搜索： a088975-编号：a088976
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2, 4, 5, 2, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 0, 4, 0, 4, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 4, 0, 4, 5, 2, 0, 4, 5, 2, 0, 5, 2, 4, 4, 0, 5, 2, 4, 4, 0, 4, 4, 5, 2, 3, 2, 0, 4, 4, 5, 2, 3, 2, 0, 5, 2, 3, 2, 4, 4, 0, 4, 0, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 0, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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Collatz树的条目A088975号模6很有趣，因为每个4（mod 6）条目都属于超度数为2的顶点，而所有其他顶点都具有超度数1。请参阅中的评论A088975号。之所以选择根8，是因为上一级的顶点4不遵守此规则（否则将发生树重复）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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不规则三角形T开始于：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18。。。A005186号（n+3）
0: 2 1
1: 4 1
2: 5 2 2
3: 4 4 2
4: 3 2 3 2 4
5: 0 4 0 4 4
6: 0 1 2 0 1 2 6
7: 0 2 4 0 2 4 6
8: 0 4 5 2 0 4 5 2 8
9: 0 5 2 4 4 0 5 2 4 4 10
10: 0 4 4 5 2 3 2 0 4 4 5 2 3 2 14
11: 0 5 2 3 2 4 4 0 4 0 3 2 3 2 4 4 0 4 18
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交叉参考
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关键字
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非n,标签,容易的
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作者
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经核准的
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7, 6, 0, 5, 2, 0, 3, 4, 0, 7, 6, 0, 5, 2, 0, 3, 4, 0, 7, 6, 0, 5, 2, 0, 3, 4, 0, 7, 6, 0, 5, 2, 0, 3, 4, 0, 7, 6, 0, 5, 2, 0, 3, 4, 0, 7, 6, 0, 5, 2, 0, 3, 4, 0, 7, 6, 0, 5, 2, 0, 3, 4, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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终端节点t==0（mod 3）可以通过重复应用运算m'=2m来计算，直到n*（2^（a（n）-1））==10（mod18）有效；然后应用运算m'=（m-1）/3得到t=（n*（2^（a（n）-1））-1）/3。这两种操作都是逆Collatz函数的一部分。每n==0（mod 9）后重复一次序列，因此：
t=（（2^6）*（9k+1）-1）/3=（18k*（2^5）+63）/3=192k+21->t==0（mod 3），
t=（（2^5）*（9k+2）-1）/3=（18k*（2^4）+63）/3=96k+21->t==0（mod 3），
t=9k+3->t==0（mod 3），
t=（（2^4）*（9k+4）-1）/3=（18k*（2^3）+63）/3=48k+21->t==0（mod 3），
t=（（2^1）*（9k+5）-1）/3=（18k+9）/3=6k+3->t==0（mod 3），
t=9k+6->t==0（mod 3），
t=（（2^2）*（9k+7）-1）/3=（18k*2+27）/3=12k+9->t==0（mod 3），
t=（（2^3）*（9k+8）-1）/3=（18k*（2^2）+63）/3=24k+21->t==0（mod 3），
t=9k->t==0（模式3）。
根据顺序，还有三个额外的事实：
1.该序列基于S.Andrei等人（见LINKS）的证明，即最多需要7个步骤才能达到3的倍数。
2.由于所有y＝＝10（mod 18）都等于1的模9，因此距离1缺失。显然，对于每个正整数y==10（mod 18），到下一级的距离是1而不是7，因为（18k+10）-1）/3=6k+3。因此，用模18的所有剩余类重复证明，包括距离1，但将序列放大为：7，6，0，5，2，0，3，4，0，1，6，O，5，2中，0，3,4,0，但不涉及前面的事实。
3.另一个结果是存在一条路径P，从每个正整数n作为P的起始端到结束端t==0（mod 3）。因此，由于唯一的起始节点n，每个路径P都是唯一的，但映射t=（n*（2^（a（n）-1））-1）/3是满射的。
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链接
