搜索： a169803-编号：a169803
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A011973号
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| 行读取的数字的不规则三角形：{二项式（n-k，k），n>=0，0<=k<=floor（n/2）}；或者，斐波那契多项式系数的三角形。 |
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+10
86
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 5, 6, 1, 1, 6, 10, 4, 1, 7, 15, 10, 1, 1, 8, 21, 20, 5, 1, 9, 28, 35, 15, 1, 1, 10, 36, 56, 35, 6, 1, 11, 45, 84, 70, 21, 1, 1, 12, 55, 120, 126, 56, 7, 1, 13, 66, 165, 210, 126, 28, 1, 1, 14, 78, 220, 330, 252, 84, 8, 1, 15, 91, 286, 495, 462
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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T（n，k）是大小为k且不包含连续整数的{1,2，…，n-1}的子集数。例如：T（6,2）=6，因为大小为2的{1,2,3,4,5}的子集没有连续整数，是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}和{3,5}。等价地，T（n，k）是路径图P_n的k-匹配数-Emeric Deutsch公司2003年12月10日
T（n，k）=n+2到k+1部分的组分数，全部>=2。例如：T（6,2）=6，因为我们有（2,2,4）、（2,4,2）、（4,2,2）、、（2,3,3）、（3,2,3）和（3,3,2）-Emeric Deutsch公司2005年4月9日
给定任意递归序列S（k）=x*a（k-1）+a（k-2），从（1，x，x^2+1，…）开始；在k次多项式中级数的第（k+1）项=f（x）：（1，（x），（x^2+1），（x^3+2x）。。。示例：假设x=2，然后S（k）=1，2，5，12，29，70，169。。。使得A000129号（7） =169=f（x），x^6+5x^4+6x^2+1=（64+80+24+1）-加里·亚当森2008年4月16日
行k给出了U（k，x/2）的非零系数，其中U是第二类切比雪夫多项式。例如，第6行是1,5,6,1，而U（6，x/2）=x^6-5x^4+6x^2-1-大卫·卡伦2008年7月22日
T（n，k）是斐波那契树f（k-1）中k级的节点数。k阶斐波那契树f（k）定义如下：1。f（-1）和f（0）各由一个节点组成。2.对于k>=1，取f（k-1）的根作为f（k）的根，我们用最右边的边连接树f（k-2）。参见Iyer和Reddy参考。这些树与A180566号例如：T（3,0）=1和T（3,1）=2，因为在f（2）=/\中，0级有1个节点，1级有2个节点-Emeric Deutsch公司2011年6月21日
Riordan阵列（1/（1-x），x^2/（1-x））-菲利普·德尔汉姆2011年12月12日
这个序列是帕斯卡三角形上升对角线上的元素，其中每个上升对角线上的元素之和代表一个斐波那契数-穆罕默德·阿扎里安2012年3月8日
如果我们设置F（0；x）=0，F（1；x）=1，F（n+1；x）=x*F（n；x）+F（n-1；x加里·亚当森以上。我们注意到F（n；x）=（-i）^n*U（n；i*x/2），其中U表示第二类切比雪夫多项式（参见David Callan的上述评论）。让我们在C中固定a，b，f（0），f（1），b不是零，并且设置f（n）=a*f（n-1）+b*f（n-2）。然后我们推导出关系式：f（n）=b^（（n-1）/2）*f（n；a/sqrt（b））*f（1）+b^，。。。，n、 其中L（0；a）=2，L（1；a）=a，L（n+1；a）=a*L（n；a）+L（n-1；b）是Vieta-Lucas多项式。让我们观察到L（n+2；a）=F（n+2.；a）+F（n；a），L（m+n；a。此外，我们有L（n；a）=2*（-i）^n*T（n；i*x/2），其中T（n，x）表示第一类第n个切比雪夫多项式。有关证据、其他关系和事实，请参阅维图拉·斯洛塔的论文-罗曼·维图拉2012年10月12日
除了符号和指数偏移外，Coxeter群A_n的Coxeter邻接矩阵的特征多项式的系数与第二类Chebyshev多项式有关（参见Damianou链接第19页）-汤姆·科普兰2014年10月11日
关于su（1,1）的普适Lie-Weyl代数公式的关系，请参见Durov等人的第16页-汤姆·科普兰2014年11月29日
对于n>=3，第n行给出了（n-2）路径图P_{n-2}的独立多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月7日
对于n>=2，第n行给出了（n-1）路径图P_{n-1}的匹配生成多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月10日
帕斯卡矩阵的反对角线A007318号从下到上阅读。这些也是Olver论文第9页所示莱布尼茨群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵的数值系数从上到下读取的反对角线，其生成为exp[c.*M]，其中（c）^n=c_n，M是Lie无穷小生成器A218272型。反向为A102426号. -汤姆·科普兰2018年7月2日
T（n，k）是n+1节点上的路径骨架具有k个不道德性的马尔可夫等价类的数目。参见下文A.Radhakrishnan等人的文章中的定理2.1-利亚姆·索卢斯，2018年8月23日
T（n，k）=n+1到n+1-2*k奇数部分的组成数。例如，T（6,2）=6，因为7=5+1+1=3+3+1=3+1+3=1+1+5=1+3+3=1+1+3+5-迈克尔·索莫斯2019年9月19日
可选行可以解析为最左侧1右侧具有奇数整数系数的行，以及最左侧1的右侧具有偶数整数系数。第一组如所示A054142号和是无限三对角矩阵的子矩阵的特征多项式(A332602型)所有-1在上对角线和次对角线中，（1,2,2,2，…）作为主对角线。例如，3X3子矩阵（1，-1,0；-1,2，-1；0，-1,2）的特征方程是X^3-5x^2+6x-1。根是Beraha常数B（7,1）=3.24697。。。；B（7.2）=1.55495。。。；并且B（7,3）=0.198062……对于这种形式的n×n个矩阵，最大特征值是B（2n+1，1）。3X3矩阵的特征值为3.24697…=B（7,1）。
在最左边1的右边具有偶数整数系数的多项式位于A053123号根是均匀诱导的Beraha常数。生成的Cartan矩阵是那些以（2,2,2，…）为主对角线，以-1为次对角线和超对角线的矩阵。这种形式的n×n个矩阵的最大特征值是B（2n+2.1）。例如，（2，-1，0；-1，2，-1；0，-1，2）的最大本征值为3.414…=B（8,1）=x^3-6x^2+10x-4的根。（结束）
T（n，k）是具有（n-k）边的P_（n+2）的边覆盖数。例如，T（6,2）=6，因为在边1、2、…、。。。，P_8的7，我们可以消除2-6中的任意两个非连续边。这些数字可以使用P_n的边覆盖多项式的递推关系来找到，即E（P_n，x）=xE（P_（n-1），x）+xE（P_（n-2），x）和E（P_1，x）=0，E（P_2，x）=x（参考Akbari和Oboudi）-费亚尔·阿莱昂特2022年6月3日
T（n，k）是使用k个多米诺骨牌和n-2*k个正方形平铺n块板（由1X1个单元格组成的nX1数组）的方法数-迈克尔·艾伦2022年12月28日
T（n，k）是正整数序列（s（1），s（2），。。。，s（n-2k）），使得s（i）<s（i+1），s（1）是奇数，s（n-20k）<=n，并且s（i）和s（i/1）具有相反的奇偶性（参考Donnelly、Dunkum和McCoy）。例如：T（6,0）=1对应于123456；T（6,1）=5对应于12341236125614563456；T（6,2）=6对应于12，14，16，34，36；T（6.3）=1对应于长度为0的空序列（）-莫莉·邓库姆2023年6月27日
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参考文献
