%I#339 2023年2月24日02:37:30

%S 2,11,17,29,41,47,59,67,71,97101107127149151167179181227229，

%电话2332924126326928130731134734493673401409419431433，

%电话：4394614874915035695715875935996016076416436476539

%N Ramanujan素数R_N:a（N）是最小的数，如果x>=a（N。

%C提到他对Bertrand公设的证明，Ramanujan提出了一个推广：“由此我们很容易推断出pi（x）-pi（x/2）>=1，2，3，4，5，…，如果x>=2，11，17，29，41，…，”由于a（n）是素数（根据其极小性），我称它们为“Ramanujian素数”

%C参见A143227中提到的其他参考和链接。

%当n>=1时，C 2n log 2n<a（n）<4n log 4n，当n>1时，素数（2n）<a（n）<素数（4n）。同样，a（n）~素数（2n）为n->无穷大。

%C Shanta Laishram证明了所有n的a（n）<素数（3n）>=1。

%C a（n）-3n log 3n有时是正的，但随着n的增长，自a（n）~2n log 2n以来，随着频率的增加，是负的。应该有一个常数m，对于n>=m，我们有一个（n）<3n log 3n。

%C[1..1000]中n的A（n）=R_n的一个很好的近似值是A162996（n）=圆形（k*n*（log（k*n）+1）），其中k=2.216是根据前1000个拉马努扬素数经验确定的，它近似于{k*n}-第n个素数，而第n个质数又近似于第n个拉马纽扬素数，其中Abs。由于R_n~素数（2n）~2n*（log（2n）+1）~2n*log（2 n），而A162996（n）~素数

%C设p_n是第n素数。如果p_n>=3在序列中，则所有整数（p_n+1）/2，（p_n+3）/2。。。，（p（n+1）-1）/2是复合数_Vladimir Shevelev，2009年8月12日

%C用q（n）表示从a（n）/2右边最近的素数。那么在a（n）和2q（n）之间存在一个素数。一般来说，逆不是真的，即序列外存在素数，但具有这种性质（例如109）_Vladimir Shevelev，2009年8月14日

%C Mathematica程序FasterRamanujanPrimeList使用Laishram的结果a（n）<prime（3n）。

%C关于我们称之为Ramanujan k-prime的泛化，参见序列A164952_Vladimir Shevelev，2009年9月1日

%C摘自Jonathan Sondow，2010年5月22日：（开始）

%C＜19000的素数中，约46%是拉马努詹素数。小于19000的孪生素数中，约78%是拉马努扬素数。

%C大约15%的<19000的素数是孪生素数中较小的。<19000的Ramanujan素数中约有26%是孪生素数中较小的。

%C跳跃的原因在“拉马努扬素数和贝特朗假设”的第7节和“拉马纽扬素数：束缚、奔跑、双胞胎和间隙”的第4节中。（有关表1的更正版本，请参阅arXiv链接。）

%C参见夏皮罗2008，了解拉马努扬对贝特朗假设概括的证明。（结束）

%C第（10^n）个R素数：2，97，1439，19403，242057，2916539，34072993，389433437，…-_Robert G.Wilson v_，2011年5月7日，2012年8月2日更新

%C R素数<10^n:1，10，72，559，4459，36960，316066，2760321，…-_Robert G.Wilson v_，2012年8月2日

%广义Ramanujan素数中的Ca（n）=R_n=R_{0.5，n}

%C所有Ramanujan素数都在A164368中_Vladimir Shevelev，2011年8月30日

%C如果n趋于无穷大，则limsup（a（n）-A080359（n-1））=无穷大；猜想：limsup（a（n）-A080359（n））=无穷大（参见A182366）_Vladimir Shevelev，2012年4月27日

%C或最大的素数x，使得（x/2，x]中的素数等于n。这个等价的定义强调了Ramanujan和Labos素数之间的一个重要类比（参见A080359）_Vladimir Shevelev，2012年4月29日

%关于R_n-素数（2n）的研究问题在A233739，关于n-Ramanujan素数的研究问题则在A225907_Jonathan Sondow，2013年12月16日

%C关于A233739中R_n-素数（2n）的问题已经由Christian Axler在“关于广义Ramanujan素数”中回答_Jonathan Sondow_，2014年2月13日

%C Srinivasan引理（2014）：如果R_n=素数（k）且n>1，则素数（k-n）<prime（k）/2。证明：通过R_n的极小性，区间（素数（k）/2，素数（k）]正好包含n个素数，因此素数（k-n）<prime（k）/2.-_Jonathan Sondow，2014年5月10日