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斯特凡·安德烈（Stefan Andrei）、曼弗雷德·库德莱克（Manfred Kudlek）和拉杜·斯特凡·尼古列斯库（Radu Stefan Niculescu），Collatz树上的链条报告2171999，汉堡大学信息学系。
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配方奶粉
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总尺寸：-x*（4*x^7+3*x^6+2*x^4+5*x^3+6*x+7）/（x^9-1）-托马斯·谢伊尔2021年4月12日
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黄体脂酮素
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（基本）
函数a（n为长）
尺寸d为长，k为长
d=0
如果（（n Mod 3）<>0）则
k=n
做
d=d+1：k=k+k
循环直到（（k Mod 9）=1）
d=d+1
End If（结束条件）
a=d
End函数
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 145, 149, 151, 155, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 175
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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或者，数字相对素数为2和3，或者互素数为6，或者只有素数因子>=5；也称为5粗略数。（编辑M.F.哈斯勒2014年11月1日：与来自扎克·塞多夫2007年4月26日和迈克尔·波特2009年10月9日）
除了初始项外，Gamma_0（38）的2n权空间的维数是尖顶新形式。
对k进行编号，使k mod 2=1和（k+1）mod 3<>1-克劳斯·布罗克豪斯2004年6月15日
数字n使得n个连续整数的平方和可以被n整除，因为A000330号（m+n）-A000330号（m） =n*（n+1）*（2*n+1）/6+n*（m^2+n*m+m）可被n除尽，与m无关-考波·帕洛2016年12月10日
此序列的项（从第二项开始）等于表达式sqrt（4！*（k+1）+1）的结果，但仅当此表达式产生整数值时（即当参数k取值时，这是A144065号). -亚历山大·波沃洛茨基2008年9月9日
使切比雪夫T（x，x/2）不是整数（是integer/2）的数字n-阿图尔·贾辛斯基2010年2月13日
如果12*k+1是一个完美的正方形（k=0，2，4，10，14，24，30，44=A152749号)那么12*k+1=a（n）的平方根-加里·德特利夫斯，2010年2月22日
参见描述的属性加里·德特利夫斯在里面A113801号注释：更一般地说，这些数字的形式是（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4（带有h，n个自然数），因此（2*h*n+；在这种情况下，a（n）^2-1==0（mod 6）。另外，a（n）^2-1==0（mod 12）-布鲁诺·贝塞利2010年11月5日-2010年11月17日
对n进行编号，使（Sum_{k=1..n}k^14）modn=0。（推测）-加里·德特利夫斯2011年12月27日
上述推测是正确的。申请爱尔兰和罗森，第15.2.2号提案。用m=14得到同余6*（和{k=1..n}k^14）/n=7（modn），对所有n>=1都成立。假设n是6的互质，那么6是Z/nZ中的一个单位，从同余可知（Sum_{k=1..n}k^14）/n是一个整数。另一方面，如果2除以n或3除以n，则同余表明（Sum_{k=1..n}k^14）/n不能是整数。（结束）
a（n）正好是那些正整数m，使得序列b（n）=n*（n+m）*（n+2*m）/6是整数，并且使得序列c（n）=n*（n+m）x（n+2*m）*，（n+3*m）/24是整数。囊性纤维变性。A007775号. -彼得·巴拉2015年11月13日
与2一起，这些是数字k，因此第k个斐波那契数是每个卢卡斯数的互质-克拉克·金伯利2016年6月21日
这个序列是1F2（1；5/6，7/6；1/36）+1F2（一；7/6，11/6；1/36，）/5的恩格尔展开式-本尼迪克特·欧文2016年12月16日
序列a（n），n>=4由一对多边形数{P_s（4）+1，P_（2*s-1）（3）+1}，s>=3的后继生成-拉尔夫·斯坦纳2018年5月25日
对于任意两个项j和k，乘积j*k也是一个项（与p^n和光滑数的性质相同）。
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参考文献
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K.Ireland和M.Rosen，现代数论经典导论，Springer-Verlag，1980年。
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链接
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安德烈亚斯·恩格（Andreas Enge）、威廉·哈特（William Hart）和弗雷德里克·约翰逊（Fredrik Johansson），θ函数的短加法序列，arXiv:1608.06810[math.NT]，2016-2018。
L.B.W.Jolley，级数求和1961年，多佛
塞德里克·A·B·史密斯，素因子和循环双小数，数学。加兹。59 (408) (1975) 106-109.
