%I#479 2024年4月17日11:14:12

%S 1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71，

%电话73,77,79,83,85,89,91,95,97101103107109113115119121125127，

%电话：131133137139143145149151155161163167169173175

%N个数等于1或5模6。

%C数字n，使得φ（4n）=φ（3n）_Benoit Cloitre_，2003年8月6日

%C或者，数字相对素数为2和3，或者互素数为6，或者只有素数因子>=5；也称为5粗略数。（由M.F.Hasler_编辑，2014年11月1日：与Zak Seidov_的评论合并，2007年4月26日和_Michael B.Porter_的评论合并，2009年10月9日）

%C除了初始项外，Gamma_0（38）的2n权空间的维数为尖顶新形式。

%C编号k，使k mod 2=1和（k+1）mod 3<>1_Klaus Brockhaus_，2004年6月15日

%C也对n进行编号，使前n个整数的平方和可被n整除，或A000330（n）=n*（n+1）*（2*n+1）/6可被n.-Alexander Adamchuk_整除，2007年1月4日

%C数字n，使得n个连续整数的平方和可被n整除，因为A000330（m+n）-A000330（m）=n*（n+1）*（2*n+1）/6+n*（m^2+n*m+m）可被n除，与m.-_Kaupo Palo_无关，2016年12月10日

%C A126759（a（n））=n+1.-_Reinhard Zumkeller_，2008年6月16日

%C此序列的项（从第二项开始）等于表达式sqrt（4！*（k+1）+1）的结果，但仅当此表达式产生整数值时（即当参数k取值时，即A144065的项）_Alexander R.Povolotsky，2008年9月9日

%C对于n>1:a（n）是素数当且仅当A075743（n-2）=1；a（2*n-1）=A016969（n-1），a（2*n）=A06921（n-1_Reinhard Zumkeller_，2008年10月2日

%C A156543是一个子序列_Reinhard Zumkeller，2009年2月10日

%C数n，使得切比雪夫T（x，x/2）不是整数（是integer/2）_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2010年2月13日

%如果12*k+1是一个完美平方（k=0，2，4，10，14，24，30，44，…=A152749），那么12*k+1=a（n）的平方根_Gary Detlefs，2010年2月22日

%C A089128（a（n））=1。n>=1时A047229（n+1）的补码。对应值A175485（a（n））见A164576_雅罗斯拉夫·克里泽克，2010年5月28日

%C参考加里·德特列夫斯（Gary Detlefs）在A113801和评论中描述的属性：更一般地说，这些数字的形式是（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4（带有h，n个自然数），因此（2*h*n+；在这种情况下，a（n）^2-1==0（mod 6）。另外，a（n）^2-1==0（mod 12）。-_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2010年11月5日-2010年11月17日

%C编号n，使（Sum_{k=1..n}k^14）modn=0。（推测）-Gary Detlefs，2011年12月27日

%C From _Peter Bala_，2018年5月2日：（开始）

%C上述推测是正确的。申请爱尔兰和罗森，第15.2.2号提案。用m=14得到同余6*（和{k=1..n}k^14）/n=7（modn），对所有n>=1都成立。假设n是6的互质，那么6是Z/nZ中的一个单位，从同余可知（Sum_{k=1..n}k^14）/n是一个整数。另一方面，如果2除以n或3除以n，则同余表明（Sum_{k=1..n}k^14）/n不能是整数。（结束）

%C A126759（a（n）_Reinhard Zumkeller，2013年5月23日

%C（a（n-1）^2-1）/24=A001318（n），广义五边形数_Richard R.Forberg_，2013年5月30日

%C A001580（k）可被3整除的数字k_Bruno Berselli，2014年6月18日

%C数n使得西格玛（n）+西格玛（2n）=西格玛（3n）-_2014年8月15日，Jahanger Kholdi和_Farideh Firozbakht

%C a（n）是k的值，因此Sum_{m=1..k-1}m*（k-m）/k是一个整数。A062717给出了这些k的总和。另请参阅以下基于A062717的Detlefs公式。-_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2015年2月16日

%C a（n）正好是那些正整数m，使得序列b（n）=n*（n+m）*（n+2*m）/6是整数，并且使得序列C（n）=n*（n+m）x（n+2*m）*“（n+3*m）/24是整数。参见A007775.-_Peter Bala，2015年11月13日

%和2一起，这些是数字k，使得第k个斐波那契数是每个卢卡斯数的互质_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2016年6月21日