%对于一些n和k，我们看到A168421（k）=a（n），从而形成类似于坎宁安链的素数链。例如（和第一个示例），A168421（2）=7，链接a（2）=11=A16842l（3），链接a“（3）=17=A1684281（4），链接b“（4）=29=A16842.1（6），链接a“（6）=47”。请注意，链接的形式不必是q=2*p+1或q=2*p-1_约翰·尼克尔森（John W.Nicholson），2015年2月22日

%C扩展Sondow在2010年的评论：约48%<10^9的素数是Ramanujan素数。小于10^9的孪生素数中较小的约76%是Ramanujan素数_达娜·雅各布森，2015年9月6日

%C Sondow、Nicholson和Noe的2011年猜想，pi（R_{m*n}）<=m*pi（R_n）对于m>=1和n>=n_m（参见A190413，A190414）的n>10^300是由Shichun Yang和Alain Togbé于2015年证明的_Jonathan Sondow，2015年12月1日

%C Berliner、Dean、Hook、Marr、Mbirika和McBee（2016）在定理18中证明了图K_{m，n}是n>=R的素数_{m-1}-m; 参见A291465_Jonathan Sondow，2017年5月21日

%C Okhotin（2012）在“一元字母表上的无歧义有限自动机”中使用Ramanujan素数来证明引理8。_Jonathan Sondow_，2017年5月30日

%C Sepulcre和Vidal（2016）在“关于指数多项式零点实际投影的非孤立性”的备注9中应用了Ramanujan素数。-_Jonathan Sondow，2017年5月30日

%C Axler和Leßmann（2017）计算了k>=1+ε的第一个k-Ramanujan素数；参见A277718、A277719、A290394_Jonathan Sondow，2017年7月30日

%D Srinivasa Ramanujan，《Srinivassa Ramanu jan的论文集》（编辑G.H.Hardy，S.Aiyar，P.Venkatesvara和B.M.Wilson），Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，2000年，第208-209页。

%D Harold N.Shapiro，Ramanujan的想法，《数字理论导论》第9.3B节，多佛，2008年。

%H T.D.Noe，n的表格，n的a（n）=1..10000</a>

%H N.Amersi、O.Beckwith、S.J.Miller、R.Ronan、J.Sondow，<a href=“http://arxiv.org/abs/108.0475“>广义Ramanujan素数</a>，arXiv:1108.0475[math.NT]，2011。

%H N.Amersi、O.Beckwith、S.J.Miller、R.Ronan、J.Sondow，<a href=“https://doi.org/10.1007/978-1-4939-1601-6_1“>广义Ramanujan素数，组合数和加法数理论，Springer Proc.in Math.&Stat.，CANT 2011和2012，Vol.101（2014），1-13

%H Christian Axler，<a href=“http://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet？id=26247“>u ber die Primzahl-Zählfunktion，die n-te Primzaul und verallgemeinente Ramanujan-Primzahelen，博士论文2013，德语，英语摘要。

%H Christian Axler，<a href=“http://arxiv.org/abs/1401.7179“>关于广义Ramanujan素数，arXiv:1401.7179[math.NT]，2014。

%H Christian Axler，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s11139-015-9593-9“>关于广义Ramanujan素数，Ramanujian J.39（1）（2016）1-30。

%H Christian Axler和Thomas Leßmann，<a href=“http://arxiv.org/abs/1504.05485“>第一个k-Ramanujan素数的显式上界，arXiv:1504.05485[math.NT]，2015。

%H Christian Axler和Thomas Leßmann，<a href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.124.7.642“>关于第一个k-Ramanujan素数，Amer.Math.Monthly，124（2017），642-646。

%H Adam H.Berliner，N.Dean，J.Hook，A.Marr，A.Mbirika，C.McBee，<A href=“http://arxiv.org/abs/1604.07698“>图的互质和素数标号</a>，arXiv-print arXiv:1604.07698[math.CO]，2016；<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Mbirika/mbi3.html“>《整数序列杂志》，第19卷（2016年），#16.5.8</a>

%H Paul Erd，<a href=“https://www.renyi.hu/~p_erdos/1934-01.pdf“>Sylvester和Schur的一个定理</A>，《伦敦数学学会杂志》，9（1934），282-288。

%H彼得·赫加蒂，<a href=“http://arxiv.org/abs/2011.3847“>为什么人们应该期望找到长程的（非）-Ramanujan素数？</a>，arXiv:12011.3847[math.NT]，2012。