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3），n>=4-罗杰·巴古拉
a（n）=3*n-1-（n mod 2）-扎克·塞多夫2006年1月18日
a（1）=1，然后交替添加4和2。a（1）=1，a（n）=a（n-1）+3+（-1）^n-扎克·塞多夫2006年3月25日
1 + 1/5^2 + 1/7^2 + 1/11^2 + ... = Pi^2/9[乔利]-加里·亚当森2006年12月20日
对于n>=3 a（n）=a（n-2）+6-扎克·塞多夫2007年4月18日
展开（x+x^5）/（1-x^6）=x+x^5+x^7+x^11+x^13+。。。
外径：x*（1+4*x+x^2）/（（1+x）*（1-x）^2）。（结束）
a（n）=6*层（n/2）-1+2*（n mod 2）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月2日
当n>1时，a（n）=6*n-a（n-1）-6，a（1）=1-文森佐·利班迪2010年11月18日
a（n）=6*楼层（n/2）+（-1）^（n+1）-加里·德特利夫斯2011年12月29日
a（n）=3*n+（（n+1）mod 2）-2-加里·德特利夫斯2012年1月8日
1 - 1/5^3 + 1/7^3 - 1/11^3 + - ... = Pi^3*sqrt（3）/54（L.Euler）-菲利普·德尔汉姆2013年3月9日
a（n）=平方（6*n*（3*n+（-1）^n-3）-3*（-1）*n+5）/sqrt（2）-亚历山大·波沃洛茨基2014年5月16日
a（n）=3*n+6/（9*n修改为6-6）-米克·海德玛2016年2月5日
a（n）=2*层（3*n/2）-1。
例如：（2+（6*x-3）*exp（x）+exp（-x））/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月18日
a（k*n）=k*a（n）+（4*k+（-1）^k-3）/2对于k>0和奇数n，a（k*n）=k*a（n）+k-1对于偶数n。一些特殊情况：
k=2:a（2*n）=2*a（n）+3对于奇数n，a（2*n）=2*a（n）+1对于偶数n；
k=3:a（3*n）=3*a（n）+4对于奇数n，a（3*n）=3*a（n）+2对于偶数n；
k=4:a（4*n）=4*a（n）+7对于奇数n，a（4*n）=4*a（n）+3对于偶数n；
k=5:a（5*n）=5*a（n）+8表示奇数n，a（5*n）=5*a（n）+4表示偶数n，依此类推（结束）
a（2*m）=6*m-1，m>=1；a（2*m+1）=6*m+1，m>=0-拉尔夫·斯坦纳2018年5月17日
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例子
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G.f.=x+5*x ^2+7*x ^3+11*x ^4+13*x ^5+17*x ^6+19*x ^7+23*x ^8+。。。
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MAPLE公司
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seq（seq（6*i+j，j=[1,5]），i=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2014年9月8日
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数学
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选择[Range[200]，MemberQ[{1，5}，Mod[#，6]&](*哈维·P·戴尔，2013年8月27日*）
扁平[表[6n+{1，5}，{n，0，24}]](*阿隆索·德尔·阿特2016年2月6日*）
表[2*楼层[3*n/2]-1，｛n，1000｝](*米克·海德马2016年2月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）为A007310（n）=gcd（n，6）==1\\迈克尔·波特2009年10月9日
（PARI）给定序列中的一个元素，找到序列中的下一个项。
nxt（n）=n+9/2-（n%6）/2\\大卫·A·科内斯2016年11月1日
（弧垂）[i代表范围（150）内的i，如果gcd（6，i）==1]#零入侵拉霍斯2009年4月21日
（哈斯克尔）
a007310 n=a007310_列表！！（n-1）
a007310_list=1:5:map（+6）a007310_列表
（岩浆）[1..250][n:n in[1,5]|n mod 6 in[1，5]]//文森佐·利班迪2016年2月12日
（GAP）已过滤（[1..150]，n->n mod 6=1或n mod 6=5）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月19日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000330号,A001580号,A032528号（部分金额），A038509年（复合材料的子序列），A047209号,A047336号,A047522型,A056020美元,A084967号,A090771号,A091998号,A144065号,A175885号-A175887号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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C.克里斯托弗森（Magpie56（AT）aol.com）
