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| A130534型 |
| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，给出多项式（x+1）（x+2）的系数。。。（x+n），以x的递增幂展开，T（n，k）也是无符号斯特林数|s（n+1，k+1）|，表示正好包含k+1圈的n+1元素上的置换数。 |
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62
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 6, 11, 6, 1, 24, 50, 35, 10, 1, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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或者，三角形T（n，k），0<=k<=n，由[1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,6，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号.
高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号.指数积分E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+n*（n+1）/x^2-n*（n+1）*（n+2）/x ^3+…）的渐近展开式，见阿布拉莫维茨和斯特根。这个公式是根据渐近展开的一般公式得出的，参见A163932号.我们重写了E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+（n^2+n）/x^2-（2*n+3*n^2+n^3）/x^3+（6*n+11*n^2+6*n^3+n^4）/x ^3-…）并观察到T（n，m）是分母中的多项式系数。查看的a（n，m）公式A028421号,A163932号和A163934号，将上面给出的偏移量移动到1，我们可以写出T（n-1，m-1）=a（n，m）=（-1）^（n+m）*Stirling1（n，m），参见Maple程序。
（结束）
置换中i左边大于i的元素的数量给出了反演向量的第i个元素。（Skiena-Pemmaraju 2003，p.69。）T（n，k）是在其反转向量中正好具有k 0的n个置换数。参见下面Mathematica代码中的证据-杰弗里·克雷策2010年5月7日
T（n，k）统计具有n+2个节点的“自然生长”有根树森林中具有k+1个树干的有根树。这对应于表示向量、李导数或流场和形式群律的无穷小生成器的迭代导数的系数之和。参见中的链接A139605型. -汤姆·科普兰2014年3月23日
初始n=1，T的行多项式为p（n，x）=x（x+1）。。。（x+n-1），x的幂对应于上述“自然生长”森林中有根树的树干数。在每个树干允许m种颜色的情况下，p（n，m）给出了森林的这种非平面颜色树的数量，其中每棵树具有n+1个顶点。
从Joni等人的链接来看，p（n，m）还表示n个可分辨标志在m个可分辨旗杆上的分布。
完整图K_n的色多项式是下降阶乘，它对K_n中n个顶点的着色进行编码，并给出p（n，m）的移位形式。
例如，对于行多项式：（1-y）^（-x）。
（结束）
不定项c（1）到c（n）中n X n Vandermonde矩阵V（n）的行列式|V（n
|V（n）|=乘积_{1<=j<k=n}（c（j）-c（k））。设W（n，x）=|V（n）|*（c（1）c（2）。。。c（n））^x，则p（n，x）=W^（-1）[c（1）d/dc（1。见Chervov链接，第47页-汤姆·科普兰2014年4月10日
让M表示下单位三角形数组A094587号对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0米/
将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，M（0）=M。那么现在的三角形等于无限矩阵乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。（定义明确）。请参阅示例部分。（结束）
关于这个上升阶乘与维诺的拉盖尔故事时刻的关系，请参阅Hetyei链接，第4页-汤姆·科普兰2015年10月1日
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参考文献
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Sriram Pemmaraju和Steven Skiena，《计算离散数学》，剑桥大学出版社，2003年，第69-71页。[杰弗里·克雷策，2010年5月7日]
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第5章，第227-251页。[来自约翰内斯·梅耶尔2009年10月7日]
伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科，关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期，国家Ufa出版社，埃特纳出版社，2024年，第15-19页。俄语。
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公式
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T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k>n或如果n<0，T（n，k）=T（n-1，k-1）+n*T（n-1,k）。T（n，0）=n=A000142号（n） ●●●●。T（2*n，n）=A129505号（n+1）。Sum_｛k=0..n｝T（n，k）=（n+1）=A000142号（n+1）。和{k=0..n}T（n，k）^2=A047796号（n+1）。T（n，k）=|箍筋1（n+1，k+1）|，参见A008275号.（x+1）（x+2）。。。（x+n）=Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*x^k。[由校正阿里·博斯2008年7月11日]
对于k=1..n，设A={A_1，A_2，…，A_k}表示{1,2，…，n}的size-k子集。然后T（n，n-k）=总和（Product_{i=1..k}a_i），其中总和覆盖所有子集a。例如，T（4,1）=50，因为1*2*3+1*2x4+1*3*4+2*3*4=50-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
前面的公式表示T（n，k）=sigma_{n-k}（1,2,3，…，n），其中第（n-k）个初等对称函数sigma的不定项选择为1,2，。。。，n.参见2011年10月24日的评论A094638号sigma在那里被称为a-沃尔夫迪特·朗2013年2月6日
三角形的第n行=M^n的顶行，其中M是生产矩阵：
1, 1;
1, 2, 1;
1, 3, 3, 1;
1, 4, 6, 4, 1;
…（结束）
指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]。递归：T（n+1，k+1）=和{i=0..n-k}（n+1）/（n+1-i）*T（n-i，k）-彼得·巴拉2014年7月21日
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示例
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=0：1
n=1：1 1
n=2:2 3 1
n=3:6 11 6 1
n=4:24 50 35 10 1
n=5:120 274 225 85 15 1
n=6:720 1764 1624 735 175 21 1
n=7:5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
n=8:40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
n=9：362880 1026576 1172700 723680 269325 63273 9450 870 45 1
n=10:3628800 10628640 12753576 8409500 3416930 902055 157773 18150 1320 55 1
T（3,2）=6，因为有6个{1,2,3,4}的置换在它们的反转向量中正好有2个0：{1，2，4，3}，{1，3，2，4}，}，2,1，3。各个反转矢量是{0，0，1}，{0，1，0}，{0，2，0}，{1，0，0}，{2，0，0}，{3，0，0}-杰弗里·克雷策2010年5月7日
T（3,1）=11，因为{1,2,3,4}正好有11个置换，有2个循环，即（1）（234），（1），（243），（2）（134），（3）（124）-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
使用注释部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0*）M（1）*M（2）*。。。开始
/ 1 \/1 \/1 \ / 1 \
| 1 1 ||0 1 ||0 1 | | 1 1 |
|2 2 1 || 0 1 1 || 0 1 |…=|2 3 1 |
| 6 6 3 1 ||0 2 2 1 ||0 0 1 1 | | 6 11 6 1 |
|24 24 12 4 1||0 6 6 3 1||0 0 2 2 1| |24 50 35 10 1|
|... ||... ||... | |... |
（结束）
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MAPLE公司
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使用（组合）：A130534型：=进程（n，m）：（-1）^（n+m）*stirling1（n+1，m+1）结束进程：seq（seq(A130534型（n，m），m=0..n），n=0..10）#约翰内斯·梅耶尔，2009年10月7日，2012年9月11日修订
#将（1，0，0，…）添加为列0（并移动枚举）。
BellMatrix（n->n！，9）#彼得·卢什尼2016年1月27日
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数学
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表[Table[Length[Select[Map[ToInversionVector，Permutations[m]]，Count[#，0]==n&]]，{n，0，m-1}]，{m，0，8}]//网格(*杰弗里·克雷策2010年5月7日*）
行=10；
t=范围[0，行]！；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a130534 n k=a130534_tabl！！不！！k个
a130534_row n=a130534-tabl！！n个
a130534_tabl=地图（地图abs）a008275_tabl
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交叉参考
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（结束）
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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