|
|
A000172号 |
| Franel数a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^3。 (原名M1971 N0781)
|
|
137
|
|
|
1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260, 278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056, 6332299624282, 47737325577620, 361077477684436, 2739270870994736, 20836827035351596, 158883473753259752, 1214171997616258240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
评论
|
Cusick给出了用floor(r+3)/2)项导出r阶Franel数(这是三阶Franel数列)的递归的一般方法。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
V.Strehl的恒等式表明a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,k)^2*二项式(2*k,n)。孙志伟推测,对于每一个n=2,3,。。。多项式fn(x)=Sum{k=0..n}二项式(n,k)^2*binominal(2*k,n)*x^(n-k)在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
猜想:当n是素数时,a(n)==2(mod n^3)-加里·德特利夫斯2013年3月22日
a(p)==2(mod p^3)对于任何素数p,因为p|C(p,k)对于所有k=1,。。。,第1页-孙志伟,2013年8月14日
a(n)是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量,每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯,2014年1月22日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
有理函数对角线1/(1-x*y-y*z-x*z-2*x*y*z),1/-盖奥尔基·科塞雷亚2018年7月4日
以瑞士数学家Jéróme Franel(1859-1939)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月15日
|
|
参考文献
|
Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
Jéróme Franel,《关于Laisant的问题》,数学中介,1894年第1卷,第45-47页
H.W.Gould,《组合恒等式》,摩根城,1972年,(X.14),第56页。
Murray Klamkin主编,《应用数学问题:SIAM评论选集》,SIAM,1990年;见第148-149页。
约翰·里尔丹,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第193页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
Boris Adamczewski、Jason P.Bell和Eric Delaygue,G函数与同余的代数独立性“,arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT],2016。
P.Barrucand,组合恒等式,问题75-4SIAM Rev.,第17卷(1975年),第168页。解决方案作者:D.R.Breach、D.McCarthy、D.Monk和P.E.O'Neil,SIAM Rev.,第18卷(1976年),第303页。
T.W.Cusick,二项式系数幂和的递推《组合理论》,A辑,第52卷,第1期(1989年),第77-83页。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬,一些组合序列的对数行为,离散数学。,第308卷,第11期(2008年),第2182-2212页。MR2404544(2009j:05019)-自N.J.A.斯隆2012年5月1日
Jeff D.Farmer和Steven C.Leth,二项式系数幂的渐近公式,数学。天然气。,第89卷,第516号(2005年),第385-391页。
达里杰·格林伯格,现代代数导论(UMN 2019年春季数学4281笔记),明尼苏达大学(2019)。
瓦茨拉夫·科特索维奇,非攻击性棋子,2013年第6版,第282页。
Marci A.Perlstadt,二项式系数幂和的一些递推,《数论杂志》,Vo。27(1987),第304-309页。
胡安·普拉,问题H-505《高级问题和解决方案》,《斐波纳契季刊》,第33卷,第5期(1995年),第473页;求和公式!Paul S.Bruckman,《H-505问题的解决方案》,同上,第35卷,第1期(1997年),第93-95页。
沃尔克·斯特雷尔,递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》,B29b(1992),22页。
孙志伟,Franel数的同余,arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT],2011。
孙志伟,涉及算术序列的猜想,arXiv:1208.2683v9[math.CO]2013;《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu),Proc。第六届中日研讨会(2011年8月15日至17日,上海),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页。
|
|
配方奶粉
|
A002893号(n) =和{m=0..n}二项式(n,m)*a(m)[Barrucand]。
求和{k=0..n}C(n,k)^3=(-1)^n*积分{x=0..无穷}L_k(x)^3经验(-x)dx.-摘自Askey的书,第43页
带递归的D-有限(n+1)^2*a(n+1)=(7*n^2+7*n+2)*a(n)+8*n^2*a(n-1)[Franel]-Felix Goldberg(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年1月31日
a(n)~2*3^(-1/2)*Pi^-1*n^-1*2^(3*n)乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年6月21日
