搜索： a233822-编号：a2338222
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104272年
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| Ramanujan素数R_n:a（n）是最小的数，如果x>=a（n。 |
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2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, 503, 569, 571, 587, 593, 599, 601, 607, 641, 643, 647, 653, 659
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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谈到他对贝特朗公设的证明，拉马努扬提出了一个推广：“由此我们很容易推断出，如果x>=2，11，17，29，41，…，那么pi（x）-pi（x/2）>=1，2，3，4，5，…。”由于a（n）是质数（根据它们的极小性），我称它们为“拉马努詹质数”
2n log 2n<a（n）<4n log 4n表示n>=1，素数（2n）<a（n）<素数（4n）表示n>1。同样，a（n）~素数（2n）为n->无穷大。
Shanta Laishram证明了所有n的a（n）<素数（3n）>=1。
a（n）-3n log 3n有时是正的，但随着n的增加，负的频率也在增加。应该有一个常数m，对于n>=m，我们有一个（n）<3n log 3n。
[1..1000]中n的A（n）=R_n的良好近似值为A162996型（n） =round（k*n*（log（k*n）+1）），其中k=2.216由前1000个Ramanujan素数经验确定，它近似于第{k*n}-个素数，而第n个素数又近似于第n个Ramanu jan素元，其中abs(A162996型（n） -R_n）<2*sqrt(A162996型（n） ）表示[1..1000]中的n。由于R_n~素数（2n）~2n*（log（2nA162996型（n） ~素数（k*n）~k*n*（log（k*n）+1）~kxn*log（k*n），A162996型（n） /R_n~k/2=2.216/2=1.108，这意味着渐近高估约10%（更好的近似值需要k依赖于n且渐近于2）-丹尼尔·福格斯2009年7月29日
设p_n是第n素数。如果p_n>=3在序列中，则所有整数（p_n+1）/2，（p_n+3）/2。。。，（p（n+1）-1）/2是复合数-弗拉基米尔·舍维列夫2009年8月12日
用q（n）表示从右边到a（n）/2最近的素数。那么在a（n）和2q（n）之间存在一个素数。一般来说，逆不是真的，即序列外存在素数，但具有这种性质（例如109）-弗拉基米尔·舍维列夫2009年8月14日
Mathematica程序FasterRamanujanPrimeList使用Laishram的结果a（n）<prime（3n）。
<19000的素数中约46%是Ramanujan素数。小于19000的孪生素数中，约78%是拉马努扬素数。
<19000的素数中约有15%是孪生素数中较小的。<19000的Ramanujan素数中约有26%是孪生素数中较小的。
跳跃的原因在“拉马努扬素数和贝特朗假设”的第7节和“拉马纽扬素数：束缚、奔跑、双胞胎和间隙”的第4节中。（有关表1的更正版本，请参阅arXiv链接。）
参见夏皮罗2008，了解拉马努扬对贝特朗假设概括的证明。（结束）
第（10^n）次R素数：2，97，1439，19403，242057，2916539，34072993，389433437-罗伯特·威尔逊v，2011年5月7日，2012年8月2日更新
R素数<10^n:1，10，72，559，4459，36960，316066，2760321-罗伯特·威尔逊v2012年8月2日
在“广义Ramanujan素数”中，a（n）=R_n=R_{0.5，n}
或者最大的素数x，使得（x/2，x]中的素数等于n。这个等价的定义强调了Ramanujan和Labos素数之间的一个重要类比（参见。A080359号). -弗拉基米尔·舍维列夫2012年4月29日
关于R_n-素数（2n）的几个问题A233739型Christian Axler在《论广义Ramanujan素数》中对此作出了回答-乔纳森·松多2014年2月13日
Srinivasan引理（2014）：如果R_n=prime（k）且n>1，则prime（k-n）<prime（k）/2。证明：通过R_n的极小性，区间（素数（k）/2，素数（k）]正好包含n个素数，因此素数（k-n）<prime（k）/2-乔纳森·松多2014年5月10日
扩展Sondow 2010年的评论：约48%<10^9的素数是Ramanujan素数。小于10^9的孪生素数中，约有76%是Ramanujan素数-达娜·雅各布森2015年9月6日
Sondow、Nicholson和Noe在2011年推测，对于m>=1和n>=n_m，π（R_{m*n}）<=m*pi（R_n）（参见1990年4月13日,A190414型)2015年，Shichun Yang和Alain Togbé证明n>10^300-乔纳森·松多2015年12月1日
Berliner、Dean、Hook、Marr、Mbirika和McBee（2016）在定理18中证明了图K_{m，n}是n>=R的素数_{m-1}-m; 看见A291465型. -乔纳森·松多2017年5月21日
Okhotin（2012）使用Ramanujan素数证明了“一元字母表上的无歧义有限自动机”中的引理8-乔纳森·松多2017年5月30日
Sepulcre和Vidal（2016）在“关于指数多项式零点的实投影的非孤立性”的备注9中应用了Ramanujan素数-乔纳森·松多2017年5月30日
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参考文献
