10月11日
φ的幂,黄金比率,接近卢卡斯数的值,上面的奇数幂和下面的偶数幂-杰弗里·卡文尼2014年4月18日
二项式逆变换为(-1)^n*a(n)-迈克尔·索莫斯,2014年6月3日
如果x=a(n),y=a(n+1),z=a(n+2),那么-x^2-z*x-3*y*x-y^2+y*z+z^2=5*(-1)^(n+1-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年7月4日
梯形有三条边的长度,顺序为L(n-1)、L(n+1)、L。对于增加n,与最大面积非常接近的近似值的第四边等于2*L(n)。对于边为L(n-1)、L(n-3)、L-J.M.贝戈2016年3月17日
满足本福德定律【Brown-Duncan,1970;Berger-Hill,2017】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
对于n>=3,Lucas数L(n)是具有独立参数的仿射型a_n的交换Hecke代数的维数。参见定理1.4,推论1.5,以及第524页链接“具有独立参数的Hecke代数”中的表格-贾黄2019年1月20日
虽然所有质数都是斐波那契数列中的因子,但卢卡斯数并非如此。例如,L(n)永远不能被以下小于150的素数整除:5、13、17、37、53、61、73、89、97、109、113、137、149。。。请参阅A053028号猜想:可以确定这些素数的三个性质:
第一个观察结果:素因子>3出现在具有奇数指数的斐波那契数列中。
第二个观察结果:这些是素数p与2,3(模5)同余,作为素因子出现在斐波那契(p+1)和斐波那奇((p+1。
第三个观察:这些素数的Pisano周期长度,以A001175美元,总是可以被4整除,但不能被8整除。相反,卢卡斯数的素因子可以被2整除,但不能被4整除,也不能被8整除。(另请参阅中的评论A053028号作者:N.J.A.Sloane,2004年2月21日)。(结束)
L(n)是Fibonacci序列的4*k个连续项的总和(A000045号)除以斐波那契(2*k):(和{i=0..4*k-1,k>=1}F(n+i))/F(2*k)=L(n+2*k+1)。序列扩展为负指数,遵循规则a(n-1)=a(n+1)-a(n)-克劳斯·普拉斯2019年9月15日
L((2*m+1)k)/L(k)=和{i=0..m-1}(-1)^(i*(k+1))*L(2*m-2*i)*k)+(-1)(m*k)。
例如:k=5,m=2,L(5)=11,L(10)=123,L(20)=15127,L(25)=167761。L(25)/L(5)=15251,L(20)+L(10)+1=15127+123+1=15251。
(结束)
发件人彼得·巴拉,2021年12月23日:(开始)
高斯同余a(n*p^k)==a(n*p^(k-1))(mod p^ k)适用于所有素数p和正整数n和k。
对于正整数k,取模k的序列(a(n))n>=1成为纯周期序列。例如,取模11,序列变为[1,3,4,7,0,7,7,3,10,2,1,3,4,7,0、7,3、10、2…],一个周期为10的周期序列。(结束)
对于具有递推关系b(n)=b(n-1)+b(n-2)的任何序列,可以证明每个k项的递推关系由以下公式给出:=A000032号(k) *b(n-k)+(-1)^(k+1)*b(n-2k),必要时扩展为负指数-尼克·霍布森2024年1月19日
参考文献
P.Bachmann,Niedere Zahlentheorie(1902年,1910年),再版切尔西,纽约,1968年,第2卷,第69页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,同上,32,50。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第499页。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第46页。
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第148页。
Silvia Heubach和Toufik Mansour,《成分和单词组合学》,CRC出版社,2010年。
V.E.Hoggatt,Jr.、Fibonacci和Lucas Numbers。马萨诸塞州波士顿霍顿,1969年。
托马斯·科西(Thomas Koshy),斐波那契(Fibonacci)和卢卡斯(Lucas)数字及其应用,约翰·威利(John Wiley)和儿子(Sons),2001年。
C.N.Menhinick,斐波那契共振和其他新的黄金比率发现,Onperson,(2015),第200-206页。
