搜索: a138412-编号:a138411
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A000010号
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| 欧拉指向函数phi(n):计数<=n,素数为n。 (原名M0299 N0111)
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+10 3957
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1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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模数为n的约化残渣体系中元素的数量。
n阶循环群的不同生成元的数目。单位的本原n阶根的数目。(本原n次根x是这样的,当k=1,2,…,n-1,但x^n=1时,x^k不等于1。)-Lekraj Beedassy公司2005年3月31日
模n的复Dirichlet字符数;和{k=1..n}a(k)渐近于(3/Pi^2)*n^2-史蒂文·芬奇,2006年2月16日
a(n)是不可约多项式除以1+x+x^2+…+的最高阶x^(n-1)=(x^n-1)/(x-1)-亚历山大·阿达姆楚克,2006年9月2日,2006年09月27日更正
素数p的a(p)=p-1。当n>2时,a(n)是偶数。对于n>2,a(n)/2=A023022号(n) =将n划分为2个有序相对素部分的数量-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
a(n+2)等于长度为n的斯图尔曼回文单词的数量,这些单词是“双特殊”的,是两个长度为n+1的斯图尔曼单词的前缀或后缀-弗雷德·伦农2010年9月5日
假设a和n是互质正整数,那么根据欧拉总定理,n的任何因子除以a^phi(n)-1-雷舟(Lei Zhou)2012年2月28日
如果m有k个素因子(p_1,p_2,…,p_k),那么phi(m*n)=(Product_{i=1..k}phi(p_i*n))/phi(n)^(k-1)。例如,φ(42*n)=φ(2*n)*φ(3*n)*φ(7*n)/φ(n)^2-加里·德特利夫斯2012年4月21日
一个强可除序列,即所有正整数n和m的gcd(A(n),A(m))=A(gcd(n,m))-迈克尔·索莫斯2016年12月30日
a(n)等于Ramanujan和c_n(n)(三角形第n行的最后一项A054533号)。
对于n>1,a(n)似乎等于n的半弯曲解的数量,顶部拱正好包含2个山脉和2个长度为1的拱-罗杰·福特2017年10月11日
a(n)是能够通过切割和投影生成衍射图案具有n倍旋转对称性的准晶格的晶格的最小尺寸。在n=15的情况下,第一个n>1的简单定义失败了:“a(n)是n重旋转对称晶格的最小维数”-菲利克斯·弗利克2017年11月8日
第一行按升序排列的n阶循环拉丁正方形的数量-爱德华·瓦图丁2020年11月1日
a(n)是有理数p/q>=0(以最低值表示)的数目,使得p+q=n-雷米·西格里斯特2021年1月17日
涉及a(n)和一些序列h(n)的狄利克雷卷积的许多OEIS条目的公式可以使用以下(n>=1)导出:
求和{d|n}φ(d)*h(n/d)=求和{k=1..n}h(gcd(n,k))[参见P.h.van der Kamp链接]=求和}d|n{h(d)*φ(n/d)=加和{k=1。同样,
求和{d|n}φ(d)*h(d)=求和{k=1..n}h(n/gcd(n,k))=求并{k=1..n}h。
一般来说,
求和{d|n}h(d)=求和{k=1..n}h。
特别是,对于涉及莫比乌斯变换的序列:
求和mu(d)*h(n/d)=求和{k=1..n}h(gcd(n,k))*mu(n/gcd(n,k))/phi=A008683号.
使用gcd(n,k)*lcm(n,k)=n*k和phi(gcd(n,k))*phi(lcm(n,k))=phi(n)*phi(k)提供了进一步的变化。(结束)
产品{d|n}f(n/d)^phi(d)=产品{k=1..n}f,
产品{d|n}f(d)^phi(d)=产品{k=1..n}f,
产品{d|n}f(d)=产品{k=1..n}f,
产品{d|n}f(n/d)^mu(d)=产品{k=1..n}f=A008683号.(结束)
a(n+1)是具有n个不同子序列的二进制字的数量(当n>0时)-拉多斯劳·扎克2021年11月29日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第840页。
T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第24页。
M.Baake和U.Grimm,《非周期秩序第1卷:数学邀请》,《数学及其应用百科全书》149,剑桥大学出版社,2013年:见表3.1和3.2。
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代表理论先驱柯蒂斯。。。,阿默尔。数学。Soc.,1999年;见第3页。
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罗纳德·格雷厄姆(Ronald L.Graham)、唐纳德·科努特(Donald E.Knuth)和奥伦·帕塔什尼克(Oren Patashnik),《混凝土数学》。,2n-d版。;Addison-Wesley,1994年,第137页。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第60、62、63、288、323、328、330页。
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun,编辑。,数学函数手册,国家标准应用数学局。系列55,第十次印刷,1972年。
Chris K.Caldwell,主要词汇表,欧拉φ函数
Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro,关于一些算术函数迭代的正常行为《解析数论》,伯赫用户波士顿,1990年,第165-204页。
Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro,关于某些算术函数迭代的正规性《解析数论》,伯赫用户波士顿,1990年,第165-204页。[带A编号的注释副本]
凯文·福特,φ(x)的解数=m,arXiv:math/9907204[math.NT],1999年。
Derrick N.Lehmer,迪克森数字理论史述评,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,26(1919),125-132。
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K.施耐德,欧拉函数,PlanetMath.org。
Pinthira Tangsupphathawat、Takao Komatsu和Vichian Laohakosol,代数余弦值的极小多项式II,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.9.5条。
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配方奶粉
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φ(n)=n*Product_{不同素数p除以n}(1-1/p)。
和{d除以n}φ(d)=n。
phi(n)=Sum{d除以n}mu(d)*n/d,即自然数的Moebius变换;mu()=Moebius函数A008683号().