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J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第182-183页。
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链接
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Robert G.Donnelly、Molly W.Dunkum、Sasha V.Malone和Alexandra Nance，对称斐波那契分配格和特殊线性李代数的表示，arXiv:2012.14991[math.CO]，2020年。
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拉里·埃里克森，素数测试和素数星座，什尤利艾数学研讨会，第3卷（11），2008年。见第72页。
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Franklin H.J.Kenter和Jephian C.-H.Lin，先验采样误差：迫零集和传播时间，arXiv:1709.08740[math.CO]，2017年。
克拉克·金伯利，路径计算和斐波那契数，光纤。夸脱。40（4）（2002）328-338，实施例1A。
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，网球问题《组合理论》，A 99（2002），307-344（表3）。
Michel Rigo、Manon Stipulanti和Markus A.Whiteland，序列中的间断二项式复杂度Liège大学（比利时2023年）。
H.S.Wilf，生成函数学，第2版。，纽约学术出版社，1994年，第26页，前12页。
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配方奶粉
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设F（n，x）是x中的第n个斐波那契多项式；f（n，x）的g.f.为Sum_｛n>=0｝f（n，x）*y^n=（1+x*y）/（1-y-x*y^2）-保罗·D·汉纳
对于n，T（m，n）=0！=0和m<=1T（0，0）=T（1，0）=1T（m，n）=TA007318号，但在第二次汇总时，上移一行并左移一列）。例如，T（7,2）=10=T（6,2）+T（5,1）=6+4-罗布·阿森2003年9月22日
第k列的G.f.：x^（2*k-1）/（1-x）^（k+1）。
斐波那契多项式F（n，x）的恒等式：
F（m+n+1，x）=F（m+1，x。
F（n，x）^2-F（n-1，x）*F（n+1，x）=（-x）^（n-1）。
F（n，x）的次数是floor（（n-1）/2），F（2p，x）=F（p，x。
p（x，n）=和{m=0..floor（（n+1）/2）}二项式（n-m+1，m）*x^m；
p（x，n）=p（x，n-1）+x*p（x、n-2）。（结束）
通用公式：1/（1-x-y*x^2）=R（0）/2，其中R（k）=1+1/（1-（2*k+1+x*y）*x/（（2*k+2+x*y）*x+1/R（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
外径g（x，t）=x/（1-x-tx^2）=x+x^2+（1+t）x^3+（1+2t）x*4+。。。具有逆Ginv（x，t）=-[1+x-sqrt[（1+x）^2+4tx^2]/（2tx）=x-x^2+（1-t）x^3+（-1+3t）x^4+。。。，的有符号Motzkin多项式的一个o.g.fA055151号，与一致A134264号h0=1，h1=-1，h2=-t，否则hn=0-汤姆·科普兰2016年1月21日
外径H（x，t）=x（1+tx）/[1-x（1+tx）]=x+（1+t）x^2+（1+2t）x*3+…=-L[Cinv（-tx）/t]，其中L（x）=x/（1+x），逆Linv（x）=x/（1-x），CinvA000108号然后Hinv（x，t）=-C[t Linv（-x）]/t=[-1+sqrt（1+4tx/（1+x））]/2t=x-（1+t）x^2+（1+2t+2t^2）x^3-（1+3t+6t^2+5t^3）x^4+。。。，已经签字了A098474号，背面为A124644号. -汤姆·科普兰2016年1月25日
T（n，k）=GegenbauerC（k，（n+1）/2-k，1）-彼得·卢什尼2016年5月10日
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例子
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前几个斐波那契多项式（此处定义为F（0，x）=0，F（1，x）=1；F（n+1，x）=F（n，x）+x*F（n-1，x））是：
0: 0
1: 1
2: 1
3:1+x
4:1+2*x
5:1+3*x+x^2
6:（1+x）*（1+3*x）
7:1+1+5*x+6*x^2+x^3
8：（1+2*x）*（1+4*x+2*x^2）
9：（1+x）*（1+6*x+9*x^2+x^3）
10：（1+3*x+x ^2）*（1+5*x+5*x^2）
11:1+9*x+28*x^2+35*x^3+15*x^4+x^5
1
1
1 1
1 2
1 3 1
1 4 3
1 5 6 1
1 6 10 4
1 7 15 10 1
1 8 21 20 5
1 9 28 35 15 1
1 10 36 56 35 6
1 11 45 84 70 21 1
1 12 55 120 126 56 7（结束）
对于n=9和k=4，T（9,4）=C（5,4-丹尼斯·沃尔什2011年3月31日
当三角形的行显示为居中文本时，下降的对角线和为A005314号。前几个术语是row1=1=1；行2=1+1=2；行3=2+1=3；行4=1+3+1=5；行5=1+3+4+1=9；第6行=4+6+5+16；行7=1+10+10+6+1=28；行8=1+5+20+15+7+1=49；第9行=6+15+35+21+81=86；第10行=1+21+35+56+28+9+1=151-约翰·莫洛卡赫2013年7月8日
在这个例子中，你可以看到帕斯卡三角形的第n行是由T（n，0），T（n+1，1）。。。，T（2n-1，n-1），T（2n，n）-丹尼尔·福格斯2018年7月7日
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MAPLE公司
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a:=进程（n）局部k；[seq（二项式（n-k，k），k=0..楼层（n/2））]；结束；
T:=proc（n，k）：如果k<0或k>floor（n/2），则返回（0）fi:二项式（n-k，k）end:seq（seq（T（n，k），k=0..floor（n/2）），n=0..15）#约翰内斯·梅耶尔2013年8月26日
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数学
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（*第一个：求和方法*）表[CoefficientList[sum[二项式[n-m+1，m]*x^m，{m，0，Floor[（n+1）/2]}]，x]，{n，0，12}](*罗杰·巴古拉，2009年2月20日*）
（*秒：多项式递归法*）清除[L，p，x，n，m]；L[x，0]=1；L[x，1]=1+x；L[x_，n]：=L[x，n-1]+x*L[x、n-2]；表[ExpandAll[L[x，n]]，{n，0，10}]；表[系数列表[ExpandAll[L[x，n]]，x]，{n，0，12}]；压扁[%](*罗杰·巴古拉2009年2月20日*）
（*中间选项显示下降对角线为224838英镑*)列[表[二项式[n-m，m]，{n，0，25}，{m，0，Floor[n/2]}]，中心](*约翰·莫洛卡赫2013年7月26日*）
表[Select[CoefficientList[Fibonacci[n，x]，x]，Positive]//Reverse，{n，1，18}]//Flatten(*Jean-François Alcover公司2013年10月21日*）
系数列表[LinearRecurrence[{1，x}，{1+x，1+2x}(*埃里克·韦斯特因2017年4月7日*）