Michel Rigo,《形式语言、自动机和数字系统》,第2卷。,威利,2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
S.Vajda,Fibonacci和Lucas数字以及黄金分割,Ellis Horwood有限公司,奇切斯特,1989年。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社,纽约,1986年,1987年修订版。见第83-84页。
链接
A.Aksenov,纽曼现象与卢卡斯序列,arXiv:1108.5352[math.NT],2011年。
A.T.Benjamin、A.K.Eustis和M.A.Shattuck,周期平铺的压缩定理及其结果,JIS 12(2009)09.6.3。
A.Berger和T.P.Hill,什么是本福德定律?、通知、Amer。数学。《社会》,64:2(2017),132-134。
Paula Burkhardt、Alice Zhuo-Yu Chan、Gabriel Currier、Stephan Ramon Garcia、Florian Luca和Hong Suh,广义Kloosterman和的可视化性质,arXiv:1505.00018[math.NT],2015年。
Charles Cratty、Samuel Erickson、Frehiwet Negass和Lara Pudwell,双重列表中的模式避免,预印本,2015年。
Wiktor Ejsmont和Franz Lehner,余切和的追踪方法,arXiv:2002.06052[math.CA],2020年。
G.Everest、Y.Puri和T.Ward,计数周期点的整数序列,arXiv:math/0204173[math.NT],2012年。
里戈伯托·弗洛雷斯(Rigoberto Flórez)、罗宾逊·A·希吉塔(Robinson A.Higuita)和安塔拉·穆克吉(Antara Mukherjee),Hosoya三角形中某些斐波那契恒等式的几何性质,arXiv:1804.02481[math.NT],2018年。
R.P.格里马尔迪,平铺、组成和泛化,J.国际顺序。13 (2010), 10.6.5.
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。见第12页。图书网站
V.E.Hoggat,Jr.和Marjorie Bicknell,模素数p的斐波那契数的几个同余,数学。Mag.47(4)(1974)210-214。
贾黄,具有独立参数的Hecke代数,arXiv预印本arXiv:1405.1636[math.RT],2014;《代数组合数学杂志》43(2016)521-551。
巴勃罗·兰·埃斯特拉达(Pablo Lam Estrada)、米利亚姆·罗萨利亚·马尔多纳多·拉米雷斯(Myriam Rosalía Maldonado-Ramírez)、何塞·路易斯·洛佩斯·博尼拉(JoséLuis López-Bonilla)和福斯托·贾奎恩·萨拉特,每个实二次域Q的Fibonacci和Lucas序列(Sqrt(d)),arXiv:1904.13002[math.NT],2019年。
爱德华·卢卡斯,简单周期数值函数理论斐波那契协会,1969年。文章“Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques,I”的英文翻译,Amer。数学杂志。,1 (1878), 184-240.
马修·麦考利、乔恩·麦卡蒙德和亨宁·莫特维特,异步细胞自动机的动力学组《代数组合数学杂志》,第33卷,第1期(2011年),第11-35页。
T.Mansour和M.Shattuck,n种颜色成分及其相关序列的统计,程序。印度科学院。科学。(数学科学)第124卷,第2期,2014年5月,第127-140页。
A.McLeod和W.O.J.Moser,循环二进制字符串计数,数学。Mag.,80(2007年第1期),29-37。
玛丽亚娜·纳吉(Mariana Nagy)、西蒙·科威尔(Simon R.Cowell)和瓦莱里乌·贝尤(Valeriu Beiu),三次斐波那契恒等式的研究——当长方体有重量时,arXiv:1902.05944[math.HO],2019年。
Yüksel Soykan,广义斐波那契数:求和公式《数学与计算机科学进展杂志》(2020)第35卷,第1期,第89-104页。
Yüksel Soykan,广义斐波那契数平方和的封闭公式《亚洲高级研究与报告杂志》(2020)第9卷,第1期,23-39,文章编号AJARR.55441。
罗曼·维图拉(Roman Witula)、达米安·斯洛塔(Damian Slota)和埃德塔·赫特马尼科(Edyta Hetmanik),不同已知整数序列之间的桥《Annales Mathematicae et Informaticae》,41(2013),第255-263页。
