搜索: 编号:a003415
|
|
A003415号
|
| a(n)=n’=n的算术导数:a(0)=a(1)=0,a(素数)=1,a(m*n)=m*a(n,n)+n*a(m)。 (原名M3196)
|
|
+0 1005
|
|
|
0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, 8, 32, 1, 21, 1, 24, 10, 13, 1, 44, 10, 15, 27, 32, 1, 31, 1, 80, 14, 19, 12, 60, 1, 21, 16, 68, 1, 41, 1, 48, 39, 25, 1, 112, 14, 45, 20, 56, 1, 81, 16, 92, 22, 31, 1, 92, 1, 33, 51, 192, 18, 61, 1, 72, 26, 59, 1, 156, 1, 39, 55, 80, 18, 71
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
评论
|
通过定义a(-n)=-a(n),可以扩展为负数。
基于函数微分的乘积规则:对于函数f(x)和g(x),(fg)'=f'g+fg'。对于数字,(ab)'=a'b+ab'。这意味着1'=0-凯里·米切尔2004年3月18日
一个数x对素数p的导数为“dx/dp”=(x-x^p)/p,根据费马小定理,这是一个整数Alexandru Buium,2004年3月18日
关系式(ab)'=a'b+ab'意味着1'=0,但它并不意味着p'a素数的p'=1。事实上,定义在素数上的任何函数f都可以唯一地扩展为满足此关系的整数上的函数:f(Product_i p_i^e_i)=(Product_ip_i*i*f(p_i)/p_i)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年11月7日
设n是k素数的多集P的乘积。考虑一个k维盒子,它的边是P的元素,那么这个盒子的(k-1)维曲面是2*a(n)。例如,2*a(25)=20,即5 X 5正方形的周长。类似地,2*a(18)=42,即2X3X3盒子的表面积-大卫·W·威尔逊2011年3月11日
1911年6月,西班牙数学家若泽·明戈特·雪莱(JoséMingot Shelly)首次引入了算术导数n’,并在“格拉纳达州国家议会第二次会议”(Tercer Congreso Nacional para el Progreso de las Ciencias,Granada)上发表了“Una cuestión de la teoría de los nümeros”(参见Zentralblatt MATH的摘要链接),以及L.E.Dickson,数字理论史-乔治·巴尔扎罗蒂,2013年10月19日
当n是复合的时,似乎a(n)有下界2*sqrt(n),当n是素数的平方时,a(n-丹尼尔·福格斯2016年6月22日
如果n=p1*p2*p3*。。。其中p1、p2、p3。。。是n的所有素因子(不一定是不同的),h是一个实数(我们假设h非负且<1),n的算术导数等价于n’=lim{h->0}((p1+h)*(p2+h)x(p3+h)*…-(p1*p2*p3*…))/h。也可以得出素数的算术导数是1。我们可以假设h=1/N,其中N是一个整数;然后限制变为{N->oo}。注意n=1不是素数,它起着常数的作用-乔治·巴尔扎罗蒂,2023年5月1日
|
|
参考文献
|
G.Balzarotti,P.P.Lava,La derivata aritmetica,编辑U.Hoepli,米兰,2013年。
E.J.Barbeau,加拿大问题。数学。《国会笔记》,第5期(1973年4月第8期),第6-7页。
L.E.Dickson,《数字理论史》,第1卷,第19章,第451页,多佛版,2005年。(原著于1919年出版。)
A.M.Gleason等人,《威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛:1938-1964年的问题和解决方案》,《数学》。《美国协会》,1980年,第295页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
Krassimir T.Atanassov,第n素数的一个公式2013年第4期,Tome 66,Comptes rendus de l'Académie bulgare des Sciences。
E.J.Barbou,关于算术导数的注记、加拿大。数学。牛市。第4卷,第2期,1961年5月。
A.建筑物,推导的算术类比《代数杂志》198(1997),第1期,290-299。
A.建筑物,差分模块形式J.Reine Angew著。数学。520 (2000), 95-167.
布拉德·埃蒙斯和肖肖,算术偏导数,arXiv:2201.12453[math.NT],2022。
何塞·玛丽亚·格劳和安东尼奥·奥尔勒·马塞恩,Giuga数与算术导数《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.4.1号。
J.Ković,算术导数和反导数《整数序列杂志》15(2012),第12.3.8条。
Victor Ufnarovski和BoÅhlander,如何区分数字,J.整数序列。,2003年第6卷,#03.3.4。
琳达·韦斯特里克,数字导数的研究,2003年西门子基金会竞赛和2004年英特尔科学人才搜索。
|
|
配方奶粉
|
如果n=乘积p_i^e_i,a(n)=n*总和(e_i/p_i)。
a(n)=n*Sum_{p|n}v_p(n)/p,其中v_p(n)是素数p除以n的最大幂-韦斯利·伊万·赫特2015年7月12日
对于n>=2,求和{k=2..n}层(1/a(k))=pi(n)=A000720号(n) (见K.T.Atanassov文章)-伊万·伊纳基耶夫2019年3月22日
极限{n->oo}(1/n^2)*Sum_{i=1..n}a(i)=A136141号/2.
