显示找到的11个结果中的1-10个。
出现在Euler-Maclaruin求和公式中的非零数的分母。（请参见A060054号这些数字的定义。）
+20
6
2, 12, 720, 30240, 1209600, 47900160, 1307674368000, 74724249600, 10670622842880000, 5109094217170944000, 802857662698291200000, 14101100039391805440000, 1693824136731743669452800000
评论
cot（x/2）/2零点附近级数展开中非零系数的分母，忽略第一项-弗雷德里克·约翰逊，2006年8月20日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第16页（3.6.28），第806页（23.1.30），第886页（25.4.7）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第16页（3.6.28），第806页（23.1.30），第886页（25.4.7）。
数学
连接[{2}，f[n_]：=分母[-（-1）^n贝努利B[2n]/（2n）！]；表[f[n]，{n，30}]](*罗伯特·威尔逊v2004年9月2日*）（*改编自文森佐·利班迪2017年5月4日*）
连接[{2}，分母[Table[SeriesCoefficient[x^2/（1-E^x），{x，0，n}]，{n，3，25，2}]](*特里·格兰特2017年6月1日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[2]cat[分母（-（-1）^n*Bernoulli（2*n）/阶乘（2*n））：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2017年6月4日
1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -691, 0, 1, 0, -3617, 0, 43867, 0, -174611, 0, 77683, 0, -236364091, 0, 657931, 0, -3392780147, 0, 1723168255201, 0, -7709321041217, 0, 151628697551, 0, -26315271553053477373, 0, 154210205991661, 0, -261082718496449122051
评论
D（1，x）=（1/x）*积分{t=0..x}t/（exp（t）-1）dt（注意Abramowitz-Stegun链路的r.h.s上的系数x）。这是{Bernoulli（n）/（n+1）}_{n>=0}的示例。请参见A027641号（n）/A227540型（n） ●●●●。多亏了彼得·卢什尼请我重温一下这个序列-沃尔夫迪特·朗2013年7月15日
参考文献
M.Kauers和P.Paule，《混凝土四面体》，施普林格出版社2011年，第23页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。第55辑，第十次印刷，1972年，第998页，等。27.1.1对于n=1，提取系数x。
公式
a（n）=分子（r（n）），其中r（n）=[x^n]（1-x/4+Sum_{k>=0}（B（2*k）/（2*k+1）*（2*k）！）*x^（2*k）），|x|<2*Pi。B（2*k）=A000367号（k）/A002445号（k） （伯努利数）。
a（n）=分子（B（n）/（n+1）！），n>=0。参见上述关于示例f.D（1，x）的注释-沃尔夫迪特·朗2013年7月15日
例子
理由r（n）：[1，-1/4，1/36，0，-1/3600，0，1/211680，0，-1-10886400，…]。
MAPLE公司
A120082号：=程序（n）局部b；如果n=0，则b:=1；elif n=1，则b：=-1/4；elif类型（n，‘奇数’）则b:=0；否则b:=bernoulli（n）/（n+1）；fi；数字（b）；结束时间：#R.J.马塔尔2009年9月3日
gf:=（1-x/4+总和（（bernoulli（2*k）/（2*k+1）*（2*k）！）*x^（2*k），k=0..无穷大）：
a:=proc（n）局部ser；如果n=0，则返回1 fi；ser:=系列（gf，x，n+2）：
数字（系数（ser，x，n））结束：序列（a（n），n=0..40）#彼得·卢什尼2022年12月2日
数学
表[分子[BernoulliB[n]/（（n+1）！）]，{n，0，50}](*G.C.格鲁贝尔2023年5月1日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[分子（伯努利（n）/阶乘（n+1））：[0.50]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年5月1日
（SageMath）
定义A120082号（n） ：返回分子（bernoulli（n）/阶乘（n+1））
T（0,0）=1，T（n+1,2*k）=-T（n，k），T（n+1,2*k+1）=T（n，k），k=0..n，按行读取三角形。
+10
10
1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1
链接
S.C.Woon，生成伯努利数的树，数学。Mag.，70（1997），51-56。
