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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000720号 pi(n),素数<=n。有时称为PrimePi(n。。。
(原名M0256 N0090)
1898
0、1、2、2、3、4、4、4、4、5、5、6、6、6、7、8、8、8、9、9、9、10、11、11、11、11、11、12、12、12、13、13、14、14、14、15、15、15、15、15、16、16、16、17、17、18、18、18、18、19、19、20、21、21、21,21,21,21 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1,3
评论
的部分总和A010051型(素数的特征函数)-杰里米·加德纳2002年8月13日
pi(n)和素数(n)是反函数:a(A000040型(n) )=n和A000040型(n) 是最小的数字m,因此A000040型(a(m))=A000040型(n) ●●●●。A000040型(a(n))=n,如果(且仅当)n是素数-乔纳森·桑多2004年12月27日
请参阅中提到的其他参考和链接A143227号-乔纳森·桑多2008年8月3日
N越大越好的一个下限是至少有T个素数小于N,其中递归函数T是:T=N-N*Sum_{i=0..T(sqrt(N))}A005867号(i)/A002110号(i) ●●●●-本·保罗·瑟斯顿2010年8月23日
将2n划分为两个部分的数量,其中部分质数最小-韦斯利·伊万·赫特2013年7月20日
等效于黎曼假设:abs(a(n)-li(n))<sqrt(n)*log(n)/(8*Pi),对于n>=2657,其中li(n)是对数积分(Lowell Schoenfeld)-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日
第二个Hardy-Littlewood猜想,即对于min{x,y}>=2的整数x和y,pi(x)+pi(y)>=pi(x+y),已知对于足够大的(x,y)成立(Udrescu 1975)-彼得·卢什尼2021年1月12日
参考文献
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链接
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Wolfram研究公司,pi(n)的前50个值.
配方奶粉
素数定理给出了a(n)~n/log(n)的渐近表达式。
对于x>1,pi(x)<(x/log x)*(1+3/(2 log x))。对于x>=59,pi(x)>(x/log x)*(1+1/(2 log x))。[Rosser和Schoenfeld]
对于x>=355991,pi(x)<(x/log(x。对于x>=599,pi(x)>(x/log(x。[杜萨特]
对于x>=55,x/(log(x)+2)<pi(x,<x/(对数(x)-4)。[罗瑟]
对于n>1,A138194号(n) <=a(n)<=A138195号(n) (切比雪夫,1850)-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日
对于n>=33,a(n)=1+和{j=3..n}((j-2)!-j*地板((j-2)/j) )(哈代和赖特);对于n>=1,a(n)=n-1+总和{j=2..n}(floor(2-总和{i=1..j}(loor(j/i)-地板(j-1)/i))(Ruiz和Sondow 2000)-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月31日
a(n)=A001221号(A000142号(n) )-贝诺伊特·克洛伊特2005年6月3日
G.f.:和{p素数}x^p/(1-x)=b(x)/(1-xA010051型-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年6月15日
a(n)=A036234号(n) -1-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年3月23日
发件人恩里克·佩雷斯·埃雷罗2010年7月12日:(开始)
a(n)=总和{i=2..n}层((i+1)/A000203号(i) )。
a(n)=总和{i=2..n}层(A000010号(n) /(i-1))。
a(n)=总和{i=2..n}层(2/A000005号(n) )。(结束)
设pf(n)表示整数n的素因子集,则a(n)=card(pf(n!/floor(n/2)!)-彼得·卢什尼2011年3月13日
a(n)=-总和{p<=n}μ(p)-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日
a(n)=(1/2)*Sum_{p<=n}(mu(p)*d(p)*sigma(p)*1phi(p-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日
a(1)=0,然后,对于所有k>=1,重复kA001223号(k) 次-让-克里斯托弗·赫韦2013年10月29日
a(n)=n/(log(n)-1-和{k=1..m}233824英镑(k) /log(n)^k+O(1/log(n-乔纳森·桑多2013年12月19日
a(n)=A001221号(A003418号(n) )-埃里克·德斯比亚2014年5月1日
a(n)=总和{j=2..n}H(-sin^2(Pi*(Gamma(j)+1)/j)),其中H(x)是Heaviside阶跃函数,取H(0)=1-凯沙夫·拉加万2016年6月18日
一个(A014076号(n) )=(1/2)*(A014076美元(n) +1)-n+1-克里斯托弗·海林2017年3月3日
发件人史蒂文·福斯特·克拉克2018年9月25日:(开始)
a(n)=和{m=1..n}A143519号(m) *地板(n/m)。
a(n)=和{m=1..n}A001221号(米)*A002321号(楼层(n/m)),其中A002321号()是Mertens函数。
a(n)=总和(m=1..n)|A143519号(m) |*A002819号(楼层(n/m)),其中A002819号()是Liouville Lambda求和函数,|x|是x的绝对值。
a(n)=和{m=1..n}A137851号(m) /m*H(楼层(n/m)),其中H(n)=和{m=1..n}1/m是调和数函数。
a(n)=和{m=1..log_2(n)}A008683号(米)*A025528号(楼层(n^(1/m)),其中A008683号()是Moebius mu函数A025528号()是素数幂计数函数。
(结束)
求和{k=2..n}1/a(k)~(1/2)*log(n)^2+O(log(n))(de Koninck and Ivić,1980)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日
a(n)~1/(n^(1/n)-1)-托马斯·奥多夫斯基2023年1月30日
例子
有3个素数<=6,即2、3和5,所以pi(6)=3。
MAPLE公司
带有(数字理论);A000720号:=π;[顺序(A000720号(i) ,i=1..50)];
数学
A000720号[n_]:=PrimePi[n];表[A000720号[n] ,{n,1100}]
数组[PrimePi[#]&,100]
累加[Table[Boole[PrimeQ[n]],{n,100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)A000720号=向量(100,n,ω(n!))\\仅供说明;更好地使用A000720号=素数
(PARI)向量(300,j,素数(j))\\乔格·阿恩特2008年5月9日
(鼠尾草)[范围(1,79)中n的prime_pi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(岩浆)[1..200]]中的[#PrimesUpTo(n):n//布鲁诺·贝塞利2011年7月6日
(哈斯克尔)
a000720 n=a000720_列表!!(n-1)
a000720_list=扫描1(+)a010051_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月15日
(Python)
从sympy导入primepi
对于范围(1100)中的n:打印(primepi(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月30日
交叉参考
囊性纤维变性。A099802号:素数<=2n。
囊性纤维变性。A060715号:n到2n之间的素数(不含)。
囊性纤维变性。A035250型:n和2n(含)之间的素数。
囊性纤维变性。A038107号:素数<n^2。
囊性纤维变性。A014085号:介于n^2和(n+1)^2之间的素数。
囊性纤维变性。A007053号:素数<=2^n。
囊性纤维变性。A036378号:2的幂之间的素数p,2^n<p<=2^(n+1)。
囊性纤维变性。A006880型:素数<10^n。
囊性纤维变性。A006879号:n位数的素数。
囊性纤维变性。A033270型:奇数素数<=n。
有关a(n)的大值列表,请参见,例如。,A005669号(n) =a(A002386号(n) ),A214935型(n) =a(A205827型(n) )。
关键词
非n核心容易的美好的改变
作者
扩展
其他链接由贡献Lekraj Beedassy公司2003年12月23日
编辑人M.F.哈斯勒,2018年4月27日和2018年12月21日(恢复链接)
状态
经核准的

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