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 8, 9, 10, 12, 7, 11, 14, 18, 13, 15, 16, 20, 22, 17, 24, 25, 26, 28, 30, 19, 21, 32, 34, 23, 40, 38, 42, 27, 44, 48, 46, 29, 36, 50, 56, 60, 49, 52, 54, 31, 33, 72, 58, 35, 84, 62, 66, 37, 39, 96, 68, 70, 41, 45, 104, 108, 74, 76, 78, 80, 43, 47, 120, 81, 82, 90, 88, 51, 128, 132, 83, 85, 86, 94, 53, 55, 136, 140, 87, 92, 102
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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在根（0）之后，树下次将缩小到级别上仅一个节点的宽度A262508型（1） =9236，顶点为119143。
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链接
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例子
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表的第0-21行。这些线显示了由边缘关系连接的树的节点A049820号（child）=父级：
0;
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1, 2;
| \ \
3, 4, 6;____
| | | \ \
5, 8, 9, 10, 12;
| | | |
7, _ 11, 14, 18;
/ | \ \ \
13, 15, 16, 20, 22;____
| | / | \ \
17, 24, 25, 26, 28, 30;
| \ | |
19, 21, 32, 34;
| | | \
23, 40, 38, 42;____
| | \ \
27, 44, 48, 46;____
| \ | | \ | \ \
29, 36, 50, 56, 60, 49, 52, 54;
| \ | |
31, 33, 72, 58;
| | | \
35, 84, 62, 66;
| \ | | \
37, 39, 96, 68, 70;_______
| \ | \ / | \ \
41, 45, 104, 108, 74, 76, 78, 80;
| | | | | \ \
43, 47, 120, _81, 82, 90, 88;
| | \ / | | |
51, 128, 132, 83, 85, 86, 94;
| \ | \ | | |
53, 55 136, 140 87, 92, 102;______
| | \ | | \ \
57,_ 89, 91, 98, 106, 110, 112;
/ | \ / / \ | |
59, 63, 64, 93, 95, 100, 114, 116;
| | | | \
61, 99, 97, _118, 126;
| | | / | \
65, 101, 105, 121, 122, 124;
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黄体脂酮素
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（平价）
v263267=矢量（uplim）；
z=0；对于（n=0，uplim，t=A263267号（n） ；写入（“b263267.txt”，n，“”，t）；对于（k=t+1，t+检查极限，如果（k-numdiv（k））==t，z++；如果（z<=上行链路，v263267[z]=k））；
产量0
对于[x+1..2*（x+1）]中的k：
定义值（n，g）：
“”返回由生成器g返回的下n个元素组成的列表。“”
return[范围（n）中_的下一个（g）]
（方案）
;; 此版本使用append！以增量方式创建术语列表！函数，在遍历列表的同时对其进行物理修改。否则，这个想法与上面的Python/Sage-program基本相同：
（define（A263267list_up_to_n_terms_at_least n）（let（（产生的术语（列表0）））（let loop（产生的起始术语）（产生的结束术语）（k（-n 1）））（cond（产生的（<=k 0）术语））-A049820号-树（car startp）））
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A005186号
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| a（n）是在“3x+1”问题中，通过n个步骤达到1的整数m的数量。
（原名M0305）
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+10
20
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 18, 24, 29, 36, 44, 58, 72, 91, 113, 143, 179, 227, 287, 366, 460, 578, 732, 926, 1174, 1489, 1879, 2365, 2988, 3780, 4788, 6049, 7628, 9635, 12190, 15409, 19452, 24561, 31025, 39229, 49580, 62680, 79255, 100144
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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在大约25个术语之后，似乎会进入近似指数增长，相邻术语之间的比率大约为1.264-霍华德·兰德曼2003年5月24日
大卫·W·威尔逊（2003年6月10日）提出了一个启发性的论点，即常数应该是矩阵[1 0 0 1 0 0/0 0 0 0 1/3 0/0 1 0 1 0/0 0 0 0 1/3 0 0 1 1 0 0 1/0 0 0 1/3]的最大特征值，即（3+sqrt（21））/6=1.2637626=A176014号.