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a242179 n k=a242179_tabf！！不！！n个
a242179_row n=a242179 _ tabf！！n个
a242179_tabf=迭代（concatMap（\x->[-x，x]））[1]：：（数字t=>[[t]]）
a242179_list=连接a242179标签
（PARI）T（n，k）=（-1）^（n-海明威（k））；
a（n）=n++-（-1）^（logint（n，2）-hammingweight（n））\\凯文·莱德2021年3月11日
分母来自例如f.1/（1-exp（-x））-1/x。
+10
9
2, 12, 1, 120, 1, 252, 1, 240, 1, 132, 1, 32760, 1, 12, 1, 8160, 1, 14364, 1, 6600, 1, 276, 1, 65520, 1, 12, 1, 3480, 1, 85932, 1, 16320, 1, 12, 1, 69090840, 1, 12, 1, 541200, 1, 75852, 1, 2760, 1, 564, 1, 2227680, 1, 132, 1, 6360, 1, 43092, 1, 6960, 1, 708, 1, 3407203800, 1, 12, 1, 32640, 1, 388332, 1, 120, 1, 9372, 1, 10087262640, 1, 12
评论
zeta（-n）的分母，n>=0，其中zeta是黎曼的zeta函数。
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。系列55，第十次印刷，1972年，第807页，合并等式23.2.11，14和15。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。系列55，第十次印刷，1972年，第807页，合并等式23.2.11，14和15。
公式
a（n）=分母（-Zeta（-n））=分分母（（-1）^（n+1））*B（n+1。
对于奇数n，a（n）是p^（e+1）的乘积，其中p^e*（p-1）除以n+1，而p^。例如，a（11）=2^3*3^2*5^1*7^1*13^1=32760。
例子
1/2, 1/12, 0, -1/120, 0, 1/252, 0, -1/240, 0, 1/132, 0, -691/32760, ...
MAPLE公司
a:=n->分母（bernoulli（n+1，1）/（n+1））#彼得·卢什尼2009年4月22日
数学
a[m]：=和[（-2）^（-k-1）k！箍筋S2[m，k]，k，0，m}]/（2^（m+1）-1）；表[分母[a[i]]，{i，0，20}](*彼得·卢什尼2009年4月29日*）
表[分母[Zeta[-n]]，{n，0，49}](*阿隆索·德尔·阿特，2012年1月13日*）
带有[{nn=50}，分母[CoefficientList[Series[1/（1-Exp[-x]）-1/x，{x，0，nn}]，x]Range[0，nn-1]！]](*哈维·P·戴尔2016年4月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）
x='x+O（'x^66）；
egf=1/（1-exp（-x））-1/x；
v=Vec（塞拉普拉斯（egf））；
向量（#v，n，分母（v[n]））
（PARI）A075180型（n） =分母（bernfrac（n+1）/（n+1\\安蒂·卡图恩2018年12月19日，在Maple-program之后。
（哈斯克尔）
a075180 n=a075180_列表！！n个
a075180_list=映射（分母.sum）$zipWith（zipWist（%））
（zipWith（map.（*））a000142_list a242179_tabf）a106831_tabf
定义一个三角形，其中条目的形式为+-1/（b！c！d！e！…），其中阶乘的顺序很重要；逐行读取三角形，记录并展开分母。
+10
9
2, 6, 4, 24, 12, 12, 8, 120, 48, 36, 24, 48, 24, 24, 16, 720, 240, 144, 96, 144, 72, 72, 48, 240, 96, 72, 48, 96, 48, 48, 32, 5040, 1440, 720, 480, 576, 288, 288, 192, 720, 288, 216, 144, 288, 144, 144, 96, 1440, 480, 288, 192, 288, 144, 144, 96, 480, 192, 144, 96, 192
评论
第n行有2^n个术语。第0行是+1/2！。一个条目+-1/b！c！d！。。。有两个孩子，一个左孩子-+1/（a+1）！b！c！。。。和一个正确的孩子+-1/2！b！c！d！。。。
设S_n=三角形第n行中的项目之和。那么对于n>0，n！S_{n-1}是伯努利数B_n。
链接
S.C.Woon，生成伯努利数的树，数学。Mag.，70（1997），51-56。
公式
如果序列向右移动一项，则以下递归有效：
a（0）=1；对于n>0，a（2n）=（1+A001511号（2n））*a（n），a（2n+1）=2*a（n）。
（结束）
例子
Woon的“伯努利树”是这样开始的（另请参阅给定的维基百科链接）。该序列给出分母的值：
+1
────
2!
