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行读取三角形：T（n，k）=（k+1）*A132393号（n+1，k+1），对于0<=k<=n。
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31
1, 1, 2, 2, 6, 3, 6, 22, 18, 4, 24, 100, 105, 40, 5, 120, 548, 675, 340, 75, 6, 720, 3528, 4872, 2940, 875, 126, 7, 5040, 26136, 39396, 27076, 9800, 1932, 196, 8, 40320, 219168, 354372, 269136, 112245, 27216, 3822, 288, 9
评论
以前的名字是：数字三角形f（n，k）来自序列{1/m^2}_{m>=1}的第n个差，对于n>=0；第n个差分序列是{（-1）^n*n！*P（n，m）/D（n，m）^2}{m>=1}，其中P（n、x）是行多项式P（n，x）=和{k=0..n}f（n，k）*x^k和D（n，x）=x*（x+1）**（x+n）。
我们使用了一般公式和E（x，m=1，n）的渐近展开式，参见A130534型，以确定E（x，m=2，n）~（exp（-x）/x^2）*（1-（1+2*n）/x+（2+6*n+3*n^2）/x^2-（6+22*n+18*n^2+4*n^3）/x*3+…）可以用EA（x，2，n）公式进行验证，参见A163932号此展开式分母中的系数导致上述序列。
（结束）
带符号三角形t（n，k）：=（-1）^{n-k}*f（n，k）给出了（n+1）*n（-1；n，x）=Sum_{k=0..n}t（n、k）*x^k，其中n（-1，n，x）是参数为a=-1的Narumi多项式（参见Weisstein链接）。
上述序列{1/m^2}_{m>=1}的第n个差分序列的成员满足递归δ（n，m）=δ（n-1，m+1）-δ（n-1,m），对于n>=1，m>=1，输入δ（0，m）=1/m^2。解是delta（n，m）=（n+1）*N（-1；N，-m）/risefac*（x+n）。
对于n>=0，上述行多项式P满足P（n，x）=（-1）^n*（n+1）*n（-1；n，-x）。对于n>=1和P（0，x）=1，递推公式为P（n，x）=（-x^2*P（n-1，x+1）+（n+x）^2*P（n-1、x））/n。（结束）
配方奶粉
例如：d/dt（-log（1-t）/（1-t^x）-弗拉德塔·约沃维奇2003年10月12日
偏移量为1:y=x+（1+2*t）*x^2/2！+的示例f（2+6*t+3*t^2）*x^3/3！+。。。关于x的级数反转等于y-（1+2*t）*y^2/2！+（1+3*t）^2*y^3/3！-（1+4*t）^3*y^4/4！+。。。。这是签名版本的示例A139526号. -彼得·巴拉，2013年7月18日
递归：如果n<k，T（n，k）=0；如果k=0，则T（0，0）=1，并且对于n>=1，T（n，0）=n*T（n-1，0），否则T（n，k）=n*T（n-1，k）+（（k+1）/k）*T（n-1，k-1）。从未签名的Stirling1复发-沃尔夫迪特·朗2018年11月25日
例子
三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
------------------------------------------------------------------------------------
0: 1
1: 1 2
2: 2 6 3
3: 6 22 18 4
4: 24 100 105 40 5
5: 120 548 675 340 75 6
6: 720 3528 4872 2940 875 126 7
7: 5040 26136 39396 27076 9800 1932 196 8
8: 40320 219168 354372 269136 112245 27216 3822 288 9
9: 362880 2053152 3518100 2894720 1346625 379638 66150 6960 405 10
10: 3628800 21257280 38260728 33638000 17084650 5412330 1104411 145200 11880 550 11
MAPLE公司
A028421号：=程序（n，k）（-1）^（n+k）*（k+1）*箍筋1（n+1，k+1）末端：
egf：=（1-t）^（-x-1）*（1-x*log（1-t
ser:=系列（egf，t，16）：系数t:=n->展开（系数（ser，t，n））：
seq（seq（n！*系数（系数n），x，k），k=0..n），n=0..8）#彼得·卢什尼2022年6月12日
数学