Merlini和Sala（1999）推导出值（1+sqrt（7/3））/2(2016年1月)对于n->oo的渐近比率a（n+1）/a（n），称之为“Collatz常数”。这与上述常量的值相同，请参阅链接部分中的“比率a（n+1）/a（n）的渐近值（3+sqrt（21））/6的启发式参数”注释-马库斯·西格2020年11月27日
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参考文献
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R.K.Guy，个人沟通。
J.C.Lagarias编辑，《终极挑战：3x+1问题》，美国。数学。Soc.，2010年；见第33页。
Danilo Merlini和Nicoletta Sala，《关于3n+1问题中的Fibonacci吸引子和长轨道》，《国际混沌理论与应用杂志》，第4卷，第2-3期（1999年），第75-84页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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S.N.Anderson，与3x+1问题斗争，数学。《公报》，71（1987），271-274。
S.N.Anderson，与3x+1问题斗争，数学。《公报》，71（1987），271-274。[带注释的扫描副本]
R.K.Guy、S.N.Anderson和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
杰弗里·拉加里亚斯，3x+1问题：概述，arXiv:2111.02635[math.NT]，2021。
雨果·普费尔特纳，连续条款比率，偏离（3+sqrt（21））/6的图示。
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数学
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（*此程序不适合计算超过20个项*）maxiSteps=20；mMaxi=2*10^6；清除[a]；a[_]=0；步骤[m_]：=步骤[m]=模块[{n=m，ns=0}，而[n！=1，如果[Mod[n，2]==0，n=n/2，n=3*n+1]；ns++]；纳秒]；Do[sn=步长[m]；如果[sn<=maxiSteps，则a[sn]=a[sn]+1；打印[“m=”，m，“a（”，sn，“）=”，a[sn]]，{m，1，mMaxi}]；表[a[n]，｛n，0，maxiSteps｝](*Jean-François Alcover公司2013年10月18日*）
（*一分钟内60个术语*）s={1}；t=Join[{1}，Table[s=Union[2*s，（Select[s，Mod[#，3]==1&&OddQ[（#-1）/3]&&（#-1-）/3>1&]-1）/3]；长度[s]，{n，60}]](*T.D.诺伊2013年10月18日*）
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黄体脂酮素
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（Perl）#/usr/bin/perl@old=（1）；而（1）{打印标量（@old），“”；@new=（）；foreach$n（@old）{$使用了{$n}=1；if（（$n%6）==4）｛$m=（$n-1）/3；push（@new，$m）除非（$used｛$m｝）；｝$m=$n+$n；push（@new，$m）除非（$used{$m}）；}@旧=@new；}
（PARI）第一（n）=my（v=向量（n+1），u=[1]，old=u，w）；v[1]=1；对于（i=1，n，w=List（））；对于（j=1，#u，listput（w，2*u[j]）；如果（u[j]%6==4，listput（w，u[j]\3））；old=集合联合（old，u）；u=设置减号（设置（w），旧）；v[i+1]=#u）；v（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年6月26日
（Python）
定义搜索（x，d，lst）：
当d>0时：
lst[d]+=1
如果x%6==4且x>4：
搜索（x//3，d-1，lst）
x*=2
d-=1
lst[d]+=1
lst=[0]*（n_max+1）
搜索（1，n_max，lst）
返回lst[：：-1]
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的术语，2001年4月27日
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状态
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经核准的
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A127824号
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| 三角形，其中第n行是在Collatz（或3x+1）迭代中具有总停止时间n的所有数字的排序列表。 |
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+10
17
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1, 2, 4, 8, 16, 5, 32, 10, 64, 3, 20, 21, 128, 6, 40, 42, 256, 12, 13, 80, 84, 85, 512, 24, 26, 160, 168, 170, 1024, 48, 52, 53, 320, 336, 340, 341, 2048, 17, 96, 104, 106, 113, 640, 672, 680, 682, 4096, 34, 35, 192, 208, 212, 213, 226, 227, 1280, 1344, 1360, 1364
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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每行的长度为A005186号（n） ●●●●。第n行中的最大数字是2^n。第n行的第二大数字是A000975号（n-2）对于n>4。第n行中的最小数字是A033491号（n） ●●●●。Collatz猜想断言每个正整数都出现在这个三角形的某一行中。