-1 / \ +1
──── ............../ \.............. ─────
三！2!2!
+1 . -1 -1 . +1
──── / \ ──── ──── / \ ──────
4! ...../ \..... 2!三！三！2! ...../ \.... 2!2!2!
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
-1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1
──── ──── ──── ────── ──── ────── ────── ────────
5! 2!4! 三！三！2!2!三！4!2! 2!三！2! 三！2!2! 2!2!2!2!
等。
MAPLE公司
该例程逐行计算三角形，并给出带符号的数字。
因此A（1）=[2]；A（2）=[-6,4]；A（3）=[24、-12、-12和8]；等。
A:=过程（n）局部k，i，j，m，W，T；k:=2；
W:=数组（0..2^n）；W[1]：=[1，`if`（n=0，1，2）]；
对于i从1到n-1，do对于m从k乘以2到2*k-1 do
T:=W[iquo（m，2）]；W[m]：=[-T[1]，T[2]+1，seq（T[j]，j=3..nops（T））]；
W[m+1]：=[T[1]，2，seq（T[j]，j=2.nops（T））]；od；k：=2*k；od；
seq（W[i][1]*mul（W[i][j]！，j=2..nops（W[i-]）），i=iquo（k，2）。。k-1）结束：
seq（打印（A（i）），i=1..5）；（结束）
数学
a[n_]：=模块[{k，i，j，m，w，t}，k=2；w=数组[0&，2^n]；w[[1]]：={1，如果[n==0，1，2]}；对于[i=1，i<=n-1，i++，对于[m=k，m<=2*k-1，m=m+2，t=w[[商[m，2]]]；w[[m]]={-t[[1]]，t[[2]]+1，序列@@表[t[[j]]，{j，3，长度[t]}}；w[[m+1]]={t[[1]]，2，序列@@表[t[[j]]，{j，2，长度[t]}]；k=2*k]；表[w[[i，1]]*乘积[w[i，j]]！，{j，2，长度[w[i]]}]，{i，商[k，2]，k-1}]]；表[a[i]，{i，1，6}]//扁平//Abs(*Jean-François Alcover公司，2013年12月20日，翻译自枫叶*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a106831 n k=a106831_tabf！！不！！n个
a106831_row n=a106831_tabf！！n个
a106831_tabf=地图（地图（\（_，_，左，右）->左*右））$
iterate（concatMap（\（x，f，left，right））->让f'=f*x进入
[（x+1，f'，f'（右），（3，2，2，左*右）]））[（3，2,2，1）]
（PARI）
A106831off1（n）=如果（！n，1，my（rl=1，m=1）；while（n，如果（！（n%2），rl++，m*=（（1+rl）！）；rl=1）；n>>=1）；（m） ）；
（PARI）
A106831r1（n）=如果（！n，1，如果（n%2，2*A106831 r1（（n-1）/2），（1+A001511号（n） ）*A106831r1（n/2））；\\实现给定的重复周期。
1, -2, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -691, 0, 1, 0, -3617, 0, 43867, 0, -174611, 0, 77683, 0, -236364091, 0, 657931, 0, -3392780147, 0, 1723168255201, 0, -7709321041217, 0, 151628697551, 0, -26315271553053477373
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。第55辑，第十次印刷，1972年，第998页，等。27.1.1对于n=1，提取系数（x^4）/4。
公式