配方奶粉
通用名称:(2-x)/(1-x-x^2)。
L(n)=((1+sqrt(5))/2)^n+((1-sqrt。
L(n)=L(n-1)+L(n-2)=(-1)^n*L(-n)。
L(n)=斐波那契(2*n)/斐波那奇(n),对于n>0-杰夫·伯奇1999年12月11日
例如:2*exp(x/2)*cosh(sqrt(5)*x/2)-伦·斯迈利2001年11月30日
L(n)=F(n)+2*F(n-1)=F-亨利·博托姆利2000年4月12日
a(n)=2^(1-n)*和{k=0..floor(n/2)}C(n,2k)*5^k.a(nA053120元)i^2=-1-保罗·巴里2003年11月15日
L(n)=2*F(n+1)-F(n)-保罗·巴里2004年3月22日
a(n)=(φ)^n+(-phi)^(-n)-保罗·巴里2005年3月12日
L(n+m)+(-1)^m*L(n-m)=L(n)*L(m)。
L(n+m)-(-1)^m*L(n-m)=8*F(n)*F(m)。
L(n+m+k)+(-1)^k*L(n+m-k)+。
L(n+m+k)-(-1)^k*L。
L(n+m+k)+(-1)^k*L(n+m-k)-(-1)。
L(n+m+k)-(-1)^k*L(n+m-k)-。(结束)
反向:地板(log_phi(a(n))+1/2)=n,对于n>1。同样对于n>=0,floor((1/2)*log_phi(a(n)*a(n+1))=n。对所有整数n有效的扩展:floor((1/2)*sign(a(n)*a(n+1))*log_phi|a(n)*a(n+1)|)=n{其中sign(x)=x的sign}-Hieronymus Fischer公司2007年5月2日
a(n)=2X2矩阵[0,1;1,1]^n的迹-加里·亚当森2008年3月2日
对于奇数n:a(n)=楼层(1/(分数(φ^n)));对于偶数n>0:a(n)=上限(1/(1-分数(φ^n)))。这源于黄金比率φ的基本性质,即φ-φ^(-1)=1(参见A001622号).
a(n)=圆形(1/min(fract(phi^n),1-fract(φ^n))),对于n>1,其中fract(x)=x-地板(x)。(结束)
例如:exp(phi*x)+exp(-x/phi),其中phi:=(1+sqrt(5))/2(黄金分割)。1/φ=φ-1。请参阅Smiley中给出的另一种形式,例如f.注释-沃尔夫迪特·朗2010年5月15日
a(n)=2*a(n-2)+a(n-3),n>2-加里·德特利夫斯2010年9月9日
L(n)=2^n*(cos(Pi/5)^n+cos(3*Pi/5,^n))-加里·德特利夫斯2010年11月29日
L(n)=(斐波那契(2*n-1)*斐波那奇(2*n+1)-1)/(斐波纳契(n)*斐波那契(2*n)),n!=0. -加里·德特利夫斯2010年12月13日
L(n)=斐波那契(n+6)mod斐波那契(n+2),n>2-加里·德特利夫斯2011年5月19日
素数p的a(p*k)==a(k)(mod p)。a(p^2*k)==a(k)(mod p),用于素数p和s=0,1,2,3。[Hoggatt和Bicknell]-R.J.马塔尔2012年7月24日
L(k*n)=(F(k)*φ+F(k-1))^n+(F(k+1)-F(k)*phi)^n。
L(k*n)=(F(n)*phi+F(n-1))^k+(F(n+1)-F(n)*phi)^k。
其中φ=(1+sqrt(5))/2,F(n)=A000045号(n) ●●●●。
(结束)
L(n)=n*和{k=0..floor(n/2)}二项式(n-k,k)/(n-k),n>0[H.W.古尔德]-加里·德特利夫斯2013年1月20日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+1/(1-(x*(5*k-1))/((xx(5*k+4))-2/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月15日
L(n)=F(n)+F(n-1)+F-鲍勃·塞尔科2013年6月17日
L(n)=圆形(sqrt(L(2n-1)+L(2n-2)))-理查德·福伯格2014年6月24日
对于n>0,L(n)=(F(n+1)^2-F(n-1)^2)/F(n)-理查德·福伯格2014年11月17日
a(n)=(L(n+1)^2+5*(-1)^n)/L(n+2)-J.M.贝戈2016年4月6日
Dirichlet g.f.:PolyLog(s,-1/phi)+Poly对数(s,phi),其中phi是黄金比率-伊利亚·古特科夫斯基,2016年7月1日
L(n)=F(n+2)-F(n-2)-宇春记,2016年2月14日
