搜索： a092735-编号：a092775
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A000796号
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| Pi（或Pi的数字）的十进制展开式。
（原名M2218 N0880）
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+10
1018
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3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 8, 0, 3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7, 0, 6, 7, 9, 8, 2, 1, 4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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评论
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有时称为阿基米德常数。
圆的周长与直径的比值。
也是半径为1的圆的面积。
也是直径为1的球体的表面积。
记住前几个词的一个有用的记忆法：在涉及量子力学的沉重讲座之后，我想喝点什么，当然是酒精饮料。。。
此外，球体的表面积与外切立方体的一个面之比。球体的体积与外切立方体中六个内切金字塔之一的体积之比-奥马尔·波尔2012年8月9日
也是半径为1的球体的四分之一的表面积-奥马尔·波尔2013年10月3日
此外，峰形偶函数f（x）=1/cosh（x）下的面积。证明：对于积分的上半部分，写f（x）=（2*exp（-x））/（1+exp（-2x））=2*Sum_{k>=0}（-1）^k*exp。结果是Pi/4的格雷戈里级数的两倍-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年10月31日
令人好奇的是：白川敏弘最近建造了一个144 X 144的七次方魔法广场。魔和=3141592653589793238462643383279502884197169399375105，这是Pi的前52位的串联。有关详细信息，请参阅MultiMagic Squares链接Christian Boyer，2013年12月13日[评论由修订N.J.A.斯隆2014年8月27日]
x*Pi也是直径等于x平方根的球体的表面积-奥马尔·波尔2013年12月25日
也指表面积等于外切立方体体积的球体的直径-奥马尔·波尔2014年1月13日
关于以10为基数表示Pi的有趣轶事，其中3（整数部分）是第一位（索引1）：
358 0
359 3个
360 6
361 0
362 0
圆通常被细分为360度（尽管圆周率为圆周的一半）。。。
（结束）
有时被称为阿基米德常数，因为希腊数学家通过绘制圆内外的规则多边形来计算圆周率的上下界。在德国，它一直被称为卢多尔斐数，直到20世纪初，荷兰数学家卢多尔夫·范·塞伦（1540-1610）才将其命名为卢多尔斐数（Ludolph van Ceulen），他在16世纪末计算出了高达35位的圆周率-马丁·瑞诺2016年9月7日
截至2019年初，已知的Pi小数位数超过22万亿。请参阅维基百科上的文章“圆周率计算年表”-哈维·P·戴尔2019年1月23日
2019年3月14日，Emma Haruka Iwao宣布使用谷歌云的基础设施计算31.4万亿位Pi-大卫·拉德克利夫2019年4月10日
半径为1的球体的四分之三的体积-奥马尔·波尔2019年8月16日
2021年8月5日，瑞士格里森应用科学大学的研究人员宣布，他们已经计算出62.8万亿位数。吉尼斯世界纪录尚未证实这一点-阿隆索·德尔·阿特2021年8月23日
Hermite-Lindemann（1882）定理指出，如果z是非零代数数，那么e^z是超越数。Pi的超越性来自于欧拉的关系：e^（i*Pi）=-1-彼得·卢施尼2023年7月21日
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，Ghiyath ud-din Jamshid Kashani的数学著作摘要，《休闲数学杂志》，第29卷（1），第32-421998页。
J.Arndt&C.Haenel，《Pi Unleashed》，纽约施普林格出版社，2001年。
P.Beckmann，《皮的历史》，哥伦布，科罗拉多州博尔德，1977年。
J.-P.Delahaye，Le fasciant nombre pi，Pour la Science，巴黎，1997年。
P.Eyard和J.-P.Lafon，数字Pi，Amer。数学。Soc.，2004年。
S.R.Finch，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，第1.4节。
Le Petit Archimede，《Pi特刊》，第64-5号增补，1980年5月ADCS Amiens。
Clifford A.Pickover，《数学的激情》，威利出版社，2005年；见第31页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.H.Bailey和J.M.Borwein，实验数学：实例、方法和启示，AMS通知，第52卷，第5期，2005年5月，第502-514页。
Frits Beukers公司，圆周率的理性探讨2000年12月，Nieuw Archief voor de Wiskunde，第372-379页。
J.M.Borwein和M.Macklem，Pi的（数字）生活《澳大利亚数学学会公报》，第33卷，第5期，2006年9月，第243-248页。
彼得·博文，惊人的数字Pi2000年9月，Nieuw Archief voor de Wiskunde，第254-258页。
D.卡斯特拉诺斯，无处不在的圆周率，数学。Mag.，61（1988），67-98和148-163。
L.Euler，关于倒数级数的和，arXiv:math/0506415[math.HO]，2005-2008。
Kanada Yasumasa和Takahashi Daisuke，2060亿位Pi[存档页面]