系数列表[表[x^（（n-1）/2）Fibonacci[n，1/Sqrt[x]]，{n，15}]，x]//展平(*埃里克·韦斯特因2017年4月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||2*k>n，0，二项式（n-k，k））}；
对于（2..20）中的n：[组成（n，长度=m，min_part=2）.基数（）对于（1..n//2）中的m]#彼得·卢什尼2012年10月18日
（哈斯克尔）
a011973 n k=a011973_tabf！！不！！k个
a011973_row n=a011973 _ tabf！！n个
a011973_tabf=zipWith（zipWitha007318）a025581_tabl a055087_tabf
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交叉参考
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关键字
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标签,容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A030528型
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| 行读取的三角形：a（n，k）=二项式（k，n-k）。 |
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+10
48
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1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 1, 6, 5, 1, 0, 0, 0, 4, 10, 6, 1, 0, 0, 0, 1, 10, 15, 7, 1, 0, 0, 0, 0, 5, 20, 21, 8, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 35, 56, 36, 10, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 56, 126, 120, 55, 12, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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符号三角矩阵a（n，m）*（-1）^（n-m）是三角加泰罗尼亚卷积矩阵的逆矩阵A033184号（n+1，m+1），n>=m>=0，带A033184号（n，m）：如果n<m，则=0。
Riordan阵列（1+x，x（1+x））。有符号三角形是Riordan数组（1-x，x（1-x）），与c（x），xc（xA000108号. -保罗·巴里，2005年2月2日[偏移量为0]
此外，a（n，k）=n的组成数为1和2的k部分。例如：a（6,4）=6，因为我们有2211、2121、2112、1221、1212和1122-Emeric Deutsch公司2005年4月5日[见MacMahon和Riordan-沃尔夫迪特·朗2023年7月27日]
a（n，k）是长度为n-1的二进制序列的数量，没有两个连续的0，正好是k-1 1。例如：a（6,4）=6，因为我们有01011，01101，01110，10101，10110，11010-杰弗里·克雷策2013年7月22日
镜像、移位斐波那契多项式A011973号该条目的多项式（如下所示）具有p（n，t）=t*[p（n-1，t）+p（n-2，t）]的性质。帕斯卡三角形的可加性(A007318号)反映在这些多项式的多项式中，如下面的示例部分所示，当下面的o.g.f.g（x，t）展开为序列x*（1+x）+t*[x*（l+x）]^2+t^2*[xx（1+x）]^3+。另请参阅A053122号与Cartan矩阵的关系-汤姆·科普兰2014年11月4日
此条目的行显示为Copeland链接中显示的无穷小生成器的数组列-汤姆·科普兰2015年12月23日
对于n>=2，第n行也是（n-1）-路图P_{n-1}的顶点覆盖多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月10日
对于n>0，附加一个初始矩阵元素a_（0,0）=1和零列a_（n，0）=0，这些是从下到上读取莱布尼茨群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵数值系数的反对角线，列于Olver论文第9页），它是用（c）生成的exp[c.*M]^n=c_n和M李无穷小生成器A218272型参见。A011973号.和A169803号. -汤姆·科普兰2018年7月2日
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参考文献
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P.A.MacMahon，《组合分析》，两卷（合订为一卷），切尔西出版公司，纽约，1960年，第一卷，编号124，第151页。
约翰·里奥登，《组合分析导论》，约翰·威利父子出版社，伦敦，1958年。等式（35），第124页，第11页。第154页。
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链接
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D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，正确生成树的代数2000年9月，凡尔赛数学和计算机科学座谈会。
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，适当生成树的代数《数学与计算机科学》，数学趋势系列第127-139页的一部分。
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配方奶粉
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a（n，m）=2*（2*m-n+1）*a（n-1，m）/n+m*a（n-1，m-1）/n，n>=m>=1；a（n，m）：=0，n<m；a（n，0）：=0；a（1，1）=1。
第m列的总长度：（x*（1+x））^m。
作为偏移量为0的数字三角形，这是T（n，k）=和{i=0..n}（-1）^（n+i）*二项式（n，i）*二项式（i+k+1，2k+1）。反对角和给出了Padovan序列A000931号（n+5）。的二项式逆变换A078812号（下三角矩阵的乘积）-保罗·巴里2004年6月21日
通用名称：（1+x）/（1-y*x-y*x^2）-杰弗里·克雷策，2013年7月22日[偏移量0][偏移量1:g.f.y:x*（1+x）*y/（1-x*（1'x）*y）中的行多项式-沃尔夫迪特·朗2023年7月27日]
O.g.f:g（x，t）=x*（1+x）/[1-t*x*（1+x）]=-P[Cinv（-x），t]，其中P（x，t）=x/（1+t*x）和CinvA000108号.
因此，Ginv（x，t）=-C[Pinv（-x，t）]={-1+sqrt[1+4*x/（1+t*x）]}/2，即-A124644号（-x，t）。
这将该数组放在一个数组族中，该数组族与P和C的组合及其逆和t的插值有关，例如A091867号和A104597号与加泰罗尼亚数、莫茨金数、精细数和斐波那契数相关。囊性纤维变性。A104597年（多项式在t中移位）A125145号,A146559号,A057078号,A000045号,A155020号,A125145号,A039717号,A001792号,A057862号,A011973号,A115139号.（结束）
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例子
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三角形开始：
[ 1] 1
[ 2] 1 1
[ 3] 0 2 1
[ 4] 0 1 3 1
[ 5] 0 0 3 4 1
[ 6] 0 0 1 6 5 1
[ 7] 0 0 0 4 10 6 1
[ 8] 0 0 0 1 10 15 7 1