a（n）=分子（r（n）），其中r（n）=[x^n]（1-4*x/（2*（4+1））+2*Sum_{k>=0}（B（2*k）/（（k+2）*（2*k）！）*x^（2*k）），|x|<2*Pi。B（2*k）=A000367号（k）/A002445号（k） （伯努利数）。
例子
理由r（n）：[1，-2/5，1/18，0，-1/1440，0，1/75600，0，-1-3628800，0，1/167650560，0，-691/5230697472000，…]。
黄体脂酮素
（岩浆）[分子（4*（n+1）*（n+2）*（n+3）*Bernoulli（n）/阶乘（n+4））：[0.50]]中的n//G.C.格鲁贝尔，2023年5月2日
（SageMath）[分子（4*（n+1）*（n+2）*（n+3）*bernoulli（n）/阶乘（n+4）），用于范围（51）中的n]#G.C.格鲁贝尔2023年5月2日
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 61, 1, 277, 1, 50521, 691, 41581, 1, 199360981, 3617, 228135437, 43867, 2404879675441, 174611, 14814847529501, 77683, 69348874393137901, 236364091, 238685140977801337, 657931, 4087072509293123892361, 3392780147, 454540704683713199807
评论
注意：并非所有a（n）都是1或素数，第一个例子是a（11）=50521，它等于19*2659。
a（2n）是Bernoulli不规则素数幂的乘积(A000928号)，但n=0,1,2,3,4,5,7除外。
a（2n+1）是欧拉不规则素数幂的乘积(A120337号)，但n=0,1,2除外。
猜想：所有项都是平方自由的，并且有无穷多个n，使得a（n）是素数。
a（n）＝1，当n在集合{0，1，2，3，4，5，6，8，10，14}中时。
a（n）是n={7，9，12，16，17，18，26，34，36，38，39，42，49，74，114，118，…}的素数。
a（n）的所有素因子都是不规则素数（Bernoulli或Euler），并且对n有不规则对：（61，7），（277，9），（19，11），（2659，11）、（691，12），（43，13），（967，13）、（47，15），（4241723，15）、（3617，16），（228135437，17），（43867，18），（79，19），（349，19）、（84224971，19）。。。
n的个数，使得素数p除以a（n）是p的不规则指数，例如，67除以a（27）和a（58），因此它有不规则指数2。
a（149）是第一个未完全因子化的a（n）（剩余202位复合数）。
数学
b[n_]：=分子[BernoulliB[2n]/（2n）]；
c[n_]：=分子[SeriesCoefficient[Log[Tan[x]+1/Cos[x]]，{x，0，2n+1}]]；
a[0]=1；a[n_]：=如果[EvenQ[n]，b[n/2]//Abs，c[（n-1）/2]]；
1, 2, 12, 1, 720, 1, 30240, 1, 1209600, 1, 47900160, 1, 1307674368000, 1, 74724249600, 1, 10670622842880000, 1, 5109094217170944000, 1, 802857662698291200000, 1, 14101100039391805440000, 1, 1693824136731743669452800000, 1, 186134520519971831808000000, 1, 37893265687455865519472640000000, 1, 759790291646040068357842010112000000, 1
参考文献
M.Kauers和P.Paule，《混凝土四面体》，施普林格出版社2011年，第23页。
公式
递归：R（0）=1和R（n）=-和{k=0..n-1}R（k）/（n-k+1）！对于n>=1。则a（n）=分母（R（n））-彼得·卢什尼2015年7月30日
例子
1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600, 0, ...