迈克尔·佩恩，Pi是无理的，YouTube视频，2020年。
M.Z.Rafat和D.Dobie，把皮扔到墙上，arXiv:1901.06260【物理学.ph级】，2020年。
A.沙发，Pi和一些其他常数《纯粹数学与应用数学不等式杂志》，第6卷第5期，第138条，2005年。
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配方奶粉
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Pi=4*Sum_{k>=0}（-1）^k/（2k+1）[Madhava-Gregory-Leibniz，1450-1671]-N.J.A.斯隆2013年2月27日
2/Pi=（平方（2）/2）*（平方（2+sqrt（2））/2）x（平方（2+平方（2+2））/2）*。。。[维也纳，1593]
2/Pi=乘积_｛k>=1｝（4*k^2-1）/（4*k^2）。【沃利斯，1655年】
Pi=3*sqrt（3）/4+24*（1/12-Sum_{n>=2}（2*n-2）/（n-1）^（2*n-3）*（2*n+1）*2^（4*n-2）））。[牛顿，1666年]
Pi/4=4*弧（1/5）-弧（1/239）。【马钦，1706年】
Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/（n^2*二项式（2*n，n））。[欧拉，1748年]
1/Pi=（2*sqrt（2）/9801）*Sum_{n>=0}（4*n）*（1103+26390*n）/（（n！）^4*396^（4*n））。[拉马努扬，1914]
1/Pi=12*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n）*（13591409+545140134*n）/（（3*n）*（n！）^3*（640320^3）^（n+1/2））。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基，1989年】
Pi=Sum_{n>=0}（1/16^n）*（4/（8*n+1）-2/（8*n+4）-1/（8*n+5）-1-（8*n+6））。【Bailey-Borwein-Plouffe，1989年】（结束）
Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）-亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日
Pi=4*sqrt（-1*（和{n>=0}（i^（2*n+1））/（2*n+1））^2）-亚历山大·波沃洛茨基2009年1月25日
Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。。。[Jonas Castillo Toloza，2007年]，即Pi-2=Sum_{n>=1}（1/（（-1）^floor（（n-1）/2）*（n^2+n）/2））-何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年1月20日
Pi=3*Product_{t=img（r），r=ζ函数的（1/2+i*t）根}（9+4*t^2）/（1+4*t^2）<=>RH为真-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年5月5日
Pi=Sum_{k>=1}（3^k-1）*zeta（k+1）/4^k。
Pi=2*Product_{k>=2}秒（Pi/2^k）。
Pi=2*Integral_{x>=0}sin（x）/xdx。（结束）
当k>=2时，Pi=2^{k+1}*arctan（sqrt（2-a_{k-1}）/a_k），其中a_k=sqrt-桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日
Pi=lim_{n->infinidy}2/n*和{m=1，n}（sqrt（（n+1）^2-m^2）-sqrt（n^2-m*2））-迪米特里·帕帕佐普洛斯2019年5月31日
Pi=Sum_{n>=0}2^（n+1）/（二项式（2*n，n）*（2*n+1））-欧拉。
更一般地说，Pi=（4^x）*x/（2*x）！*求和{n>=0}2^（n+1）*（n+x）*（n+2*x）/（2*n+2*x+1）！=2*4^x*x^2/（2*x+1）！*超几何（[2*x+1,1]，[x+3/2]，1/2），对不在{-1，-3/2，-2，-5/2，…}中的复数x有效。给，x！是函数Gamma（x+1）的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。
Pi=Im（log（-i^i））=log（i^i）*（-2）-彼得·卢施尼2019年10月29日
等于2+Integral_{x=0..1}arccos（x）^2 dx。
等于Integral_{x=0..oo}log（1+1/x^2）dx。
等于Integral_{x=0..oo}log（1+x^2）/x^2 dx。
等于Integral_{x=-oo..oo}exp（x/2）/（exp（x）+1）dx。（结束）
等于4*（1/2）^2=4*伽马（3/2）^2-加里·亚当森2021年8月23日
Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^n*n^2/（（4*n^2-1）*（4*n^2-9））=384*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（（4*n^2-1）*（4*n^2-9）*（4*n^2-25））。
更一般地说，对于k=1,2,3，。。。，Pi=16*（2*k）*和{n>=1}（-1）^（n+k+1）*n^2/（（4*n^2-1）**（4*n^2-（2*k+1）^2））。
Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2=768*Sum_{n>=1}（-1）^。
更一般地说，对于k=0,1,2，。。。，Pi=16*加泰罗尼亚语（k）*（2*k）*（2*k+2）*和{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2**（4*n^2-（2*k+1）^2）^2。