Dirichlet生成函数Sum_{n>=1}phi(n)/n^s=zeta(s-1)/zeta(s)。同时求和{n>=1}φ(n)*x^n/(1-x^n)=x/(1-x)^2。
与a(p^e)=(p-1)*p^(e-1)相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
求和{n>=1}(φ(n)*log(1-x^n)/n)=-x/(1-x)for-1<x<1(cf。A002088号) -亨利·博托姆利2001年11月16日
a(n)=二项式(n+1,2)-和{i=1..n-1}a(i)*楼层(n/i)(参见A000217号用于反转)-乔恩·佩里2004年3月2日
这是一个经典的结果(Landau,1909),lim-inf n/phi(n)=1(取n为素数),lim sup n/(phi(n。例如,见Ribenboim,第319-320页彼得·莫雷,2004年9月10日
a(n)=Sum_{i=1..n}|k(n,i)|其中k(n、i)是Kronecker符号。同时a(n)=n-#{1<=i<=n:k(n,i)=0}-Benoit Cloitre公司,2004年8月6日[修订人宋嘉宁,2018年9月25日]
猜想:和{i>=2}(-1)^i/(i*phi(i))存在,约为0.558(A335319飞机). - Orges Leka(奥列卡(AT)学生,uni-mainz.de),2004年12月23日
a(n)=总和{i=1..n}层(sigma_k(i*n)/sigma_k(i)*sigma_ k(n)),其中sigma_2是A001157号.
a(n)=和{i=1..n}层(tau_k(i*n)/tau_k(i)*tau_k(n)),其中tau_3为A007425号.
a(n)=总和{i=1..n}楼层(rad(i*n)/rad(i)*rad(n)),其中rad为A007947号.(结束)
φ(p*n)=φ(n)*(floor((n+p-1)mod p)/(p-1))+p-1,对于素数p-加里·德特利夫斯2012年4月21日
猜想:当n>1时,a(n)=Sum_{a=1..n}Sum__{b=1..n{Sum_}c=1..n*1。总和大于a,b,c,因此n*c-a*b=1-本尼迪克特·欧文2017年4月3日
a(n)=求和{j=1..n}gcd(j,n)cos(2*Pi*j/n)=求和{j=1..n}gcd(j,n)exp(2*Pi*i*j/n),其中i是虚单位。注意,Ramanujan的和c_n(k):=sum_{j=1..n,gcd(j,n)=1}exp(2*Pi*i*j*k/n)给出了a(n)=sum_{k|n}k*c_(n/k)(1)=sum{k|n}k*mu(n/k)-迈克尔·索莫斯2018年5月13日
G.f.:x*d/dx(x*d/dx(log(Product_{k>=1}(1-x^k)^(-mu(k)/k^2))),其中mu(n)=A008683号(n) ●●●●-马穆卡·吉卜拉泽2018年9月20日
G.f.A(x)满足(x)=x/(1-x)^2-Sum_{k>=2}A(x^k)-伊利亚·古特科夫斯基2019年9月6日
a(n)>n/(exp(gamma)*log(log(n)))+5/(2*log-雨果·普福尔特纳2020年6月2日
和{n>=1}1/a(n)^k是收敛的,如果k>1。
a(2n)=a(n)iffn是奇数,a(2n)>a(n。(结束)[实际上,对于偶数n,a(2n)=2*a(n)-宋嘉宁2022年9月18日]
对于n>1,求和{k=1..n}φ^{(-1)}(n/gcd(n,k=A023900号.
