登录

OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

提示 （来自的问候整数序列在线百科全书!) A019670型 Pi/3的十进制展开式。 42 1, 0, 4, 7, 1, 9, 7, 5, 5, 1, 1, 9, 6, 5, 9, 7, 7, 4, 6, 1, 5, 4, 2, 1, 4, 4, 6, 1, 0, 9, 3, 1, 6, 7, 6, 2, 8, 0, 6, 5, 7, 2, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 5, 0, 3, 5, 2, 7, 3, 6, 5, 8, 3, 1, 4, 8, 6, 4, 1, 0, 2, 6, 0, 5, 4, 6, 8, 7, 6, 2, 0, 6, 9, 6, 6, 6, 2, 0, 9, 3, 4, 4, 9, 4, 1, 7, 8, 0, 7, 0, 5, 6, 8 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式) 抵消 1,3 评论 根据Desbois，第1页，偏移量为零的情况下，Pi/30～0.104719的十进制展开式……这是给定长度t的闭合布朗平面路径所包围的0圈扇区的平均算术面积<S_0>-乔纳森·沃斯邮报2011年1月23日 正对着全立体角四分之一的圆锥的极角（或顶角）。请参阅中的评论A238238型. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月7日 60度（弧度）-M.F.哈斯勒2016年7月8日 半径为1的四分之一球体的体积-奥马尔·波尔2019年8月17日 也是Sum_｛k>=1｝cos（k*x）/k=-log（2*|sin（x/2）|）的最小正零点。这个恒等式的证明：求和{k>=1}cos（k*x）/k=Re（求和{k>=1}exp（k*x*i）/k）=Re2*m*Pi，其中i=sqrt（-1）-宋嘉宁2019年11月9日 单位面积正十二边形周围的圆的面积-阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月5日 链接 伊万·潘琴科，n=1..1000时的n，a（n）表 昆勒·阿德戈克，涉及Fibonacci和Lucas数的无穷反正切和，arXiv:1603.08097[math.NT]，2016年。 J.M.Borwein、P.B.Borween和K.Dilcher，Pi，Euler数和渐近展开阿默尔。数学。月刊，96（1989），681-687。 Jean Desbois和Stéphane Ouvry，m条平面布朗路径的代数和算术区域，arXiv:1101.4135[math-ph]，2011年1月21日。 超越数的索引项 配方奶粉 三分之一A000796号，六分之一A019692号，的平方根A100044号. 和{k>=0}（-1）^k/（6k+1）+（-1）-查尔斯·格里特豪斯四世2011年9月8日 产品{k>=1}（1-（6k）^（-2））^-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2013年5月30日 发件人彼得·巴拉2015年2月5日：（开始） Pi/3=和{k>=0}二项式（2*k，k）*1/（2*k+1）*（1/16）^k=2F1（1/2,1/2；3/2；1/4）。Pi^2具有类似的级数展开(A002388号)，圆周率^3(A091925号)和Pi/（2*sqrt（2））(A093954号.) 整数序列A（n）：=4^n*（2*n+1）！和B（n）：=A（n）*（和{k=0..n}二项式（2*k，k）*1/（2*k+1）*（1/16）^k）都满足二阶递推方程u（n）=（20*n^2+4*n+1）*u（n-1）-8*（n-1。从这个观察结果中，我们可以得到连续分式展开Pi/3=1+1/（24-8*3^3/（89-8*2*5^3/）（193-8*3*7^3/…（337-…-8*（n-1）*（2*n-1）^3/”（20*n^2+4*n+1）-…））））。囊性纤维变性。A002388号和A093954号.（结束） 等于和{k>=1}反正切（sqrt（3）*L（2k）/L（4k）），其中L=A000032号。另请参阅A005248号和A056854号. -米歇尔·马库斯2016年3月29日 等于Product_{n>=1}A016910号（n）/A136017号（n） ●●●●-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2016年6月9日 等于Integral_{x=-oo..oo}秒（x）/3 dx-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月9日 发件人彼得·巴拉2016年11月16日：（开始） 欧拉级数变换应用于Greathouse给出的级数表示Pi/3=Sum_{k>=0}（-1）^k/（6*k+1）+（-1）*k/（6*k+5），产生了更快收敛的级数Pi/3=（1/2）*Sum_}n>=0{3^n*n*（1/（产品{k=0..n}（6*k+1））+1/（产品{k=0..n}（6*k+5）））。 