Pi=（2^8）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^4=n ^2*（n ^2-1）*（n*2-4）/（（4*n ^2-1）^4*（4*n^2-9）^4*（4*n^2-25）^4）。（结束）
Pi=4/φ+Sum_{n>=0}（1/φ^（12*n））*-奇塔兰詹·帕德西2022年5月16日
等于Integral_{x=0..1}1/sqrt（x-x^2）dx-米查尔·保罗维奇2023年9月24日
发件人彼得·巴拉，2023年10月28日：（开始）
Pi=48*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5））。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=A（k）+B（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+5）），其中A（k）是Pi的有理逼近，B（k）=（3*2^（3*k+3）*（3*k+2）！）/（2^（3*k+1）-（-1）^k）。对于k>=0，A（k）的前几个值为[0，256/85，65536/20955，821559296/261636375，6308233216/2008080987，9082094864/2890938208075，…]。
Pi=16/5-（288/5）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+9））。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=C（k）+D（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+3）），其中C（k）和D（k）是有理数。k=0的情况是Pi的Madhava-Gregory-Leibniz级数。
Pi=168/53+（288/53）*和{n>=0}（-1）^n*（42*n^2+25*n）/（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5）*。
更一般地说，对于k>=1，我们有Pi=E（k）+F（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*（6*k+1）*n^2+（24*k+1*（6*n+6*k+1）），其中E（k）和F（k）是有理数。（结束）
发件人彼得·巴拉，2023年11月10日：（开始）
上面给出的级数表示Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）由亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日，是更一般的结果（通过WZ方法获得）的n=0的情况：对于n>=0，存在
Pi=Sum_{j=0..n-1}2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））+8*（n+1）*和{k>=0}1/（（4*k+1）*（4*k+3）**（4*k+2*n+3））。
让n->oo得到由于Euler而快速收敛的级数Pi=Sum_{j>=0}2^（j+1）/（2*j+1）*二项式（2*j，j）。
更一般地说，对于n>=1，Pi=1/（2*n-1）^2*Sum_{j>=0}（乘积_{i=0..2*n-1}j-i）*2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））。
对于任何整数n，Pi=（-1）^n*4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1+2*n）-1/（4*k+3-2*n）。（结束）
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例子
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3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062\
86208998862803482534211170679824086513282306647093846095505822317253594081\
284811174502841027019385211055596446229489549303819...
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MAPLE公司
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数字：=110:Pi*10^104:
ListTools：-反转（转换（底数（%），基数，10））#彼得·卢施尼2019年10月29日
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数学
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真数字[N[Pi，105]][[1]
表[ResourceFunction[“NthDigit”][Pi，n]，{n，1，102}](*琼·卢德维德2022年6月22日；用这个函数很容易计算a（10000000）=7；需要Mathematica 12.0+*）
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黄体脂酮素
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（Macsyma）py（x）：=如果等于（6，6+x^2），则2*x其他（py（x:x/3），3*%%-4*（%%-x）^3）；py（3.）；py（dfloat（%））；块（[bfprecision:35]，py（bfloat（%））/*高斯珀2002年9月9日*/
（PARI）{default（realprecision，20080）；x=Pi；for（n=120000，d=floor（x）；x=（x-d）*10；write（“b000796.txt”，n，“”，d）；}\\哈里·史密斯2009年4月15日