L(n+1)=A087131号(n+1)/2^(n+1)=2^(-n)*Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*5^floor((k+1)/2)-托尼·福斯特三世,2017年10月14日
L(2*n)=(F(k+2*n)+F(k-2*n))/F(k);n>=1,k>=2*n-大卫·詹姆斯·桑莫尔2018年5月4日
L(3n+4)/L(3n+1)具有连分式:n 4's后跟单个7。
L(3n+3)/L(3n)具有连分数:n 4's后跟单个2。
L(3n+2)/L(3n-1)具有连分式:n 4's后跟单个-3。(结束)
根据规则a(n-1)=a(n+1)-a(n),所有涉及的序列都扩展为负指数。
L(n)=(2*L(n+2)-L(n-3))/5。
L(n)=(2*L(n-2)+L(n+3))/5。
L(n)=F(n-3)+2*F(n)。
L(n)=2*F(n+2)-3*F(n)。
L(n)=(3*F(n-1)+F(n+2))/2。
L(n)=3*F(n-3)+4*F(n-2)。
L(n)=4*F(n+1)-F(n+3)。
L(n)=(F(n-k)+F(n+k))/F(k),奇数k>0。
L(n)=(F(n+k)-F(n-k))/F(k),偶数k>0。
以下两个公式适用于斐波那契类型的所有序列。
(a(n-2*k)+a(n+2*k))/a(n)=L(2*k。
(a(n+2*k+1)-a(n-2*k-1))/a(n)=L(2*k+1。(结束)
F(n+2*m)=L(m)*F(n+m)+(-1)^(m-1)*F(n)对于所有n>=0和m>=0-亚历山大·伯斯坦2022年3月31日
a(n)=i^(n-1)*cos(n*c)/cos(c)=i^-彼得·卢什尼2022年5月23日
对于n>0,L(2*n)=5*二项式(2*n-1,n)-2^(2*n-1)+5*Sum_{j=1..n/5}二项式。
L(2*n+1)=2^(2n)-5*Sum_{j=0..n/5}二项式(2*n+1,n+5*j+3)。(结束)
L(n)~伽马(1/phi^n)+伽马。
L(n)=Re(φ^n+e^(i*Pi*n)/φ^n)。(结束)
例子
G.f.=2+x+3*x^2+4*x^3+7*x^4+11*x^5+18*x^6+29*x^7+。。。
MAPLE公司
使用(组合):A000032号:=n->斐波那契(n+1)+斐波那奇(n-1);
seq(简化(2^n*(cos(Pi/5)^n+cos(3*Pi/5,^n)),n=0..36)
数学
a[0]:=2;a[n]:=嵌套[{Last[#],First[#]+Last[#]}&,{2,1},n]//最后
数组[2斐波那契[#+1]-斐波那奇[#]&,50,0](*Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年12月26日*)
表[LucasL[n],{n,0,36}](*零入侵拉霍斯,2009年7月9日*)
线性递归[{1,1},{2,1},40](*哈维·P·戴尔2013年9月7日*)
系数列表[级数[(-2+x)/(-1+x+x^2),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[卢卡斯(n):n in[0..120]];
(PARI){a(n)=如果(n<0,(-1)^n*a(-n),如果(n<2,2-n,a(n-1)+a(n-2)))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,(-1)^n*a(-n),polsym(x^2-x-1,n)[n+1])};
(PARI){a(n)=实((2+类(5))*quadgen(5)^n)};
(鼠尾草)[lucas_number2(n,1,-1)代表范围(37)中的n]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
(哈斯克尔)
a000032 n=a000032_列表!!n个
a000032_list=2:1:zipWith(+)a000032_list(尾部a000031_list)
(Python)
a、 b=2,1
为True时:
产量a
a、 b=b,a+b
(Python)
从sympy导入lucas
交叉参考
使用Fibonacci(n+k)+Fibonaci(n-k)公式列出的Cf.序列A280154型.
搜索在0.039秒内完成
查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。
许可协议、使用条款、隐私政策。.
上次修改时间:美国东部夏令时2024年9月21日15:13。包含376087个序列。(在oeis4上运行。)
|