Greathouse给出的上述级数是更一般的结果Pi/3=9^n*（2*n）！*的n=0的情况Sum_｛k>=0｝（-1）^（k+n）*（1/（乘积_｛j=-n.n.n｝（6*k+1+6*j））+1/（乘积_｛j=-n.n.n｝（6*k+5+6*j））），对于n=0,1,2，。。。。囊性纤维变性。A003881号。有关n=1情况的注释，请参见示例部分。（结束） 等于Product_{p>=5，pprime}p/sqrt（p^2-1）-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2017年5月13日 等于A019699型/4或A019693号/2. -奥马尔·波尔2019年8月17日 根据阿贝尔平面公式，等于积分{x>=0}（sin（x）/x）^4=1/2+求和{n>=0{（sin（n）/n）^4-彼得·巴拉2019年11月5日 等于Integral_{x=0..oo}1/（1+x^6）dx-伯纳德·肖特2022年3月12日 Pi/3=-Sum_{n>=1}i/（n*P（n，1/sqrt（-3））*P（n-1，1/sqrt（-3））），其中i=sqrt（-1）和P（n，x）表示第n个勒让德多项式。级数的前二十项给出近似值Pi/3=1.04719755（06…），精确到小数点后8位-彼得·巴拉2024年3月16日 例子 Pi/3=1.047197551196597746154214461093167628065723133125305273831486。。。 发件人彼得·巴拉2016年11月16日：（开始） 情况n=1。Pi/3=18*Sum_{k>=0}（-1）^（k+1）（1/（（6*k-5）*（6*k+1）*（6*k+7））+1/（（6*k-1）*（六*k+5）*（6-k+11））））。 使用Borwein等人的方法，我们可以找到这个级数尾部的下列渐近展开式：对于可被6整除的N，有Sum_{k>=N/6}（-1）^（k+1）（1/（（6*k-5）*（6*k+1）*（6*k+7））+1/（（6*k-1）*（6-k+5）*（6/k+11）））~1/N^3+6/N^5+1671/N^7-241604/N^9+。。。，其中序列[1，0，6，0，1671，0，-241604，0，…]是（（1/18）*cosh（2*x）/cosh（3*x））*sinh（3**）^2=x^2/2！+展开式中的系数序列6*x^4/4！+1671*x^6/6！-241604*x^8/8！+。。。。囊性纤维变性。A024235号,A278080型和A278195型.（结束） 数学 真数字[N[Pi/3，6！]](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年12月2日*） 黄体脂酮素 （PARI）Pi/3\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年9月8日 （帕里）N=150；默认值（realprecision，3+N）；数字（Pi*10^N\3）\\M.F.哈斯勒，2016年7月8日 交叉参考 囊性纤维变性。A000796号（Pi），A019669号（Pi/2），A019692号（2*Pi），A122952号（3*Pi），A003881号（Pi/4），137914英镑,A238238型,A002388号,A091925美元,A093954号,A016910号,A019694号,A136017号,A352324型. 积分_{x=0..oo}1/（1+x^m）dx：A013661号（m=2），A248897型（m=3），A093954号（m=4），A352324型（m＝5）、该序列（m＝6），A352125型（m=8），A094888号（m=10）。 上下文中的序列：A085508号 A198347号 A371333飞机*A093436号 A343805型 A082169号 相邻序列：1961年0月67日 A019668号 A019669号*A019671号 A019672号 A019673号 关键词 非n,欺骗 作者 N.J.A.斯隆1996年12月11日 状态 已批准

查找|欢迎|维基|寄存器|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间：美国东部夏令时2024年4月25日08:27。包含371964个序列。（在oeis4上运行。）