猜想：数字T（n，1），。。。，第n行的T（n，k_n）被安排在具有相同数量级的非重叠数字簇中，其Collatz到1的轨迹具有相同的上下数量。第n行的最高簇是数字2^n，到1的轨迹有n-1个向下，没有向上。行n的第二高簇由数字T（n，k_n-r）=4^（r-1）*T（n-2*r+2）组成，表示1<=r<=（n-3）/2，其中T（k）=（2^k-（-1）^k-3）/6。它们有n-2个向下和1个向上。后一个集群的最大和第二大数量由以下公式给出A000975号和A153772号. -马库斯·西格2020年9月25日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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假设S是第n行中的数字列表，那么第n+1行中的数据列表是S中每个数字乘以2和数字（x-1）/3的并集，其中x位于S中，x=1（mod 3），其中（x-1”/3是大于1的奇数。
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例子
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三角形开始于：
0: 1
1: 2
2: 4
3: 8
4: 16
5: 5 32
6: 10 64
7: 3 20 21 128
8: 6 40 42 256
9: 12 13 80 84 85 512
10: 24 26 160 168 170 1024
11: 48 52 53 320 336 340 341 2048
12: 17 96 104 106 113 640 672 680 682 4096
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数学
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s={1}；t=压扁[Join[s，Table[s=Union[2s，（Select[s，Mod[#，3]==1&&OddQ[（#-1）/3]&&（#1）/3>1&]-1）/3]；s、 {n，13}]]
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（联合、排序）
a127824 n k=a127824_tabf！！不！！k个
a127824_row n=a127824-tabf！！n个
a127824_tabf=迭代f[1]，其中
f行=排序$map（*2）行`union`
[x'|x<-row，设x'=（x-1）`div`3，
x'*3==x-1，奇数x'，x'>1]
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A248573型
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| 一个不规则的三角形，给出了Collatz Terras树。 |
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+10
8
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1, 2, 4, 8, 5, 16, 3, 10, 32, 6, 20, 21, 64, 12, 13, 40, 42, 128, 24, 26, 80, 84, 85, 256, 48, 17, 52, 53, 160, 168, 170, 512, 96, 11, 34, 104, 35, 106, 320, 336, 113, 340, 341, 1024, 192, 7, 22, 68, 69, 208, 23, 70, 212, 213, 640, 672, 75, 226, 680, 227, 682, 2048
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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（已更正旧名称）
不规则三角形CT（l，m），使得前三行l=0、1和2分别为1、2和4，对于l>=3，行条目CT（l、m）是通过将行l-1的编号替换为（2*x-1）/3、2*x（如果它们是2（mod 3））或2*x来获得的。
修改后的Collatz（或Collatz-Terras）映射将一个正数x发送到x/2（如果它是偶数），如果它是奇数，则发送到（3*x+1）/2（参见A060322型). 当前树（没有源自CT（2，1）=1的完整树）可以被认为是不完全二叉树，如果节点（顶点）为2（mod 3），则节点（顶点）的阶数为2，否则节点（顶点）的阶数为1。在下面的示例中，边（分支）可以标记为L（左侧）或V（垂直）。
当且仅当所有奇数出现在这个序列中时，Collatz猜想才成立。
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链接
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例子
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不规则三角形CT（l，m）开始于：
l \m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24。。。
0: 1
1: 2
2:4这里省略了将再次生成完整树的1
3: 8
4: 5 16
5: 3 10 32
6: 6 20 21 64
7: 12 13 40 42 128
8: 24 26 80 84 85 256
9: 48 17 52 53 160 168 170 512
10: 96 11 34 104 35 106 320 336 113 340 341 1024
11: 192 7 22 68 69 208 23 70 212 213 640 672 75 226 680 227 682 2048
12: 384 14 44 45 136 138 416 15 46 140 141 424 426 1280 1344 150 452 453 1360 151 454 1364 1365 4096
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
以4开头的Collatz Terras树看起来像（数字x==2（mod 3）用左条标记，然后左分支以（2*x-1）/3结束，垂直分支以2*x结束）
l=2：4
l=3:|8
l=4：| 5 16
l=5:3 10 | 32
l=6:6 | 20 21 64
l=7:12 13 40 42 | 128
l=8:24 | 26 | 80 84 85 256
l=9:48 | 17 52 | 53 160 168 | 170 | 512
l=10:96 | 11 34 | 104 | 35 106 320 336 | 113 340 | 341 1024
l=11:192 7 22 | 68 69 208 23 | 70 212 213 640 672 75 226 680 227 682 2048
...