%H Ernest G.Hibbs，<a href=“https://www.proquest.com/openview/4012f0286b785cd732c78eb0fc6fce80“>素数的成分相互作用，国会科技大学博士论文（2022年），见第33页。

%H Shanta Laishram，<a href=“网址：http://www.isid.ac.in/~shanta/PAPERS/RamanujanPrimes-IJNT.pdf“>关于Ramanujan素数的一个猜想，国际数论，6（2010），1869-1873。

%H Catherine Lee，<a href=“https://arxiv.org/abs/1907.12670“>最小互质图标记</a>，arXiv:1907.12670[math.CO]，2019。

%H Jaban Meher和M.Ram Murty，<a href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.120.07.650“>Ramanujan对Bertrand假设的证明，《美国数学月刊》，第120卷，第7期（2013年），第650-653页。

%H Alexander Okhotin，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.ic.2012.01.003“>一元字母表上的无歧义有限自动机，Inf.Comput.，212（2012），15-36。

%H Murat Baris Paksoy，<a href=“http://arxiv.org/abs/1210.6991“>派生Ramanujan素数：R'_n</a>，arXiv:1210.6991[math.NT]，2012。

%H平面数学，<a href=“http://planetmath.org/ramanujanprime“>Ramanujan素数</a>

%H Srinivasa Ramanujan，<a href=“http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram24.html“>贝特朗假设的证明，《印度数学学会期刊》，11（1919），181-182。

%H Juan Matias Sepulcre和Tomás Vidal，<a href=“https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/62689/5/2016_Sepulcre_Vidal_JMathAnalAppl_preprint.pdf“>关于指数多项式零点的实际投影的非孤立性，J.Math.Anal.Appl.，437（2016）No.1，513-525。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://arXiv.org/abs/0908.2319“>关于包含素数的临界小区间，arXiv:0908.2319[math.NT]，2009。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://arxiv.org/abs/0909.0715“>Ramanujan和Labos素数，它们对素数的推广和分类，arXiv:0909.0715[math.NT]，2009-2011。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Shevelev/shevelev19.html“>Ramanujan和Labos素数，它们的推广，以及素数的分类，J.Integer Seq.15（2012）第12.5.4条

%H Vladimir Shevelev、Charles R.Greathouse IV、Peter J.C.Moses，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Moses/moses1.html“>关于包含所有n>1的素数的区间（kn，（k+1）n），《整数序列杂志》，第16卷（2013年），第13.7.3条<a href=“http://arxiv.org/abs/1212.2785“>arXiv:1212.2785</a>

%H Jonathan Sondow，<a href=“http://arxiv.org/abs/0907.5232“>Ramanujan素数和Bertrand假设，arXiv:0907.5232[math.NT]，2009-2010。

%H Jonathan Sondow，<a href=“http://www.jstor.org/stable/40391170“>Ramanujan素数和Bertrand公设</a>，美国数学月刊，116（2009），630-635<a href=“https://zbmath.org/？q=an:1229.11013“>Zentralblatt审查</a>

%H Jonathan Sondow、J.W.Nicholson和T.D.Noe，<a href=“http://arxiv.org/abs/1105.2249“>Ramanujan Primes:Bounds，Runs，Twins，and Gaps</a>，arXiv:1105.2249[math.NT]2011；J.Integer Seq.14（2011）第11.6.2条。

%H Jonathan Sondow，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanPrime.html“>Ramanujan Prime，Eric Weisstein的《数学世界》。

%H Jonathan Sondow和E.Weisstein，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/BertrandPostulate.html“>Bertrand的假设，数学世界。

%H Anitha Srinivasan，<a href=“http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/o19/o19.Abstract.html“>Ramanujan素数的上界</a>，整数，14（2014），#A19。

%H Anitha Srinivasan和John W.Nicholson，<a href=“http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/p52/p52.Abstract.html“>Ramanujan素数的改进上界</a>，整数，15（2015），#A52。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postalate“>Bertrand的假设。

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_prime“>Ramanujan素数。

%H Shichun Yang和Alain Togbé，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s11139-015-9706-8“>关于Ramanujan素数的上下限估计，Ramanujian J.，在线，2015年8月14日，1-11。