极限{n->oo}(1/n)*和{i=1..n}a(i)/i=A136141号.
a(n)=n当且仅当n=p^p,其中p是质数。(结束)
如果n不是素数,那么a(n)>=2*sqrt(n),或者换句话说,对于所有k>=1,其中A002620型(n) +k不是素数,我们有一个(A002620型(n) +k)>n。[参见Ufnarovski和奥伦德,定理9,第(3)点。]
(结束)
|
|
例子
|
6' = (2*3)' = 2'*3 + 2*3' = 1*3 + 2*1 = 5.
请注意,例如,2'+3'=1+1=2,(2+3)'=5'=1。所以'不是线性的。
G.f.=x^2+x^3+4*x^4+x^5+5*x^6+x^7+12*x^8+6*x^9+7*x^10+。。。
|
|
MAPLE公司
|
A003415号:=程序(n)局部B,m,i,t1,t2,t3;B:=1000000000039;如果n<=1,则返回(0);fi;如果是质数(n),则返回(1);fi;t1:=系数(B*n);m:=nops(t1);t2:=0;对于i从1到m做t3:=op(i,t1);如果nops(t3)=1,则t2:=t2+1/op(t3;否则t2:=t2+op(2,t3)/op(op(1,t2));fiod:t2:=t2-1/B;n*t2;结束;
局部a,f;
a:=0;
对于ifactors(n)[2]中的f do
a:=a+op(2,f)/op(1,f);
结束do;
不适用;
|
|
数学
|
a[n_]:=如果[Abs@n<2,0,n总计[#2/#1&@@@FactorInteger[Abs@n]];(*迈克尔·索莫斯2011年4月12日*)
dn[0]=0;dn[1]=0;dn[n_?阴性]:=-dn[-n];dn[n_]:=模[{f=Transpose[FactorInteger[n]]},如果[PrimeQ[n],1,Total[n*f[[2]]/f[[1]]]];表[dn[n],{n,0,100}](*T.D.诺伊2012年9月28日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)A003415号(n) ={局部(fac);如果(n<1,0,fac=因子(n);和(i=1,矩阵大小(fac,[1],n*fac[i,2]/fac[i,1]))}/*迈克尔·B·波特,2009年11月25日*/
(PARI)适用(A003415号(n) =向量([n/f[1]*f[2]|f<-因子(n+!n)~]),[0..99])\\M.F.哈斯勒,2013年9月25日,2019年11月27日更新
(哈斯克尔)
a003415 0=0
a003415 n=ad n a000040_list,其中
ad 1=0
广告语(p:ps)
|n<p*p=1
|r>0=ad n ps
|否则=n’+p*ad n’ps’,其中
(n’,r)=divMod n p
(Magma)Ad:=func<h|h*(&+[分解(h)[i][2]/分解(h;[n le 1选择0 else Ad(n):n in[0..80]]//布鲁诺·贝塞利2013年10月22日
(Python)
来自sympy导入因子
如果n>1,则返回和([int(n*e/p)for p,e in factorint(n).items()]),否则为0
(鼠尾草)
F=[],如果n==0,其他系数(n)
返回n*sum(f为g/f,f为g)
(间隙)
(APL,Dyalog方言)A003415号← { ⍺←(0 1 2) ⋄ ⍵≤1:⊃⍺ ⋄ 0=(3⊃⍺)|⍵:((⊃⍺+(2⊃⍺)×(⍵÷3⊃⍺)) ((2⊃⍺)×(3⊃⍺)) (3⊃⍺)) ∇ ⍵÷3⊃⍺ ⋄ ((⊃⍺) (2⊃⍺) (1+(3⊃⍺))) ∇ ⍵} ⍝安蒂·卡图恩2024年2月18日
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A328235型(最小k>0,使得对于某些自然数u,(n+k)'=u*n')。
囊性纤维变性。A328236型(最小m>1,使得对于某些自然数u,(m*n)'=u*n')。
囊性纤维变性。A328251型(对于任何k>=0,k次算术导数都不是平方自由的)。
囊性纤维变性。A342003(除n'的任何素数幂p^k的最大指数k)。
囊性纤维变性。A328383型(至少k使得n的k阶导数是n的倍数或除数,但不是两者都是)。
囊性纤维变性。A038554号(另一个序列名称中使用了“导数”,但涉及n的二进制展开)。
|
|
关键词
|
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
搜索在0.011秒内完成
|