f[n_，k_]=（k+1）箍筋S1[n+1，k+1]//Abs；扁平[表[f[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}][[1；；47]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗，2011年6月1日，公式*之后）
黄体脂酮素
riordan_square（-ln（1-x），10，真）#彼得·卢什尼2019年1月3日
作者
彼得·维根（Wiggen（AT）math.psu.edu）
与Mittag-Lefler函数相关的多项式P（n，t）的系数三角形，其中P（n、t）=Product_{k=0..n-2}n*t-k。
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18
1, 0, 2, 0, -3, 9, 0, 8, -48, 64, 0, -30, 275, -750, 625, 0, 144, -1800, 7560, -12960, 7776, 0, -840, 13426, -77175, 204085, -252105, 117649, 0, 5760, -112896, 831488, -3010560, 5734400, -5505024, 2097152, 0, -45360, 1058508, -9573228
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，混凝土数学，Addison-Wesley，Reading，MA，1998年第二版
配方奶粉
P（n，t）=（n-1）*二项式（n*t，n-1）。
例如（带常数项1）：B_t（x）=和{n>=0}1/（n*t+1）*二项式（n*t+1，n）*x^n=1+x+2*t*x^2/2！+3*t（3*t-1）*x^3/3！+4*t*（4*t-1）*（4*t-2）*x^4/4！+。。。是Lambert的广义二项式级数。参见Graham等人，第5.4节和第7.5节。
在Bala链的符号中，B_t（x）=I^t（1+x），其中I^t是分数反转算子。B_（1+t）（x）是例如fA260687型.
B_t（x）=1+x*B_t。
对于复数r，B_t（x）^r=Sum_{n>=0}r/（n*t+r）*二项式（n*t+r，n）*x^n。
log（B_t（x））=Sum_{n>=1}1/（n*t）*二项式（n*t，n）*x^n。
B_2（x）是加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号.B_t（x）对于t=3,4,5，。。。给出了各种Fuss-Catalan序列的o.g.f。请参阅交叉引用。（结束）
例子
三角形开始：
1;
0, 2;
0, -3, 9;
0, 8, -48, 64;
0, -30, 275, -750, 625;
0, 144, -1800, 7560, -12960, 7776;
...
数学
P[n_，t_]：=乘积[n*t-k，{k，0，n-2}]；行[n_]：=系数列表[P[n，t]，t]；表[行[n]，{n，1，10}]//展平
按行读取的三角形：T（n，k）是n个节点上具有最大节点度k（0<k<n）的标记树的数量。
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1, 2, 1, 9, 6, 1, 64, 48, 12, 1, 625, 500, 150, 20, 1, 7776, 6480, 2160, 360, 30, 1, 117649, 100842, 36015, 6860, 735, 42, 1, 2097152, 1835008, 688128, 143360, 17920, 1344, 56, 1, 43046721, 38263752, 14880348, 3306744, 459270, 40824, 2268, 72, 1
评论
这是Comtet《定理F》第一卷第81页（法语版）中用于证明定理D的公式。
如果我们设N=N+1，二项式（N-2，k-1）*（N-1）^-华盛顿·邦菲姆2008年1月9日
设S（n，k）是有符号三角形，S（n、k）=（-1）^（n-k）T（n，k）从1，-2，1，9，-6，1，…开始。。。，那么S的逆是幂等数的三角形A059298号. -彼得·卢什尼2009年3月13日
如果偏移量为1，则标记的k个分量、n个节点的多重图的数量也会增加，并且每个分量中除了一个循环外没有其他循环。请参阅下面的链接，以获得显示根森林和此类多重图之间的双射关系的图片。（请注意，图片中没有标签，但如果我们标记节点，则双射仍然为真。）-华盛顿·邦菲姆2010年9月4日
偏移量为1时，T（n，k）是n个节点上有根树的森林数，正好有k棵（有根）树-杰弗里·克雷策2012年2月10日
阿贝尔多项式A（n，x）=x*（x+n）^（n-1）满足d/dx A（n，x）=n*A（n-1，x+1）-迈克尔·索莫斯2024年5月10日
参考文献
L.Comtet，《组合分析》，P.U.F.，巴黎，1970年。第1卷，第81页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年。