[ 9] 0 0 0 0 5 20 21 8 1
[10] 0 0 0 0 1 15 35 28 9 1
[11] 0 0 0 0 0 6 35 56 36 10 1
[12] 0 0 0 0 0 1 21 70 84 45 11 1
[13] 0 0 0 0 0 0 7 56 126 120 55 12 1
...
为了与其他多项式进行快速比较：
p（1，t）=1
p（2，t）=1+1 t
p（3，t）=0+2t+1 t^2
p（4，t）=0+1 t+3 t^2+1 t^3
p（5，t）=0+0+3t^2+4t^3+1t^4
p（6，t）=0+0+1 t^2+6 t^3+5 t^4+1 t^5
p（7，t）=0+0+0+4 t^3+10 t^4+6 t^5+1 t^6
p（8，t）=0+0+0+1 t^3+10 t^4+15 t^5+7 t^6+1 t^7
...
沿着列阅读可以得到帕斯卡三角形的行。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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nn=10；系数列表[级数[（1+x）/（1-y x-y x ^2），{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2013年7月22日*）
表[二项式[k，n-k]，{n，13}，{k，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2015年12月23日*）
系数列表[表[x^（n/2-1）斐波那契[n+1，Sqrt[x]]，{n，10}]，
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（k，n-k）：k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年11月5日
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经核准的
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A057078号
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| 周期序列1,0，-1，。。。；展开（1+x）/（1+x+x^2）。 |
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+10
47
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1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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有符号序列的部分和被移位为无符号序列：|a（n+2）|=A011655号（n+1）。
带插值零点时，a（n）=sin（5*Pi*n/6+Pi/3）/sqrt（3）+cos（Pi*n/6+Pi/6）/sqert（3）；这给出了Riordan数组的对角线和（1-x^2，x（1-x*2））-保罗·巴里2005年2月2日
通过移位和符号改变，该数组的o.g.f.成为移位Motzkin或Riordan数的合成逆A005043号,
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链接
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配方奶粉
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马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年1月8日：（开始）
a（n）=（1/2）*（（-1）^楼层（2*n/3）+（-1）*floor（2*n+1）/3））。
a（n）=a（n-1）-a（n-2）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n+k，2k）*（-1）^（n-k）=和}k=0..floor（（n+1）/2）}二项式（n+1-k，k）*马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年8月20日
二项式变换为A010892号.a（n）=2*sqrt（3）*sin（2*Pi*n/3+Pi/3）/3-保罗·巴里，2003年9月13日
a（n）=cos（2*Pi*n/3）+sin（2*Pi*n/3）/sqrt（3）-保罗·巴里2004年10月27日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^A010060型（2n-2k）*（二项式（2n-k，k）mod 2）-保罗·巴里2004年12月11日
长度为3的序列[0，-1，1]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2008年10月15日
a（n）=a（n-1）^2-a（n-2）^2，a（0）=1，a（1）=0-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
例如：exp（-x/2）*（3*cos（sqrt（3）*x/2）+sqrt-斯特凡诺·斯佩齐亚，2023年5月16日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-1-n）-迈克尔·索莫斯2024年2月20日
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例子
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G.f.=1-x ^2+x ^3-x ^5+x ^6-x ^8+x ^9-x ^11+x ^12-x ^14+x ^15+。。。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[（1+x）/（1+x+x^2），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年11月3日*）
线性递归[{-1，-1}，{1，0}，90](*雷·钱德勒2015年9月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=[1，0，-1][n%3+1]}/*迈克尔·索莫斯2008年10月15日*/
（哈斯克尔）
（鼠尾草）
x、 y=-1，0
为True时：
产量-x
x、 y=y，-x-y
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交叉参考
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关键字
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容易的,签名
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经核准的
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1, 1, 1, -1, 1, -2, 1, -3, 1, 1, -4, 3, 1, -5, 6, -1, 1, -6, 10, -4, 1, -7, 15, -10, 1, 1, -8, 21, -20, 5, 1, -9, 28, -35, 15, -1, 1, -10, 36, -56, 35, -6, 1, -11, 45, -84, 70, -21, 1, 1, -12, 55, -120, 126, -56, 7, 1, -13, 66, -165, 210, -126, 28, -1, 1, -14, 78, -220, 330, -252, 84, -8, 1, -15, 91, -286, 495, -462, 210, -36, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 6
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评论
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行长度的顺序是[1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，…]=A008619号（n-1），n>=1。