数学
分母[系数列表[系列[x/（1-E^-x），{x，0，26}]，x]](*罗伯特·威尔逊v2016年12月29日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
@缓存函数
def R（n）：如果n>0，则返回（0..n-1）中k的总和（R（k）/阶乘（n-k+1））
打印（[R（n）.denominator（）for n in（0..31）]）#彼得·卢什尼2015年7月30日
1, 2, -3, -6, 45, 11, -1372, 4298, 59244, -573463, -2432023, 75984243, -136498141, -10881169822, 100704750342, 1514280063802, -36086469752977, -102642110690866, 11883894518252419, -77863424962770751, -3705485804176583500, 71306510264347489177
评论
对数变换[LOG]将输入序列b（n）转换为输出序列a（n）。LOG变换是指数变换[EXP]的逆变换，参见Weisstein链接以及Sloane和Plouffe参考。这种关系称为里德尔公式。有关EXP转换的信息，请参见A274804型。对数变换与逆多项式变换有关，请参见A274844号和第一个公式。
LOG变换的定义，见第二个公式，表明n>=1。对于偏移量为0的序列b（n），要保留n>=0的恒等式EXP[LOG[b（n。
我们观察到，对数变换未定义a（0）的值。
Maple程序可用于生成序列的对数变换。第一个程序使用的公式由阿洛伊斯·海因茨，请参阅A001187号和第一个公式。第二个程序使用对数变换的定义，请参阅Weisstein链接和第二个公式。第三个程序使用有关对数变换的逆运算的信息，请参见A274804型.
参考文献
Frank Harary和Edgar M.Palmer，《图形计数》，1973年。
罗伯特·詹姆斯·里德尔（Robert James Riddell），《对凝聚理论的贡献》，密歇根大学论文，安娜堡，1951年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，1995年，第18-23页。
链接
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，一些标准整数序列《线性代数及其应用》，第226-228卷（1995年），第57-72页。勘误表320（2000），210。[链接到arXiv版本]
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，一些正则整数序列，线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]
Eric W.Weisstein数学世界，对数变换.
公式
a（n）=b（n）-和{k=1..n-1}（（k*二项式（n，k）*b（n-k）*a（k））/n）=A000203号（n） =西格玛（n）。
例如，log（1+Sum_{n>=1}（b（n）*x^n/n！）），n>=1，其中b（n）=A000203号（n） =西格玛（n）。
例子
a（0）=未定义
a（1）=1*x（1）
a（2）=1*x（2）-x（1）^2
a（3）=1*x（3）-3*x（1）*x（2）+2*x（一）^3
a（4）=1*x（4）-4*x（1）*x（3）-3*x（2）^2+12*x（一）^2*x
a（5）=1*x（5）-5*x（1）*x（4）-10*x（2）*x
MAPLE公司
nmax:=22：使用（数字理论）：b:=proc（n）：sigma（n）end:a:=prog（n）选项记忆；b（n）-加（k*二项式（n，k）*b（n-k）*a（k），k=1..n-1）/n：结束：seq（a（n），n=1..nmax）；#结束第一个LOG程序。
nmax:=22：使用（数字理论）：b:=proc（n）：sigma（n）end:t1:=log（1+add（b（n）*x^n/n！，n=1…nmax+1））：t2：=系列（t1，x，nmax+1）：a：=进程（n）：n*系数（t2，x，n）结束：seq（a（n），n=1..nmax）；#结束第二个LOG程序。
nmax:=22：使用（数字理论）：b:=proc（n）：sigma（n）end:f:=系列（exp（add（r（n）*x^n/n！，n=1…nmax+1）），x，nmax+1）：d：=进程（n）：n*系数（f，x，n）结束：a（1）：=b（1）:r结束第三个LOG程序。
数学
a[1]=1；a[n]：=a[n]=除数西格玛[1，n]-和[k*二项式[n，k]*除数西格玛[1，n-k]*a[k]，{k，1，n-1}]/n；表[a[n]，{n，1，22}](*Jean-François Alcover公司2017年2月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）N=33；x='x+O（'x^N）；Vec（舍拉普拉斯（对数（1+总和（n=1，n，σ（n）*x^n/n！）））\\乔格·阿恩特，2017年2月27日
交叉参考
囊性纤维变性。A112005号,A007553号,A062740号,A007447号,A062738号,A033464号,A116652号,A002031号,A003704号,A003707号,155585英镑,A000142号,A226968型.