链接
A.Avron和N.Dershowitz，凯利公式，书中的一页阿默尔。数学。《月刊》，第123卷，第7期，2016年8月至9月，699-700（2）。
吉姆·皮特曼，聚结随机森林，技术报告第457号，加利福尼亚大学统计系。
吉姆·皮特曼，聚结随机森林《组合理论杂志》，A辑，第85卷，第2期，1999年2月，第165-193页。
配方奶粉
T（n，k）=二项式（n-2，k-1）*（n-1）^（n-k-1）。
例如：（-LambertW（-y）/y）^（x+1）/（1+LambertW（-y））-弗拉德塔·约沃维奇
设T（x）=Sum_{n>=0}n^（n-1）*x^n/n！表示的树函数A000169号例如：f（x，t）：=exp（t*t（x））-1=-1+{t（x，x）/x}^t=t*x+t*（2+t）*x^2/2！+t*（9+6*t+t^2）*x^3/3！+。。。。
行生成多项式是n>=1的Abel多项式A（n，x）=x*（x+n）^（n-1）。
为n>=1定义B（n，x）=x^n/（1+n*x）^（n+1）=（-1）^n*A（-n，-1/x）。第k列条目是x^k的形式级数展开式中关于B（n，x）的系数。例如，第1列：x=B（1，x）+2*B（2，x）+9*B（3，x）+64*B（4，x）+。。。，第2列：x^2=B（2，x）+6*B（3，x）+48*B（4，x）+500*B（5，x）+。。。与进行比较A059297号.
三角形对角线的o.g.f's是有理函数R（n，x）/（1-x）^（2*n+1），其中R（n、x）是A155163号。请参阅以下示例。
（结束）
T（n，m）=C（n，m）*和{k=1..n-m}m^k*T（n-m，k），T（n、n）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年3月31日
例子
: 1;
: 2, 1;
: 9, 6, 1;
: 64, 48, 12, 1;
: 625, 500, 150, 20, 1;
: 7776, 6480, 2160, 360, 30, 1;
...
对角线的O.g.f.开始：
1/（1-x）=1+x+x^2+x^3+。。。
2*x/（1-x）^3=2+6*x+12*x^3+。。。A002378号（n+1）
（9+3*x）/（1-x）^5=9+48*x+150*x^2+。。。3*A004320型（n+1）
（结束）
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#将（1，0，0，…）作为列0添加到三角形中。
BellMatrix（n->（n+1）^n，12）#彼得·卢什尼，2016年1月21日
数学
nn=7；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；f[list_]：=选择[list，#>0&]；地图[f，Drop[Range[0，nn]！系数列表[级数[Exp[yt]，{x，0，nn}]，{x，y}]，1]]//展平(*杰弗里·克雷策2012年2月10日*）
T[n_，m_]：=T[n，m]=二项式[n，m]*和[m^k*T[n-m，k]，{k，1，n-m}]；T[n_，n_]=1；表[T[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}]//压扁(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2015年3月31日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
表[二项式[n-2，k-1]*（n-1）^（n-k-1），{n，2，12}，{k，1，n-1}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年11月12日*）
BellMatrix[f_Function，len_]：=使用[{t=数组[f，len，0]}，表[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；
行=10；
M=BellMatrix[（#+1）^#&，行]；
黄体脂酮素
（极大值）create_list（二项式（n，k）*（n+1）^（n-k），n，0，20，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年4月1日*/
#将（1，0，0，…）作为列0添加到三角形中。
bell_matrix（λn:（n+1）^n，12）#彼得·卢什尼，2016年1月21日
（PARI）对于（n=2，11，对于（k=1，n-1，print1（二项式（n-2，k-1）*（n-1）^（n-k-1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月12日
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