行总和给出了周期6的序列[1,1,0，-1，-1,0，…]=A010892号（n-1），n>=1。
m列序列（带前导零）的o.g.f.为（（-1）^m）*x^（2*m+1）/（1-x）^（m+1）。
行多项式为P（n，x）：=和{m=0..天花板（n/2）-1}a（n，m）*x^m=（sqrt（x）^（n-1））*S（n-1,1/sqrtA049310型.
这些多项式出现在公式1/c（x）^n=P（n+1，x）-x*P（n，x）*c（xA000108号（加泰罗尼亚数字）。参见W.Lang参考文献，等式（1）和（2），第408页，其中p（n，x）：=p（-n，x）。
这些多项式也出现在公式c（x）^n=（-P（n-1，x）+P（n，x）*c（xA000108号（加泰罗尼亚数字）。参见W.Lang参考，等式（1），其中P（n，x）：=P（-n，x）。
当偏移量n>=0时，该数组a（n，m）与切比雪夫s多项式的行反向系数表一致，没有零散。请参见A049310型对于增加x次幂的S（n，x）系数表。
将此序列作为系数的多项式构成了所谓的“加泰罗尼亚多项式”集合，这是在研究将迭代生成函数方案“拟合”到加泰罗兰序列的问题时进行的计算产生的。相邻的一对构成了一阶线性递归的基础，该递归通过一系列迭代生成函数（Z[x]中的多项式），在“失败”之前生成预定数量的加泰罗尼亚数字-参见《实用数学》中的Clapperton等人2008参考，其中还列出了加泰罗尼亚多项式的一些基本数学性质（主要基于与之相关的狄克逊多项式和切比雪夫多项式的现有结果）-彼得·杰·拉科姆2008年9月16日
在Clapperton等人2008年国会数值论文中，提出了一类由加泰罗尼亚多项式满足的新的非线性恒等式。它们源于Householder对一般寻根公式的特殊情况的代数实现，其中经典的O（2）Newton-Raphson和O（3）Halley算法是特殊情况。还讨论了加泰罗尼亚多项式在形成加泰罗尼亚语序列o.g.f.的Padé逼近中的作用-彼得·杰·拉科姆2008年11月2日
这些多项式出现在以下语句中：（i）P（k+1，x）/P（k+2，x）是所有高度最多为k的有序树（Dyck路径）的g.f；（ii）x^k/（P（k+1，x）*P（k+2，x））是所有高度为k的有序树（Dyck路径）的g.f.。参见de Bruijn等人、Kreweras、Sedgewick和Flajolet（第258页）以及Flajolet-Sedgewick（第326页）的参考文献-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
由S（n，x）=和{m=0..floor（n/2）}a（n+1，m）*x^（n-2*m）给出，n>=0。这个公式是众所周知的，可以用二项式系数的递推公式从S递推公式中得到证明-沃尔夫迪特·朗2016年2月1日
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参考文献
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J.A.Clapperton、P.J.Larcombe和E.J.Fennessey，关于整数序列和加泰罗尼亚多项式的迭代生成函数，《实用数学》，77（2008），3-33。
J.A.Clapperton、P.J.Larcombe、E.J.Fennessey和P.Levrie，加泰罗尼亚多项式和Padé近似的一类自恒等式，国会数值，189（2008），77-95。
N.G.de Bruijn、D.E.Knuth和S.O.Rice，《栽植的梧桐的平均高度》，摘自：图论与计算（编辑：T.C.Read），学术出版社，纽约，1972年，第15-22页。
R.Sedgewick和P.Flajolet，《算法分析导论》，Addison-Wesley，Reading，MA，1996年。
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链接
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朱利奥·塞尔拜（Giulio Cerbai）、安德斯·克莱森（Anders Claesson）和卢卡·费拉里（Luca Ferrari），限制堆栈的堆栈排序，arXiv:1907.08142[cs.DS]，2019年。
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学剑桥大学出版社，2009年。
Komaba Atsushi、Johano Hisashi和Nakamoto Kazunori，基于重叠系数的双样本检验新方法，arXiv:2206.03166[math.ST]，2022年。
G.Kreweras，细分市场调查《巴黎高等教育学院》，第15号，巴黎，1970年，第3-41页。
Peter J.Larcombe和Eric J.Fennessey，一类特殊多项式族的非线性恒等式，斐波纳契夸脱。52（2014），第1号，75-79。提到这个序列。
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配方奶粉
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a（n，m）=（（-1）^（m））*二项式（n-1-m，m），n>=1，m=0..上限（n/2）-1。
a（n，m）=[x^m]P（n，x），n>=1，m=0..上限（n/2）-1，P（n、x）根据切比雪夫s多项式给出。
P（n，x）=（u^（2*n）-v^（2%n））/（u^2-v^2），其中u和v由u^2+v^2=1和u*v=sqrt（x）定义。例如：P（3，x）=（u^6-v^6）/（u^2-v^2）=u^4+u^2*v^2+v^4=1-x-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
G.f.：1/（1-x+y*x^2）=R（0）/2，其中R（k）=1+1/（1-（2*k+1-x*y）*x/（（2*k+2-x*y）*x+1/R（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
T（n，k）=GegenbauerC（k，（n+1）/2-k，-1）），假设以三角形（0,0）为基础-彼得·卢什尼2016年5月10日
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例子
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不规则三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1: 1
2: 1
3: 1 -1
4: 1 -2
5: 1 -3 1
6: 1 -4 3
7: 1 -5 6 -1
8: 1 -6 10 -4
9: 1 -7 15 -10 1
10: 1 -8 21 -20 5
11: 1 -9 28 -35 15 -1
12: 1 -10 36 -56 35 -6
13: 1 -11 45 -84 70 -21 1
14: 1 -12 55 -120 126 -56 7
15: 1 -13 66 -165 210 -126 28 -1
16: 1 -14 78 -220 330 -252 84 -8
17: 1 -15 91 -286 495 -462 210 -36 1
18: 1 -16 105 -364 715 -792 462 -120 9
19: 1 -17 120 -455 1001 -1287 924 -330 45 -1
20: 1 -18 136 -560 1365 -2002 1716 -792 165 -10
1/c（x）=P（2，x）-x*P（1，x）*c（x）=1-x*c（x），o.g.f.为A000108号（加泰罗尼亚语）。
1/c（x）^2=P（3，x）-x*P（2，x）*c（x。
c（x）^2=（-P（1，x）+P（2，x）*c（x。
c（x）^3=（-P（2，x）+P（3，x）*c。
P（3，x）=1-x=x*S（2,1/sqrt（x）），切比雪夫S（2，y）=U（2，y/2）=y^2-1。
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MAPLE公司
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seq（seq（（-1）^k*二项式（n-k，k），k=0..层（n/2）），n=0..16）#彼得·卢什尼2016年5月10日