例如，x=7=CT（11，2）通过7、11、17、26、13、20、10、5、8、4返回到4，然后从那里返回到2，1。
（结束）
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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数学
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连接[{{1}，{2}}，NestList[Flatten[Map[If[Mod[#，3]==2，{（2*#-1）/3，2*#}，2*#]&，#]]&，{4}，10]](*保罗·沙萨2024年1月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）行（N）=我的（r=列表（），x）；对于（i=0，min（2，N），列表输入（r，x=[2^i]）；对于（n=3，n，my（w=List（）））；对于（i=1，#x，my（q=2*x[i]）；如果（1==q%3，列表输入（w，（q-1）/3））；列表（w，q））；列表输入（r，x=Vec（w））；Vec（r）\\路德·范托尔（Ruud H.G.van Tol）2024年1月25日
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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扩展
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已编辑。新名称（旧的更正名称作为注释）-沃尔夫迪特·朗2014年10月31日
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状态
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经核准的
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A340985型
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| 行读取的不规则三角形：第n行给出n阶Collatz有向图中所有无向（也称为弱连接）分量的顺序，从大到小排序。 |
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+10
三
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1, 2, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 7, 1, 7, 1, 1, 8, 1, 1, 8, 2, 1, 9, 2, 1, 9, 2, 1, 1, 9, 4, 1, 9, 4, 1, 1, 10, 4, 1, 1, 10, 5, 1, 1, 10, 6, 1, 1, 10, 6, 1, 1, 1, 12, 6, 1, 1, 12, 6, 1, 1, 1, 12, 7, 1, 1, 1, 12, 7, 2, 1, 1, 13, 7, 2, 1, 1, 13, 7, 2, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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一些注意事项：
-第n行的和是n，第n行可以看作是n的分区。
-假设Collatz猜想为真，n>1时每行的长度为A008615号（n+7）。如果Collatz猜想为真，则（无限）Collatz有向图是除循环1->2->1之外的无向树。这意味着对于n>1阶的Collatz有向图，将有一个包含循环1->2->1的无向分量，并且每个奇数k正好有一个无向分量使得1<k<=n和（3*k+1）/2>n=A008615号（n+7）。
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链接
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例子
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+-----------------+ +--------------------------+
|数组开始：||继续：|
+-----------------+ +--------------------------+
| 1; | | 12, 6, 1, 1, 1; |
| 2; | | 12, 7, 1, 1, 1; |
| 2, 1; | | 12, 7, 2, 1, 1; |
| 3, 1; | | 13, 7, 2, 1, 1; |
| 3, 2; | | 13, 7, 2, 1, 1, 1; |
| 3, 3; | | 21, 2, 1, 1, 1; |
| 3, 3, 1; | | 21, 2, 1, 1, 1, 1; |
| 7, 1; | | 22, 2, 1, 1, 1, 1; |
| 7, 1, 1; | | 22, 2, 2, 1, 1, 1; |
| 8, 1, 1; | | 22, 3, 2, 1, 1, 1; |
| 8, 2, 1; | | 22, 3, 2, 1, 1, 1, 1; |
| 9, 2, 1; | | 24, 3, 2, 1, 1, 1; |
| 9, 2, 1, 1; | | 24, 3, 2, 1, 1, 1, 1; |
| 9, 4, 1; | | 25, 3, 2, 1, 1, 1, 1; |
| 9, 4, 1, 1; | | 25, 4, 2, 1, 1, 1, 1; |
| 10, 4, 1, 1; | | 26, 4, 2, 1, 1, 1, 1; |
| 10, 5, 1, 1; | | 26, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1; |
| 10, 6, 1, 1; | | 26, 4, 4, 1, 1, 1, 1; |
| 10, 6, 1, 1, 1; | | 26, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1; |
| 12, 6, 1, 1; | | 27, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1; |
+-----------------+ +--------------------------+
.