%F a（n）=1+最大值{k:pi（k）-pi（k/2）=n-1}。

%对于n>1，F a（n）=A080360（n-1）+1。

%F a（n）>=A080359（n）.-_Vladimir Shevelev，2009年8月20日

%F A193761（n）<=a（n）<=A193880（n）。

%F a（n）=2*A084140（n）-1，对于n>1.-_Jonathan Sondow，2012年12月21日

%F a（n）=素数（2n）+A233739（n）=A233822（n）+a（n+1））/2.-_Jonathan Sondow，2013年12月16日

%F a（n）=max{素数p:pi（p）-pi（p/2）=n}（见Shevelev 2012）_Jonathan Sondow，2016年3月23日

%F a（n）=A000040（A179196（n））_R.J.Mathar_，2017年9月21日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=A190303_Amiram Eldar，2020年11月20日

%e a（1）=2是Bertrand的公设：pi（x）-pi（x/2）>=1表示所有x>=2。

%e a（2）=11，因为a（2。。。，但pi（10）-pi（5）=1。

%e考虑a（9）=71。那么最接近的素数>71/2是37，在a（9）和2*37之间，即在71和74之间，存在一个素数（73）_Vladimir Shevelev，2009年8月14日【由Jonathan Sondow更正】

%p A104272:=进程（n:：整数）

%p局部R；

%p如果n=1，则

%p返回2；

%p end if；

%p R：=ithprime（3*n-1）；#上限Laishram thrm thrm 3 arXiv：1105.2249

%p而true do

%p如果A056171（R）=n，则#Defn。Shevelev JIS 14（2012）第12.1.1条

%p返回R；

%p end if；

%p R：=预素数（R）；

%p端do：

%p端程序：

%p序列（A104272（n），n=1..200）；#缓慢的下游搜索<=p（3n-1）_R.J.Mathar_，2017年9月21日

%t（RamanujanPrimeList[n_]：=使用[{t=表[{k，PrimePi[k]-PrimePi[k/2]}，{k，天花板[n[4*n*Log[4*n]]}]}、表[1+First[Last[Select[t，Last[#]=i-1&]]]，{i，1，n}]]；RamanujanPrimeList[54]）（*_Jonathan Sondow_，2009年8月15日*）

%t（FasterRamanujanPrimeList[n_]：=使用[{t=表[{k，PrimePi[k]-PrimePi[k/2]}，{k，Prime[3*n]}]}、表[1+First[Last[Select[t，Last[#]==i-1&]]]，{i，1，n}]]；FasterLamanujan PrimeList[54]）

%t nn=1000；R=表[0，{nn}]；s=0；Do[If[PrimeQ[k]，s++]；如果[PrimeQ[k/2]，s--]；如果[s<nn，R[[s+1]]=k]，{k，素数[3*nn]}]；R=R+1（*_T.D.Noe_，2010年11月15日*）

%o（Perl）使用理论“：all”；my$r=ramanujan_primes（1000）；说“[@$r]”；#_达娜·雅各布森，2015年9月6日

%o（PARI）ramanujan_prime_list（n）={my（L=向量（n），s=0，k=1）；对于（k=1，素数（3*n）-1，if（isprime（k），s++）；if（k%2==0&isprime

%Y参见A006992（Bertrand素数），A056171（pi（n）-pi（n/2））。

%Y参见A000720、A007053、A014085、A060715、A084139、A084140、A143223、A143225、A143.26、A1432.27、A080360、A080359、A164368、A164288、A164、554、A164333、A164294、A164和371、A190303。

%Y参考A162996（圆形（kn*（log（kn）+1）），其中k=2.216作为R_n=第n个Ramanujan素数的近似值。

%Y参考A163160（圆形（kn*（log（kn）+1））-R_n，其中k=2.216，R_n=第n个Ramanujan素数）。

%Y参见A178127（双Ramanujan素数的较小值），A178128（如果它是一个Ramanujian素数，则双素数的最小值）。

%Y参考A181671（Ramanujan素数小于10^n）。

%Y参见A174635（非Ramanujan素数）、A174602、A174641（拉马努扬和非拉马努詹素数的运行）。

%Y参见A189993、A189994（最长运行长度）。

%Y参考A190124（总和常数：1/a（n）^2）。

%Y参见A192820（2-或导出的Ramanujan素数R'_n）、A192821、A19282、A192833、A192814、A225907。

%Y参见A193761（0.25-Ramanujan素数），A193880（0.75-Ramanujan素数）。

%Y参见A190413、A190414、A212493、A212541、A233739、A233822、A277718、A27771、A164952、A290394、A291465。

%Y参见A185004-A185007（“模块化”Ramanujan底漆）。

%Y不要与Ramanujan数或Ramanujan tau函数混淆，A000594。

%K nonn很好

%O 1,1号机组

%A _Jonathan Sondow，2005年2月27日