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数学
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p[x_，n]：=p[x，n]=p[x，n-1]+x*p[x、n-2]；
p[x_，-1]=p[x，0]=1；p[x，1]=1+x；
压扁[表[系数列表[p[-x，n-1]，x]，{n，0，16}]]
压扁[Map[系数列表[#，x]&，表[Sum[二项式[t-i，i]x^（i）（-1）^i，{i，0，t}]，{t，1，15}]](*里戈伯托·弗洛雷斯2022年8月28日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
导入数学
L1=[math.comb（t-i，i）*（-1）**i表示范围（16）中的t，表示范围（t）中的i]
L1=列表（过滤器（（0））__ne__，L1））
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A102426号
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| 由给出由F（0，x）=0，F（1，x）=1，F（n，x）=F（n-1，x）+x*F（n-2，x）定义的多项式系数的行读取的三角形。 |
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+10
21
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0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 6, 5, 1, 4, 10, 6, 1, 1, 10, 15, 7, 1, 5, 20, 21, 8, 1, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 6, 35, 56, 36, 10, 1, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 7, 56, 126, 120, 55, 12, 1, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1, 8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1, 1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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F（n）+2x*F（n-1）给出了卢卡斯多项式（参见。A034807号). - 马克西姆·克里昆（Krikun（AT）iecn.u-nancey.fr），2007年6月24日
在初始0之后，这些是斐波那契多项式的非零系数；请参阅Mathematica部分-克拉克·金伯利2013年10月10日
除了符号和指数偏移外，Coxeter群A_n的Coxeter邻接矩阵的特征多项式的系数与第二类Chebyshev多项式有关（参见Damianou链接第19页）-汤姆·科普兰2014年10月11日
除了初始零之外，这些是Olver论文第9页上给出的Leibniz群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵的数值系数从下到上读取的反对角线，该矩阵生成为exp[c.*M]，其中（c）^n=c_n和M是Lie无穷小生成器A218272型.反向A011973号. -汤姆·科普兰2018年7月2日
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参考文献
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Dominique Foata和Guo-Niu Han，《多元正切和正割q导数多项式》，手稿，2012年3月21日。
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链接
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H.-H.Chern、H.-K.Hwang和T.-H.Tsai，餐桌上随意不友好的座位安排，arXiv预印本arXiv:1406.0614[math.PR]，2014。
Dominique Foata和Guo-Niu Han，多元正切和正割q导数多项式《莫斯科组合数学与数论杂志》，第2卷，第3期，2012年，第34-84页，[第232-282页]。
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配方奶粉
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或者，当n是偶数或奇数时：T（n-2，k）+T（n-1，k-1）=T（n，k），T
T（n，k）=二项式（地板（n/2）+k，地板（（n-1）/2-k））-保罗·巴里2005年6月22日
从示例中的第二个多项式开始，偏移量=0，P（n，t）=Sum_{j=0..n}，二项式（n-j，j）*x^j，约定1/k！对于k=-1，-2，…，为零，。。。，即1/k！=lim{c->0}1/（k+c）-汤姆·科普兰2014年10月11日
O.g.f.：（x+x^2-x^3）/（1-（2+t）*x^2+x^4）=（x^2（偶数部分）+x*（1-x^2）（奇数部分）/（1-x*2+t。
递归关系：
A） p（n，t）=p（n-1，t）+p（n-2，t），n=2,4,6,8，。。。
B） p（n，t）=t*p（n-1，t）+p（n-2，t），对于n=3,5,7，。。。
C） n=4,6,8，…时，a（n，k）=a（n-2，k）+a（n-1，k），。。。
D） n=3,5,7，…时，a（n，k）=a（n-2，k）+a（n-1，k-1），。。。
关系A推广到n=1,2,3，…的MV（n，t；r）=P（2n+1，t）+r r（2n，t），。。。（参见。A078812号和A085478号)是Andre-Jeannine第229页上广义Morgan-Voyce多项式的生成关系，例如，对于n=4,6,8，…，MV（2，t；r）=p（5，t）+r*p（4，t）=（1+3t+t^2）+r*（2+t）=。
奇偶多项式也出现在Trzaska和Ferri中。
去掉初始值0并以初始值m=0重新诱导，得到下面的行多项式Fb（m，t）=p（n+1，t），其中o.g.f.g（t，x）/x从Fb（0，t）=1，Fb（1，t）=1，Fb。
o.g.f.x/g（x，t）=（1-（2+t）*x^2+x^4）/（1+x-x^2）然后生成多项式序列IFb（t），使得卷积Sum_{k=0..n}IFb（n-k，t）Fb（k，t）在n>1时消失，在n=0时为1。这些线性多项式具有基本的斐波那契数A000045号作为一个整体因素：
IFb（0，t）=1
IFb（1，t）=-1
IFb（2，t）=-t
IFb（3，t）=-1（1-t）
IFb（4，t）=2（1-t）
IFb（5，t）=-3（1-t）
IFb（6，t）=5（1-t）
IFb（7，t）=-8（1-t）
IFb（8，t）=13（1-t）
... .
（结束）
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例子
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前几个多项式是：
0
1
1
x+1
2*x+1
x^2+3*x+1
3*x^2+4*x+1
------------------
[n] ：
0: 0
1: 1
2: 1
3: 1 1
4: 2 1
5: 1 3 1
6: 3 4 1
7: 1 6 5 1
8: 4 10 6 1
9: 1 10 15 7 1
10: 5 20 21 8 1
11: 1 15 35 28 9 1
12: 6 35 56 36 10 1
13: 1 21 70 84 45 11 1
（结束）
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数学
