算术导数可以在非唯一分解域上定义吗？

鉴于 $n\in\mathbb{Z}$ ,它的算术导数n个'定义如下：（i）0’=1’=（-1）’=0。（ii）如果 $n=up_1\cdot p_k$ ,哪里 $u=\pm 1$ 和 $p_1，\点，p_k$ 是素数（其中一些可能相等），那么

$\开始{显示方式}n'=n\sum_｛j=1｝^k\frac｛1｝｛p_j｝=u\sum_｛j=1｝^kp_1\cdots p_{j-1}点_{j+1}\cdots p_k。\结束{显示方式}$

在任何唯一的因子分解域中都可以给出类似的定义。反过来呢？算术导数可以（很好地）定义在非唯一因子分解域上吗？在一般情况下，这还有待观察，但对于某些二次域的整数，我们的回答是否定的。我们还给出了答案为否定的一个充分条件。