（PARI）A796=[]；A000796号（n） ={if（n>#A796，localprec（n*6\5+29）；A796=数字（Pi\.1^（精度（Pi）-3））；A696[n]}\\注意：与其他程序一样，这将返回序列的第n项，其中n=1、2、3。。。而不是n=1，0，-1，-2-M.F.哈斯勒2022年6月21日
（PARI）first（n）=默认值（realprecision，n+10）；数字（楼层（Pi*10^（n-1））\\大卫·A·科内斯2022年6月21日
（哈斯克尔）——见链接：识字程序
导入数据。字符（数字到Int）
a000796 n=a000796_列表（n+1）！！（n+1）
a000796_list len=map digitToInt$show$machin'`div`（10^10）其中
machin'=4*（4*arccot 5单位-arccot 239单位）
单位=10^（len+10）
arccot x unity=arccot'x unity 0（unity`div`x）1 1其中
arccot’x单位和xpow n符号
|项==0=总和
|否则=arccot’
x单位（总和+符号*项）（xpow`div`x^2）（n+2）（-符号）
其中term=xpow`div`n
（哈斯克尔）——参见尼梅耶链接和吉本斯链接。
a000796 n=a000796列表！！（n-1）：：整数
a000796_list=从整数$piStream映射（1，0，1）
[（n，a*d，d）|（n，d，a）<-map（\k->（k，2*k+1，2））[1..]]其中
piStream z xs'@（x:xs）
|lb/=约z 4=piStream（mult z x）xs
|否则=lb:piStream（mult（10，-10*lb，1）z）xs'
其中lb=约z 3
近似（a，b，c）n=div（a*n+b）c
多重（a，b，c）（d，e，f）=（a*d，a*e+b*f，c*f）
（岩浆）pi:=pi（RealField（110））；反向（Intseq（底线（10^105*pi））//布鲁诺·贝塞利2013年3月12日
（Python）从sympy导入pi，N；打印（N（pi，1000））#大卫·拉德克利夫2019年4月10日
（Python）
从mpmath导入mp
如果n>=长度(A000796号.str）：mp.dps=n*6//50+50；A000796号.str=字符串（mp.pi-5/mp.mpf（10）**mp.dps）
（SageMath）
m=125
x=数字_近似值（pi，数字=m+5）
a=[ZZ（i）代表x.str中的i（skip_zeroes=True），如果i.isdigit（）]
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交叉参考
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经核准的
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3，1，0，0，6，2，7，6，6，8，0，2，9，8，2，0，1，7，5，4，7，6，3，1，5，0，6，7，1，0，1，3，9，5，2，2，5，2，8，8，5，6，5，8，5，1，0，7，6，9，4，4，5，3，8，1，0，3，8，0，6，3，9，4，1，7，4，6，5，7，0，6，0，3，7，5，6，6，7，0，1，0，3，2，6，0，2，8，8，6，1，9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,1
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评论
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直径Pi的球体的表面积等于外切立方体的体积-奥马尔·波尔2013年12月25日
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链接
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G.L.Honaker，Jr.和Chris Caldwell，顶级古玩！31
Khodabakhsh Hessami Pilehrood、Tatiana Hessami-Pilehroud、，β值的系列加速度公式《离散数学与理论计算机科学》12:2（2010），第223-236页。
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配方奶粉
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和{k>=0}二项式（2*k，k）/（（2*k+1）^3*16^k）=7*Pi^3/216。（Kh.Hessami Pilehrood和T.Hessami-Pilehroud）。
整数序列A（n）：=2^n*（2*n+1）^3/n^2和B（n）：=A（n）*（和{k=0..n}二项式（2*k，k）*1/（2*k+1）^3*（1/16）^k）都满足二阶递推方程u（n）=（160*n^4+128*n^3+144*n^2+2）*u（n-1）-32*（n-1。根据这一观察，我们可以得到连续分数展开7/216*Pi^3=1+2/（432-32*3^7/（4162-32*5^7/（17714-…-32*（n-1）*（2*n-1）^7/（（160*n^4+128*n^3+144*n^2+2）-…）））。囊性纤维变性。A002388号,A019670型和A093954号.（结束）
Pi^3=（1/7）*和{n>=0}（-1）^n*（1/（n+1/6）^3+1/（n+5/6）。
等于Integral_{x=-oo..oo}x^2/（exp（x/2）+exp（-x/2））dx-阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月21日
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例子
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31.00627668029982017547631506710139520222528856588510769414453810380639...