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连接[{0}，表[Select[CoefficientList[Fibonacci[n，x]，x](*克拉克·金伯利，2013年10月10日，稍作修改罗伯特·威尔逊v2017年5月3日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0]cat[二项式（地板（n/2）+k，地板（（n-1）/2-k））：k in[0..Floor（（n-1）/2）]，n in[0..17]]//G.C.格鲁贝尔2019年10月13日
（PARI）F（n）=如果（n==0，0，如果（n==1，1，F（n-1）+x*F（n-2））；
tabf（nn）=对于（n=0，nn，print（Vec（F（n）））\\米歇尔·马库斯2020年2月10日
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 6, 5, 1, 4, 10, 6, 1, 1, 10, 15, 7, 1, 5, 20, 21, 8, 1, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 6, 35, 56, 36, 10, 1, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 7, 56, 126, 120, 55, 12, 1, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1, 8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1, 1, 36, 210, 462, 495, 286, 91
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 5
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评论
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注意，示例中的行和产生了斐波那契序列的项(A000045号). 如果孩子能够一次走三步，那么结果表中的行总和将添加到tribonacci序列中(A000073号)等。
除了符号和指数偏移外，Coxeter群A_n的Coxeter邻接矩阵的特征多项式的系数与第二类Chebyshev多项式有关（参见Damianou链接第19页）-汤姆·科普兰2014年10月11日
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参考文献
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马西莫·诺森蒂尼（Massimo Nocentini），“符号和逻辑计算支持的一些无限数字序列的代数和组合研究”，佛罗伦萨大学博士论文，2019年。见例14。
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链接
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H.-H.Chern、H.-K.Hwang、T.-H.Tsai、，餐桌上随意安排不友好的座位，arXiv预印本arXiv:1406.0614[math.PR]，2014。
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配方奶粉
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外径：1/（1-y*x-y*x^2）-杰弗里·克雷策，2011年12月27日。
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例子
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孩子有13种爬六级楼梯的方法，因为6分为1和2，分别是222、2211、21111和111111；这些可以用1+6+5+1=13的方式排列。
1
..1
..1..1
.....2..1
.....1..3..1
........3..4..1
........1..6..5..1
三角形（0，1，-1，0，0，O，…）DELTA（1，0，0,0，…）开始于：
1
0, 1
0, 1, 1
0, 0, 2, 1
0, 0, 1, 3, 1
0, 0, 0, 3, 4, 1
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->总和（（-1）^（n+i）*二项式（n，i）*二项式（i+k+1，2*k+1），i=0..n）：1，1，seq（seq（T（n，k），k=楼层（n/2）。。n） ，n=1..16）#Emeric Deutsch公司2005年3月29日
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数学
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nn=15；f[list_]：=选择[list，#>0&]；
映射[f，系数列表[级数[1/（1-y x-y x ^2），{x，0，nn}]，{x、y}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月27日*）
表[Select[系数列表[Fibonacci[n，x]，x](*罗伯特·威尔逊v2017年5月3日*）
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A092865号
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| 克莱恒等式和[（-1）^k二项式[n，k]二项式[n+k，m]，{k，0，n}]==（-1）*n二项式（n，m-n]）中的非零元素。 |
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+10
9
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1, -1, -1, 1, 2, -1, 1, -3, 1, -3, 4, -1, -1, 6, -5, 1, 4, -10, 6, -1, 1, -10, 15, -7, 1, -5, 20, -21, 8, -1, -1, 15, -35, 28, -9, 1, 6, -35, 56, -36, 10, -1, 1, -21, 70, -84, 45, -11, 1, -7, 56, -126, 120, -55, 12, -1, -1, 28, -126, 210, -165, 66, -13, 1, 8, -84, 252, -330, 220, -78, 14, -1, 1, -36, 210, -462, 495
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 5
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评论
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除了符号和指数偏移外，Coxeter群A_n的Coxeter邻接矩阵的特征多项式的系数与第二类Chebyshev多项式有关（参见Damianou链接第19页）-汤姆·科普兰2014年10月11日
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链接
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H.-H.Chern、H.-K.Hwang、T.-H.Tsai、，餐桌上随意安排不友好的座位，arXiv预印本arXiv:1406.0614[math.PR]，2014
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配方奶粉
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例子
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1;
-1;
-1, 1;
2, -1;
1, -3, 1;
-3, 4, -1;
-1, 6, -5, 1;
4, -10, 6, -1;
三角形（0,1，-1，0,0,0，…）DELTA（-1,0,0,1…）开始于：
1
0, -1
0, -1, 1
0, 0, 2, -1
0, 0, 1, -3, 1