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Srinivasa Ramanujan，《Srinivassa Ramanu jan的论文集》（编辑G.H.Hardy，S.Aiyar，P.Venkatesvara和B.M.Wilson），Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，2000年，第208-209页。
哈罗德·夏皮罗（Harold N.Shapiro），拉马努扬（Ramanujan）的思想，《数字理论导论》第9.3B节，多佛，2008年。
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链接
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N.Amersi、O.Beckwith、S.J.Miller、R.Ronan、J.Sondow、，广义Ramanujan素数，arXiv:1108.0475[math.NT]，2011年。
N.Amersi、O.Beckwith、S.J.Miller、R.Ronan、J.Sondow，广义Ramanujan素数，组合数和加法数理论，Springer Proc。数学和统计，CANT 2011年和2012年，第101卷（2014年），1-13。
欧内斯特·希布斯，素数的分量相互作用，《国会科技大学博士论文》（2022年），见第33页。
凯瑟琳·李，最小互质图标号，arXiv:1907.12670[math.CO]，2019年。
Jaban Meher和M.Ram Murty，拉马努扬对伯特兰假设的证明阿默尔。数学。《月刊》，第120卷，第7期（2013年），第650-653页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬，伯特兰公设的证明，J.印度数学。《社会学杂志》，11（1919），181-182。
Jonathan Sondow和E.Weisstein，伯特兰假设《数学世界》。
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配方奶粉
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a（n）=1+最大值{k:pi（k）-pi（k/2）=n-1}。
a（n）=max{prime p:pi（p）-pi（p/2）=n}（见Shevelev 2012）-乔纳森·松多2016年3月23日
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例子
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a（1）=2是Bertrand的假设：对于所有x>=2，pi（x）-pi（x/2）>=1。
a（2）=11，因为对于n=16，15。。。，但pi（10）-pi（5）=1。
考虑a（9）=71。那么最接近的素数>71/2是37，在a（9）和2*37之间，即在71和74之间，存在一个素数（73）-弗拉基米尔·舍维列夫，2009年8月14日[由更正乔纳森·松多，2013年6月17日]
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MAPLE公司
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局部R；
如果n=1，则
返回2；
结束条件：；
R:=ithprime（3*n-1）；#上限Laishram thrm thrm 3 arXiv：1105.2249
虽然是真的
如果A056171号（R） =n，然后#定义。Shevelev JIS 14（2012）第12.1.1条
返回R；
结束条件：；
R:=首字母（R）；
结束do：
结束进程：
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数学
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（RamanujanPrimeList[n_]：=使用[{T=表[{k，PrimePi[k]-PrimePi[k/2]}，{k，天花板[n[4*n*Log[4*n]]}]}、表[1+First[Last[Select[T，Last[#]=i-1&]]]，{i，1，n}]]；RamanujianPrimelist[54]）(*乔纳森·松多2009年8月15日*）
（FasterRamanujanPrimeList[n_]：=使用[{T=表[{k，PrimePi[k]-PrimePi[k/2]}，{k，Prime[3*n]}]}、表[1+First[Last[Select[T，Last[#]=i-1&]]]，{i，1，n}]]；FasterLamanujan PrimeList[54]）
nn=1000；R=表[0，{nn}]；s=0；Do[If[PrimeQ[k]，s++]；如果[PrimeQ[k/2]，s-]；如果[s<nn，R[[s+1]]=k]，{k，素数[3*nn]}]；R=R+1(*T.D.诺伊2010年11月15日*）
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黄体脂酮素
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（Perl）使用理论“：all”；my$r=ramanujan_primes（1000）；说“[@$r]”#达娜·雅各布森2015年9月6日
（PARI）ramanujan_prime_list（n）={my（L=向量（n），s=0，k=1）；对于（k=1，素数（3*n）-1，if（isprime（k），s++）；if（k%2==0&isprime\\萨蒂什·拜萨尼2017年3月2日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000720号,A007053号,A014085号,A060715号,A084139号,A084140型,A143223号,A143224号,A143225号,A143226号,A143227号,A080360型,A080359号,A164368号,A164288号,1964年,A164333号,1964年1月,A164371号,A190303型.