%C这个序列是1F2（1；5/6，7/6；1/36）+1F2（l；7/6，11/6；1/36_Benedict W.J.Irwin，2016年12月16日

%序列a（n），n>=4由一对多边形数{P_s（4）+1，P_（2*s-1）（3）+1}，s>=3.-的后继生成_Ralf Steiner，2018年5月25日

%这个序列的渐近密度是1/3_Amiram Eldar，2020年10月18日

%C此外，奇数Collatz树A088975中唯一的顶点是A005408的其他奇数节点t==1（mod 2）的分支值_Heinz Ebert，2021年4月14日

%C From _Flávio V.Fernandes_，2021年8月1日：（开始）

%对于任意两个项j和k，乘积j*k也是一个项（与p^n和光滑数的性质相同）。

%C从a（2）到a（phi（A033845（n）））或a（（A033945（n。（结束）

%C还有n阶，其中存在循环和半循环对角拉丁方（参见A123565和A342990）_爱德华·瓦图丁，2023年7月11日

%D·K·爱尔兰和M·罗森，《现代数论经典导论》，斯普林格·弗拉格出版社，1980年。

%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=1..10000的a（n）</a>

%H Andreas Enge、William Hart和Fredrik Johansson，<a href=“http://arxiv.org/abs/1608.06810“>θ函数的短加法序列，arXiv:1608.06810[math.NT]，2016-2018。

%H B.W.J.Irwin，<a href=“https://www.authorea.com/users/5445/articles/144462/_show_article“>恩格尔展开式是k粗数的常数。

%H L.B.W.Jolley，<a href=“https://archive.org/details/summationofserie00joll网站“>系列总结</a>，多佛，1961

%H Cedric A.B.Smith，<A href=“https://dx.doi.org/10.2307/3616645“>素数和循环小数</a>，Math.Gaz.59（408）（1975）106-109。

%H William A.Stein的模块化表单数据库，<A href=“http://wstein.org/Tables/dimensions.html“>伽马_0（N）的PARI可读尺寸表</a>。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RoughNumber.html“>粗略数字</a>。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html“>Pi公式</a>。[_Jaume Oliver Lafont_，2009年10月23日]

%H<a href=“/index/Sk#smooth”>与平滑数相关的序列的索引条目</a>[_Michael B.Porter_，2009年10月9日]

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（1,1，-1）。

%F a（n）=（6*n+（-1）^n-3）/2.-_安东尼奥·埃斯波西托，2002年1月18日

%F a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3），n>=4_罗杰·巴古拉_

%F a（n）=3*n-1-（n mod 2）.-_扎克·塞多夫，2006年1月18日

%F a（1）=1，然后交替添加4和2。a（1）=1，a（n）=a（n-1）+3+（-1）^n.-_Zak Seidov，2006年3月25日

%传真1+1/5^2+1/7^2+1/11^2+…=Pi^2/9[乔利].-_Gary W.Adamson_，2006年12月20日

%F对于n>=3 a（n）=a（n-2）+6.-_Zak Seidov，2007年4月18日

%F From R.J.Mathar_，2008年5月23日：（开始）

%F展开（x+x^5）/（1-x^6）=x+x^5+x^7+x^11+x^13+。。。

%固定资产：x*（1+4*x+x^2）/（（1+x）*（1-x）^2）。（结束）

%F a（n）=6*楼层（n/2）-1+2*（n mod 2）.-_Reinhard Zumkeller_，2008年10月2日

%F 1+1/5-1/7-1/11++-…=Pi/3=A019670[Jolley eq（315）].-_Jaume Oliver Lafont_，2009年10月23日

%F a（n）=（6*A062717（n）+1）^（1/2）_Gary Detlefs，2010年2月22日

%F a（n）=6*A000217（n-1）+1-2*Sum_{i=1..n-1}a（i），n>1.-_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2010年11月5日

%当n>1时，F a（n）=6*n-a（n-1）-6，a（1）=1.-_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年11月18日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=A093766[焦利方程（84）].-_R.J.Mathar_，2011年3月24日

%F a（n）=6*楼层（n/2）+（-1）^（n+1）.-_Gary Detlefs，2011年12月29日

%Fa（n）=3*n+（（n+1）mod 2）-2_Gary Detlefs，2012年1月8日

%F a（n）=2*n+1+2*楼（（n-2）/2）=2*n-1+2*楼（n/2），得出上述R.J.Mathar_给出的o.g.F_Wolfdieter Lang，2012年1月20日

%F 1-1/5+1/7-1/11+…=Pi*sqrt（3）/6=A093766（L.Euler）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2013年3月9日

%传真1-1/5^3+1/7^3-1/11^3+-…=Pi^3*sqrt（3）/54（L.Euler）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2013年3月9日