O.g.f.:A(x)=和{n>=0}(3*n)/不^3*x^(2*n)/(1-2*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉纳,2010年10月30日
G.f.:浅层([1/3,2/3],[1],27 x^2/(1-2x)^3)/(1-2x)-迈克尔·索莫斯2010年12月17日
G.f.:求和{n>=0}a(n)*x^n/n^3=[Sum_{n>=0}x^n/n!^3]^2-保罗·D·汉纳2011年1月19日
通用公式:A(x)=1/(1-2*x)*(1+6*(x^2)/(G(0)-6*x^2,
G(k)=3*(x^2)*(3*k+1)*(3+k+2)+((1-2*x)^3)*((k+1)^2)-3*(x*2)*;(续分数)-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2011年12月3日
2011年孙志伟找到了公式Sum{k=0..n}C(2*k,n)*C(2*k,k)*C(2*(n-k),n-k)=(2^n)*a(n),并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日
0=a(n)*(a(n+1)*(-2048*a(n+2)-3392*a(n+3)+768*a(n+3)+288*a(n+4))+a(n+2)*)Z中所有n的+a(n+3)*(-11*a(n/3)+4*a(n+4))-迈克尔·索莫斯2014年7月16日
对于r是非负整数,求和{k=r..n}C(k,r)^3*C(n,k)^3=C(n、r)^3*a(n-r),其中n<0取a(n)=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a(n)=(n!)^3*[x^n]超几何([],[1,1],x)^2-彼得·卢什尼2017年5月31日
a(n)=和{k=0..层(n/2)}(n+k)/(k!^3*(n-2*k)!)*2^(n-2*k)。
G.f.y=A(x)满足:0=x*(x+1)*(8*x-1)*y''+(24*x^2+14*x-1
a(n)=[x^n](1-x^2)^n*P(n,(1+x)/(1-x)),其中P(n、x)表示第n个勒让德多项式。见古尔德,第56页-彼得·巴拉2022年3月24日
a(n)=(2^n/(4*Pi^2))*Integral_{x,y=0..2*Pi}(1+cos(x)+cos-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月16日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=2*(1+4*x)*T(x)+(-1+14*x+24*x^2)*T'(x)+x*(1+x)*(-1+8*x)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=(4/243)*(1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4);
g3=-(8/19683)*(1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+
64*x^6);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
|
|
例子
|
外径:A(x)=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。
外径:A(x)=1/(1-2*x)+3*x^2/(1-2*x)^4+(6!/2!^3)*x^4/(1-2%x)^7+(9!/3!^3-保罗·D·汉纳2010年10月30日
设g.f.A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n/n^3,然后
A(x)=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里
A(x)=[1+x+x^2/2!^3+x^3/3!^3+x ^4/4!^3+…]^2-保罗·D·汉纳
|
|
MAPLE公司
|
加法(二项式(n,k)^3,k=0..n);
结束进程:
A000172号_列表:=proc(len)系列(hypergeom([],[1,1],x)^2,x,len);
序列((n!)^3*系数(%,x,n),n=0..长度-1)结束:
|
|
数学
|
表[Sum[二项式[n,k]^3,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*)
a[n_]:=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3,2/3,1,27x^2/(1-2x)^3]/(1-2 x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)/(1-2*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉纳2010年10月30日
(PARI){a(n)=n!^3*polcoeff(总和(m=0,n,x^m/m!^3+x*O(x^n))^2,n)}\\保罗·D·汉纳2011年1月19日
(哈斯克尔)
a000172=总和。地图a000578。a007318_低
(鼠尾草)
x、 y,n=1,2,1
为True时:
收益率x
n+=1
x、 y=y,(8*(n-1)^2*x+(7*n^2-7*n+2)*y)//n^2
[第(21)范围内i的下一个(a)]#彼得·卢什尼2013年10月12日
|
|
交叉参考
|
类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895美元,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,183204年,A214262型,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085号,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,A290576型,A005259看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
m=1..12的和{k=0..n}C(n,k)^m:A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,A182446号,A182447号,A342294型,A342295型。
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|