囊性纤维变性。A162996型（圆形（kn*（log（kn）+1）），其中k=2.216是R_n=n-th Ramanujan素数的近似值。
囊性纤维变性。A163160型（圆形（kn*（log（kn）+1））-R_n，其中k=2.216，R_n=第n个Ramanujan素数）。
囊性纤维变性。A190413号,A190414型,212493英镑,A212541型,A233739型,A233822型,A277718号,A277719号,A164952号,A290394型,219465英镑.
不要与Ramanujan数字或Ramanujian tau函数混淆，A000594号.
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关键词
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非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A062234号
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| 根据贝特朗的假设：a（n）=2*prime（n）-prime（n+1）。 |
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1, 1, 3, 3, 9, 9, 15, 15, 17, 27, 25, 33, 39, 39, 41, 47, 57, 55, 63, 69, 67, 75, 77, 81, 93, 99, 99, 105, 105, 99, 123, 125, 135, 129, 147, 145, 151, 159, 161, 167, 177, 171, 189, 189, 195, 187, 199, 219, 225, 225, 227, 237, 231, 245, 251, 257, 267, 265, 273, 279
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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对于所有n，a（n）>0的定理被称为“Bertrand假设”，并由切比雪夫于1852年证明。
Ramanujan素数的类比是Paksoy定理，2*R（n）-R（n+1）>0表示n>1。请参见A233822型. -乔纳森·松多2013年12月16日
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参考文献
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J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，《初等数论》，纽约州麦格劳-希尔，1939年。
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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a： =n->（p->2*p（n）-p（n+1））（i素数）：
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数学
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表[2*Prime[n]-素数[n+1]，{n，60}](*詹姆斯·C·麦克马洪2024年4月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=2*素数（n）-素数（n+1）\\哈里·史密斯2009年8月3日
（哈斯克尔）
a062234 n=a062234_列表！！（n-1）
a062234_list=zipWith（-）（映射（*2）a000040_list）（尾部a000040-list）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A225907号
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| 最小的n-Ramanujan素数，小于下一个n-Ramanu素数的一半，如果不存在，则为0。 |
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评论
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在A192824号Noe将0-Ramanujan素数定义为简单素数，而1-Ramanujian素数则定义为Ramanujan素数。定义第k个2-Ramanujan素数为最小的数R'_k（Paksoy 2012中的符号），其性质是区间（x/2，x]）对于任何x>=R'_k至少包含k个1-Ramanujian素数。继续归纳，用（n-1）-Ramanujan素数来定义n-Ramanujan素数。
只有前三项0、2、11得到了证明（分别由切比雪夫、拉马努扬和帕克索伊证明）。其余都是推测性的——请参阅中的第二条评论A192821号.
对于每个n，存在K=K（n），这样对于所有K>K，第K个n-Ramanujan素数大于（K+1）-第n个n-Ramanaujan素的一半，这是真的吗？（等价地，是否有一个最大的n-Ramanujan素数小于下一个n-Ramanu素数的一半A062234号)对于n=1，通过Paksoy定理。如果n是固定的，那么（第k个n-Ramanujan素数）~（（k+1）-第n个n-Ramanujan素数）为k->无穷大，这是真的吗-乔纳森·松多2013年12月16日
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链接
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例子
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根据Bertrand的Postulate（由Chebyshev证明），对于所有k，素数（k+1）<2*素数（k），因此a（0）=0。
拉马努扬证明了拉马努詹素数开始于2，11。。。，因此a（1）=2。
Paksoy证明了2-Ramanujan素数开始于11，41，。。。，因此a（2）=11。
似乎3-Ramanujan素数开始于41149。。。；如果为真，则a（3）=41。
看来4-Ramanujan素数开始于5695715871367。。。；如果为真，则a（4）=587。
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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经核准的
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