第一行是[1]，因为1阶Collatz有向图是单例1，即有一个1阶弱连通分量。
第三行是[2,1]，因为3阶Collatz有向图由循环1->2->1和单例3组成。这给出了一个2阶弱连通分量和一个1阶弱连通成分。
第五行是[3,2]，因为5阶Collatz有向图由弱连通分量4->2->1->2和3->5组成。这些组件分别为3级和2级。
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黄体脂酮素
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（Python）
将networkx导入为nx
如果n%2==0，则返回n//2，否则返回（3*n+1）//2
def行（n）：#返回第n行
G=nx。图形（）
G.add_nodes_from（范围（1，n+1））
返回排序的（[len（c）代表nx.connected_components（G）中的c）]，反向=True）
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A261702型
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| a（1）=1；对于n>1，a（n）是规则（i）kpresent=>2kpresent所包含的尚未存在的最小正整数；（ii）存在3k+1和k奇数=>k。 |
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+10
2
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1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3, 6, 12, 20, 24, 32, 40, 13, 26, 48, 52, 17, 34, 11, 22, 7, 14, 28, 9, 18, 36, 44, 56, 64, 21, 42, 68, 72, 80, 84, 88, 29, 58, 19, 38, 76, 25, 50, 96, 100, 33, 66, 104, 112, 37, 74, 116, 128, 132, 136, 45, 90, 144, 148, 49, 98, 152
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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如果Collatz 3n+1猜想为真，则这是所有正整数的置换。请参见A261715型用于假定的反转。
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链接
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MAPLE公司
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a： =proc（）局部a，b，s；b、 s：=proc（）真结束，
堆[新]（（x，y）->是（x>y），1）；答：=
proc（n）选项记忆；局部k，t；
如果n>1，则a（n-1）fi；
t： =堆[提取]（s）；b（t）：=假；
k： =2*t；如果b（k），则堆[插入]（k，s）fi；
如果irem（t-1，3，'k'）=0且（k:：奇数）和
b（k）然后堆[插入]（k，s）fi；t吨
结束
结束（）：
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黄体脂酮素
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（Perl）请参阅链接部分。
（C++）请参阅链接部分。
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 42, 44, 44
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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参考文献
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J.C.Lagarias编辑，《终极挑战：3x+1问题》，美国。数学。Soc.，2010年。
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链接
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例子
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3阶Collatz有向图的弱连通分量为1->2->1，单例为3。最大组件的顺序是#{1,2}=2。
10阶Collatz有向图的弱连通分量对应于以下{1，2，…，10}的划分：{1，2,3，4，5，6，8，10}，{7}和{9}。最大分量的顺序是#{1，2，3，4，5，6，8，10}＝8。因此，a（10）=8。
20阶Collatz有向图的弱连通分量对应于分区{1、2、3、4、5、6、8、10、12、13、16、20}、{7、9、11、14、17、18}、}和{19}。最大分量的顺序是#{1,2,3,4,5,6,8,10,12,13,16,20}=12。因此，a（20）=12。
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黄体脂酮素
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（Python）
将networkx导入为nx
如果n%2==0，则返回n//2，否则返回（3*n+1）//2
定义a（n）：
G=nx。图形（）
G.add_nodes_from（范围（1，n+1））
G.add_edges_from（[（m，T（m））for m in range（1，n+1）if T（m
返回长度（最大值（nx.connected_components（G）））
对于范围（1,70）中的n：
打印（a（n），end=“，”）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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