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pi(n),素数<=n。有时称为PrimePi(n。。。 (原名M0256 N0090)
+0 1946
0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21
评论
等效于黎曼假设:abs(a(n)-li(n))<sqrt(n)*log(n)/(8*Pi),对于n>=2657,其中li(n)是对数积分(Lowell Schoenfeld)-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日
Hardy-Littlewood的第二个猜想是,对于整数x和最小值为{x,y}>=2的y,π(x)+pi(y)>=pi(x+y),已知它适用于足够大的(x,y)(Udrescu 1975)-彼得·卢什尼2021年1月12日
参考文献
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链接
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J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式(扫描古代带注释影印件中的一些关键页面)。
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伊戈尔·图尔卡诺夫,素数计数功能,arXiv:1603.02914[math.NT],2016年。
配方奶粉
素数定理给出了a(n)~n/log(n)的渐近表达式。
对于x>1,pi(x)<(x/log x)*(1+3/(2 log x))。对于x>=59,pi(x)>(x/log x)*(1+1/(2 log x))。[Rosser和Schoenfeld]
对于x>=355991,pi(x)<(x/log(x。对于x>=599,pi(x)>(x/log(x。[杜萨特]
对于x>=55,x/(log(x)+2)<pi(x,<x/(对数(x)-4)。[罗瑟]
对于n>=33,a(n)=1+和{j=3..n}((j-2)!-j*地板((j-2)/j) )(哈代和赖特);对于n>=1,a(n)=n-1+总和{j=2..n}(floor(2-总和{i=1..j}(loor(j/i)-地板(j-1)/i))(Ruiz和Sondow 2000)-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月31日
设pf(n)表示整数n的素因子集,则a(n)=card(pf(n!/floor(n/2)!)-彼得·卢什尼2011年3月13日
a(n)=(1/2)*Sum_{p<=n}(mu(p)*d(p)*sigma(p)*1phi(p-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日
a(n)=n/(log(n)-1-总和_{k=1..m}A233824型(k) /log(n)^k+O(1/log(n-乔纳森·桑多2013年12月19日
a(n)=总和{j=2..n}H(-sin^2(Pi*(Gamma(j)+1)/j)),其中H(x)是Heaviside阶跃函数,取H(0)=1-凯沙夫·拉加万2016年6月18日
a(n)=和{m=1..n}A137851号(m) /m*H(floor(n/m)),其中H(n)=Sum_。
(结束)
求和{k=2..n}1/a(k)~(1/2)*log(n)^2+O(log(n))(de Koninck and Ivić,1980)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日
例子
有3个素数<=6,即2、3和5,所以pi(6)=3。
数学
数组[PrimePi[#]&,100]
累加[Table[Boole[PrimeQ[n]],{n,100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)向量(300,j,素数(j))\\乔格·阿恩特2008年5月9日
(鼠尾草)[范围(1,79)中n的prime_pi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(岩浆)[1..200]]中的[#PrimesUpTo(n):n//布鲁诺·贝塞利2011年7月6日
(哈斯克尔)
a000720 n=a000720_列表!!(n-1)
a000720_list=扫描1(+)a010051_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月15日
(Python)
从sympy导入primepi
对于范围(1100)中的n:打印(primepi(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月30日
交叉参考
囊性纤维变性。A048989号,A000040美元,A132090型,A137588型,139328英镑,A104272号,A143223号,A143224号,A143225号,A143226号,A143227号.
囊性纤维变性。143538英镑,A036234号,A033844号,A034387号,A034386号,A179215号,A010051美元,A212210型-A212213型,A233824型,A056171号,A304483型.
囊性纤维变性。A036378号:2的幂之间的素数p,2^n<p<=2^(n+1)。
扩展
编辑人M.F.哈斯勒,2018年4月27日和(恢复链接)2018年12月21日
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