对于n>1,Sum_{k=1..n}a(gcd(n,k))*mu(rad(gcd(n,k)))*rad(gcd(n,k))/gcd(n,k)=0。
对于n>1,求和{k=1..n}a(gcd(n,k))*mu(rad(n/gcd(n,k)。
求和{k=1..n}a(gcd(n,k))/a(n/gcd(n,k))=n(结束)
a(n)=Sum_{d|n,e|n}gcd(d,e)*mobius(n/d)*mobilus(n/e)(总和是n乘以Tóth的乘法函数,取n=p^e的素数幂p^e-p^(e-1))-彼得·巴拉2024年1月22日
和{n>=1}φ(n)*x^n/(1+x^n)=x+3*x^3+5*x^5+7*x^7+…=和{n>=1}φ(2*n-1)*x^(2*n-1)/(1-x^。关于第一个平等,见Pólya和Szegõ,问题71,第126页-彼得·巴拉2024年2月29日
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例子
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G.f.=x+x ^2+2*x ^3+2*x ^4+4*x ^5+2*x^6+6*x ^7+4*x^8+6*x^9+4*x ^10+。。。
a(8)=4,{1,3,5,7}单位模为8。a(10)=4,{1,3,7,9}单位模为10-迈克尔·索莫斯2013年8月27日
第一行按升序排列的a(5)=4循环拉丁方为:
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3
2 3 4 0 1 4 0 1 2 3 1 2 3 4 0 3 4 0 1 2
3 4 0 1 2 1 2 3 4 0 4 0 1 2 3 2 3 4 0 1
4 0 1 2 3 3 4 0 1 2 2 3 4 0 1 1 2 3 4 0
(结束)
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MAPLE公司
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带有(数字理论):A000010号:=φ;[seq(φ(n),n=1..100)];#版本1
其中(numtheory):phi:=proc(n)局部i,t1,t2;t1:=系数(n)[2];t2:=n*mul((1-1/t1[i][1]),i=1..nops(t1));结束;#版本2
#无库功能的替代方案:
A000010列表:=proc(N)local i,j,phi;
φ:=数组([seq(i,i=1..N+1)]);
对于i从2到N+1 do
如果φ[i]=i,则
从i到N+1 do的j
φ[j]:=φ[j]-iquo(phi[j],i)od
光纤;
返回φ结束:
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数学
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数组[EulerPhi,70]
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黄体脂酮素
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(Axiom)[eulerPhi(n)表示1..100]中的n
(岩浆)[EulerPhi(n):n in[1..100]];//谢尔盖·哈勒(Sergei(AT)Sergei-Haller.de),2006年12月21日
(PARI){a(n)=如果(n==0,0,eulerphi(n))}/*迈克尔·索莫斯2011年2月5日*/
(鼠尾草)
#euler_phi是Sage中的标准函数。
定义A000010号_list(n):return[euler_phi(i)对于范围(1,n+1)中的i]
(PARI){表示(n=1100000,写(“b000010.txt”,n,“”,eulerphi(n));}\\哈里·史密斯2009年4月26日
(Sage)[范围(1,70)中n的euler_phi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(Maxima)标记列表(totiten(n),n,0,1000)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月26日*/
(Haskell)a n=长度(过滤器(==1)(映射(gcd n)[1..n]))--艾伦·C·韦克斯勒2014年12月29日
(Python)
从理论意义到实践意义
打印([范围(1,70)中i的totiten(i)])#因德拉尼尔·戈什2017年3月17日
(Julia)#计算序列的前N项。
函数A000010List(N)
φ=[i代表1中的i:N+1]
对于2中的i:N+1
如果φ[i]==i
对于i:i:N+1中的j
φ[j]-=div(φ[j],i)
端-端-端
返回φ端
println(A000010列表(68))#彼得·卢什尼2023年9月3日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A138416号
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| a(n)=(p^3-p^2)/2,其中p=素数(n)。 |
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+10 三
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2, 9, 50, 147, 605, 1014, 2312, 3249, 5819, 11774, 14415, 24642, 33620, 38829, 50807, 73034, 100949, 111630, 148137, 176435, 191844, 243399, 282449, 348524, 451632, 510050, 541059, 606797, 641574, 715064, 1016127, 1115465, 1276292, 1333149
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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k>m时的差异(p^k-p^m)/q:
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表达OEIS序列
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(p^3-p^2)/2这个序列
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链接
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数学
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a={};Do[p=素数[n];附加到[a,(p^3-p^2)/2],{n,1,50}];一
(#^3-#^2)/2和/@Prime[范围[50]](*哈维·P·戴尔2020年11月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)表示质数(p=2,1e3,打印1((p^3-p^2)/2“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月16日
(岩浆)[素数UpTo(1000)中的(p^3-p^2)/2:p]//文森佐·利班迪2011年6月17日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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经核准的
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A138459号
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| a(n)=(第n素数)^6-(第n质数)^4)/12。 |
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+10 2
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4, 54, 1250, 9604, 146410, 399854, 2004504, 3909630, 12313004, 49509670, 73881680, 213654354, 395606540, 526495354, 897861304, 1846372554, 3514034690, 4292210710, 7536519254, 10672906020, 12608819004, 20254042120, 27241076254
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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差异(p^k-p^m)/q,这样k>m:
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链接
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数学
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a={};Do[p=素数[n];附加到[a,(p^6-p^4)/12],{n,1,24}];一
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黄体脂酮素
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(PARI)表示质数(p=2,1e3,print1((p^6-p^4)/12“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月15日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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