按行读取三角形：T（n，k）=（k+1）*S2（n+1，k+1），对于n>=k>=0和S2=A048993号（搅拌2）。
+10
三
1, 1, 2, 1, 6, 3, 1, 14, 18, 4, 1, 30, 75, 40, 5, 1, 62, 270, 260, 75, 6, 1, 126, 903, 1400, 700, 126, 7, 1, 254, 2898, 6804, 5250, 1596, 196, 8, 1, 510, 9075, 31080, 34755, 15876, 3234, 288, 9, 1, 1022, 27990, 136420, 212625, 136962, 41160, 6000, 405, 10, 1, 2046, 85503, 583000, 1233650, 1076922, 447909, 95040, 10395, 550, 11
评论
这个下三角矩阵T是元素Narumi[-1]（n，m）/（m+1）=S1（n+1，m+1）/（n+1）的三角矩阵的逆矩阵，参数a=-1和S1使用Narumi三角形=A048994号（斯特林1），即总和{k=m..n}T（n，k）*S1（k+1，m+1）/（k+1）=delta_{n，m}（克罗内克符号）。
该三角形由有理Sheffer矩阵Narumi[-1]=（log（1+x）/x，log（1+x）的逆矩阵产生（这种特殊的Shefffer矩阵（g（x），x*g（x））定义了Narumi子群的元素）。逆矩阵为（Narumi[-1]）^（-1）=（（exp（x）-1）/x，exp（x）-1）。
为了得到整数矩阵，取T（n，k）：=（n+1）*（Narumi[-1]）^（-1）（n，k）=（k+1）*S2（n+1，k+1）。与S2的连接=A048993号由每个Narumi型矩阵N=（g（x），x*g（x））及其相关Sheffer矩阵J=（1，x*g（x））（这是Jabotinsky型）之间的一般关系得出的结果，即N（N，m）=（m+1）*J（N+1，m+1）/（N+1），或与行多项式Npol（N，x）=（1/（N+1。
带符号三角形（-1）^（n-k）*A028421号（n，k）（上对角线用零填充）给出了用元素（n+1）*Narumi[-1]（n，k）缩放的整数矩阵n。Nscale的逆矩阵具有有理元素（Narumi[-1]）^（-1）（k，m）/（m+1）=（1/（k+1））*S2（k+1,m+1）。
Boas-Buck型列递归（也可参考链接）使用o.g.f.GBB（y）=exp（y）/（exp（y）-1）-1/y，BB（n）=（-1）^（n+1）的序列*A060054号（n+1）/A227830型（n+1），对于n>=1。有关重现性，请参阅公式部分。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k的Meixner型恒等式（参见Meixer链接）是从Narumi[-1]^。这里d/dx是微分算子。
行多项式的罗马型递推（见参考文献，推论3.7.2。第50页）变为：R（n，x）=（（n+1）/n）*{（x+1/2）*1+（x-z（1））*d/dx-求和{k=2..n-1}（1/k！）*z（k）*（d/dx）^k}*R（n-1，x），对于n>=1和R（0，x）=1。
参考文献
史蒂文·罗曼，本影微积分，学术出版社，1984年。
公式
T（n，k）=（n+1）*（Narumi[a=-1]）^（-1）*A028421号（n，k）/（n+1）。
例如，对于k列序列：E（k，x）=（x*d/dx+1）*EN（k，x），其中EN（k、x）=exp（x）-1）^（k+1）/（x*k！）是（Narumi[a=-1]）^。因此E（k，x）=exp（x）*（exp（x）-1）*（k+1）/k！，对于k>=0。
例如，对于（普通）行多项式R（n，x）：Epol（z，x）=exp（z）*exp。
重现性（来自Stirling2）：T（n，k）=0，对于n<k；T（n，0）=（k+1）*T（n-1，k），对于n<=1，T（0，0）=1；T（n，k）=（k+1）*（T（n-1，k）+T（n-1，k-1）/k），对于n>=1，k>=1。
递归（来自a序列和z序列，见上文）：a={1，1/2，-1/6，1/4，-19/30，9/4，…}，z={1/2，-1/12，1/12，-19/120，9/20，-863/504，…}。