%F gcd（a（n），6）=1.-_Reinhard Zumkeller，2013年11月14日

%F a（n）=平方（6*n*（3*n+（-1）^n-3）-3*（-1）*n+5）/sqrt（2）.-_Alexander R.Povolotsky，2014年5月16日

%F a（n）=3*n+6/（9*n修改为6-6）_米克·海德马（Mik Heidemaa），2016年2月5日

%F From _Mikk Heidemaa_，2016年2月11日：（开始）

%F a（n）=2*层（3*n/2）-1。

%F a（n）=A047238（n+1）-1。（由米歇尔·马库斯建议）（结束）

%例如：（2+（6*x-3）*exp（x）+exp（-x））/2.-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年6月18日

%F From _Bruno Berselli，2017年4月27日：（开始）

%F a（k*n）=k*a（n）+（4*k+（-1）^k-3）/2对于k>0和奇数n，a（k*n）=k*a（n）+k-1对于偶数n。一些特殊情况：

%Fk=2:a（2*n）=2*a（n）+3对于奇数n，a（2*n）=2*a（n）+1对于偶数n；

%Fk=3:a（3*n）=3*a（n）+4表示奇数n，a（3*n）=3*a（n）+2表示偶数n；

%Fk=4:a（4*n）=4*a（n）+7对于奇数n，a（4*n）=4*a（n）+3对于偶数n；

%Fk=5:a（5*n）=5*a（n）+8表示奇数n，a（5*n）=5*a（n）+4表示偶数n，依此类推（结束）

%F From_Antti Karttune_，2017年5月20日：（开始）

%F a（A273669（n））=5*a（n）=A084967（n）。

%F a（（5*n）-3）=A255413（n）。

%F A126760（a（n））=n（结束）

%F a（2*m）=6*m-1，m>=1；a（2*m+1）=6*m+1，m>=0.-_Ralf Steiner，2018年5月17日

%e G.f.=x+5*x^2+7*x^3+11*x^4+13*x^5+17*x^6+19*x^7+23*x^8+。。。

%p序列（序列（6*i+j，j=[1,5]），i=0..100）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2014年9月8日

%t选择[Range[200]、MemberQ[｛1，5｝、Mod[#，6]]和]（*_Harvey P.Dale_，2013年8月27日*）

%tα[n]：=（6n+（-1）^n-3）/2；a[rem156，60]（*_Robert G.Wilson v_，2014年5月26日，根据N.J.a.Sloane_*的建议）

%t压扁[表[6n+{1，5}，{n，0，24}]]（*_Alonso del Arte_，2016年2月6日*）

%t表[2*楼层[3*n/2]-1，｛n，1000｝]（*_Mikk Heidemaa_，2016年2月11日*）

%o（PARI）isA007310（n）=gcd（n，6）==1\\迈克尔·波特，2009年10月9日

%o（PARI）A007310（n）=n\2*6-（-1）^n\\_M.F.Hasler_，2014年10月31日

%o（PARI）\\给定序列中的一个元素，找到序列中的下一个项。

%o nxt（n）=n+9/2-（n%6）/2\\ David A.Corneth_，2016年11月1日

%o（Sage）[i表示i在范围（150）内，如果gcd（6，i）==1]#_Zerinvary Lajos_，2009年4月21日

%o（哈斯克尔）

%o a007310 n=a007310_列表！！（n-1）

%o a007310_list=1:5:map（+6）a007310_列表

%o——Reinhard Zumkeller，2012年1月7日

%o（岩浆）[1..250]n中的n:n在[1，5]]中的n mod 6；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2016年2月12日

%o（GAP）已过滤（[1..150]，n->n mod 6=1或n mod 6=5）；#_Muniru A Asiru_，2018年12月19日

%o（Python）

%o定义A007310（n）：返回（n+（n>>1）<<1）-1#_Chai Wah Wu_，2023年10月10日

%粤A005408\A016945。A016921和A016969的联合；A038509和A140475的接头。基本上与A038179相同。A047229的补充。A186422的后续。

%Y参见A000330、A001580、A032528（部分总和）、A038509（复合材料的子序列）、A047209、A047336、A047522、A056020、A084967、A090771、A091998、A144065、A175885-A175887。

%Y对于其他值为k的k粗略数字，请参见A000027、A005408、A007775、A008364-A008366、A166061、A16606。

%Y参见A126760（左反转）。

%A260717的Y行3（没有首字母1）。

%Y参见A105397（第一个差异）。

%K nonn，简单，改变了

%O 1,2号机组

%A C.Christofferson（Magpie56（AT）aol.com）