0, 0, 0, -3, 4, -1
0, 0, 0, -1, 6, -5, 1 ... -菲利普·德尔汉姆2011年12月26日
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数学
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扁平[表[（-1）^n二项式[n，m-n]，{m，0，20}，{n，天花板[m/2]，m}]]
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交叉参考
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关键字
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签名,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A182062号
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| T（n，k）=C（n+1-k，k）*k*（n-k）！，k个男人和n-k个女人在没有男人与另一个男人相邻的情况下排队的方式。 |
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+10
1
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1, 1, 1, 2, 2, 0, 6, 6, 2, 0, 24, 24, 12, 0, 0, 120, 120, 72, 12, 0, 0, 720, 720, 480, 144, 0, 0, 0, 5040, 5040, 3600, 1440, 144, 0, 0, 0, 40320, 40320, 30240, 14400, 2880, 0, 0, 0, 0, 362880, 362880, 282240, 151200, 43200, 2880, 0, 0, 0, 0, 3628800, 3628800
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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三角形T（n，k），0<=k<=n，很容易推导出来，因为有C（n+1-k，k）方法来形成k个零和n-k个一的序列，其中没有连续的零，只有k！（n-k）！排列k标记零和n-k标记零的方法。这个三角形包含几个已知序列，特别是A000142号（阶乘数），A062119号（行列式中执行的乘法次数），以及A010796美元.
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链接
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配方奶粉
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二项式（n+1-k，k）*k*（n-k）！
G.f.（固定k）：（1-k）*超几何（[1，1-k，2-k]，[2-2*k]，t）*GAMMA（1-k
T（n，k）=（n+2-2k）*T（n-1，k-1）
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例子
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T（4，2）=12，因为有12种方法将两个男人{M，M}和两个女人{W，W}排成一行，使得没有男人在另一个男人旁边，即MWmw、MWwm、MWmw、MWwm、MWmw、MWwm、MWmw、MWwm、WMwm、WMwm、WMwm和WMwm。
三角形T（n，k）开始
1,
1, 1,
2, 2, 0,
6, 6, 2, 0,
24, 24, 12, 0, 0,
120, 120, 72, 12, 0, 0,
720, 720, 480, 144, 0, 0, 0,
5040, 5040, 3600, 1440, 144, 0, 0, 0,
40320, 40320, 30240, 14400, 2880, 0, 0, 0, 0,
362880,362880,282240,151200,43200,2880,0,0,0,0,
3628800,3628800,2903040,1693440,604800,86400,0,0,0,0,0
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MAPLE公司
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seq（seq（二项式（n+1-k，k）*k*（n-k）！，k=0..n），n=0..10）；
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数学
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展平[表[二项式[n+1-k，k]k！（n-k）！，{n，0，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2012年7月15日*）
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A175990型
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| 按行读取的不规则三角形：t（n，m）=二项式（n-m-1，m+1），适用于0<=m<=楼层（n-1）/2）。 |
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+10
0
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1, 2, 0, 3, 1, 4, 3, 0, 5, 6, 1, 6, 10, 4, 0, 7, 15, 10, 1, 8, 21, 20, 5, 0, 9, 28, 35, 15, 1, 10, 36, 56, 35, 6, 0, 11, 45, 84, 70, 21, 1, 12, 55, 120, 126, 56, 7, 0, 13, 66, 165, 210, 126, 28, 1, 14, 78, 220, 330, 252, 84, 8, 0, 15, 91, 286, 495, 462, 210, 36, 1, 16, 105, 364, 715, 792, 462, 120, 9, 0, 17, 120
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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链接
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例子
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三角形开始：
1;
2, 0;
3, 1;
4, 3, 0;
5, 6, 1;
6, 10, 4, 0;
7, 15, 10, 1;
8, 21, 20, 5, 0;
9, 28, 35, 15, 1;
10, 36, 56, 35, 6, 0;
11, 45, 84, 70, 21, 1;
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数学
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表[二项式[n-m-1，m+1]，{n，2，15}，{m，0，Floor[（n-1）/2]}]//平坦(*哈维·P·戴尔2023年5月8日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,标签,容易的,较少的
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作者
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状态
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经核准的
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