T（n，k）=0，对于n<k；T（n，0）=（n+1）*Sum_{j=0..n-1}z（j）*T（n-1，j），对于n>=1，T（0，0）=1；T（n，k）=（（n+1）/k）*和{j=0..n-m}二项式（k-1+j，j）*a（j）*T（n-1，k-1+j）。
k列的重现性，来自Boas-Buck型序列BB（n）=（-1）^（n+1）*A060054号（n+1）/A227830型（n+1），对于n>=0；BB={1/2，1/12，0，-1/720，0，1/30240，0，-1-1209600，…}:T（n，k）=0，对于n<k；T（n，n）=n+1，对于n>=0；T（n，k）=（（n+1）*（k+1）/（n-k））*和{j=k.n.n-1}（1/（j+1）！）*BB（n-（j+1））*T（j，k），对于n>=0和k=0，1。。。，n-1。
T（n，k）=搅拌2（n+2，k+1）-搅拌2（n+1，k）-彼得·卢什尼2020年5月26日
例子
三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
----------------------------------------------------------------------
0: 1
1: 1 2
2: 1 6 3
3: 1 14 18 4
4: 1 30 75 40 5
5: 1 62 270 260 75 6
6: 1 126 903 1400 700 126 7
7: 1 254 2898 6804 5250 1596 196 8
8: 1 510 9075 31080 34755 15876 3234 288 9
9: 1 1022 27990 136420 212625 136962 41160 6000 405 10
10: 1 2046 85503 583000 1233650 1076922 447909 95040 10395 550 11
...
重现性（来自斯特林2）：T（4,2）=3*（T（3,2）+T（3,1）/2）=3*（18+14/2）=75。
递归（从a序列和z序列）：T（4,0）=5*（（1/2）*T（3,0）-（1/12）*T；T（4,2）=（5/2）*（1*1*T（3,1）+2*（1/2）*T（3，2）+3*（-1/6）*T。
列k=2（Boas-Buck型）的递归：T（4，2）=（5！*3/2）*（（1/3！）*（1/12）*T（2，2）+（1/4！）*。
行多项式的Meixner恒等式，对于n=3:{d/dx-（1/2）*（d/dx）^2+（1/3）*（d/dx）^3）}*R（3，x）/4）=（（14-36/2+24/3）+（36-24/2）*x+12*x^2）/4=（1+6*x+3*x^3）=R（2，x）。
行多项式的罗马式递推：R（n，3）=（3/2）*{（x+1/12）*（1+6*x+3*x^2）+（x-（-1/2））*（6+6*x）-（1/2！）*（1/12）*6}=1+14*x+18*x^2+4*x^3。
MAPLE公司
T： =（n，k）->（k+1）*Stirling2（n+1，k+1）：seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..10）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月3日
数学
T[n_，k_]：=（k+1）*箍筋S2[n+1，k+1]；表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2018年12月3日*）
黄体脂酮素
（GAP）平面（列表（[0..10]，n->列表（[0..n]，k->（k+1）*Stirling2（n+1，k+1）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月3日
riordan_square（exp（x）-1，10，真）#彼得·卢什尼2019年1月3日
（PARI）T（n，k）=（k+1）*斯特林（n+1，k+1，2）\\托马斯·谢伊尔2023年11月10日
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