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数学
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第一个@RealDigits@N[Pi^3，120](*迈克尔·德弗利格2016年1月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi^3/10；对于（n=220000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b091925.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年6月22日
（岩浆）R:=RealField（100）；（Pi（R））^3//G.C.格鲁贝尔2018年3月9日
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交叉参考
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9, 7, 4, 0, 9, 0, 9, 1, 0, 3, 4, 0, 0, 2, 4, 3, 7, 2, 3, 6, 4, 4, 0, 3, 3, 2, 6, 8, 8, 7, 0, 5, 1, 1, 1, 2, 4, 9, 7, 2, 7, 5, 8, 5, 6, 7, 2, 6, 8, 5, 4, 2, 1, 6, 9, 1, 4, 6, 7, 8, 5, 9, 3, 8, 9, 9, 7, 0, 8, 5, 5, 4, 5, 6, 8, 2, 7, 1, 9, 6, 1, 9, 0, 1, 2, 1, 8, 6, 7, 2, 3, 4, 7, 5, 2, 9, 9, 2, 5, 5
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,1
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链接
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配方奶粉
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等于120*Sum_{j>=1}和{i=1..j-1}1/（i*j）^2-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年6月29日
等于和{k>=1}k*（k+1）*（k+2）*zeta（k+3）/2^（k-1）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月21日
发件人彼得·巴拉，2023年10月21日：（开始）
Pi^4=90*Sum_{n>=1}1/n^4（欧拉）。
常数Pi^4的以下更快收敛的级数表示可以使用级数的和的部分分数展开来容易地验证。据推测，这是类似结果无限族的前三种情况。
设P（n）=n*（n+1）*（n+2）/2！。那么Pi^4=1575/16-15*和{n>=1}d/dn（P（n））/P（n）^4。
设Q（n）=n*（n+1）*（n+2）*（n+3）*！。则Pi^4=673165/6912+和{n>=1}d/dn（Q（n））/Q（n）^4。
设R（n）=n*（n+1）*（n+2）*（n+3）*！。则Pi^4=5610787/57600-（3/56）*Sum_｛n>=1｝d/dn（R（n））/R（n）^4。
取最后一个级数的10项得到近似值Pi^4=97.4090910340
024372（50…），更正为16位小数。（结束）
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例子
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97.40909103400243723644033268870511124972758567268542169146785938997085...
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数学
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真数字[Pi^4，10，100][[1](*G.C.格鲁贝尔2018年3月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi^4/10；对于（n=220000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b092425.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年6月22日
（岩浆）R:=RealField（150）；（Pi（R））^4//G.C.格鲁贝尔2018年3月9日
（岩浆）R:=RealField（110）；SetDefaultRealField（R）；n： =Pi（R）^4；反向（Intseq（楼层（10^98*n））//布鲁诺·贝塞利2018年3月12日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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3, 0, 6, 0, 1, 9, 6, 8, 4, 7, 8, 5, 2, 8, 1, 4, 5, 3, 2, 6, 2, 7, 4, 1, 3, 1, 0, 0, 4, 3, 4, 3, 5, 6, 0, 6, 4, 8, 0, 3, 0, 0, 7, 0, 6, 6, 2, 8, 0, 7, 4, 9, 9, 0, 5, 5, 3, 4, 9, 2, 4, 4, 3, 6, 8, 6, 2, 3, 4, 9, 9, 2, 1, 3, 3, 6, 1, 4, 0, 2, 4, 4, 8, 5, 7, 8, 3, 5, 0, 0, 4, 7, 3, 5, 0, 5, 1, 1, 8, 9, 0, 4, 0, 3, 7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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3,1
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链接
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配方奶粉
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Pi^5=（4！/（2*305））*Sum_{n>=0}（-1）^n*（1/（n+1/6）^5+1/（n+5/6）*5），其中305=（（3^5+1）/4）*A000364号(2) =A002437号(2).
Pi^5=（4！/（2*3905））*和{n>=0}（-1）^n*（1/（n+1/10）^5-1/（n+3/10）*A000364号(2).
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例子
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306.0196847852814532
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数学
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真数字[Pi^5，10，100][[1](*G.C.格鲁贝尔2018年3月9日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）R:=RealField（100）；（Pi（R））^5//G.C.格鲁贝尔2018年3月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 8, 3, 6, 4, 2, 3, 3, 7, 7, 7, 1, 4, 4, 3, 8, 7, 9, 4, 6, 3, 2, 0, 9, 7, 2, 7, 6, 3, 8, 9, 0, 4, 3, 5, 8, 7, 7, 4, 6, 7, 2, 2, 4, 6, 5, 4, 8, 8, 4, 5, 6, 0, 9, 0, 3, 1, 8, 9, 4, 1, 7, 3, 1, 2, 0, 9, 6, 2, 2, 3, 5, 4, 4, 1, 1, 9, 1, 2, 0, 9, 2, 7, 3, 9, 2, 5, 6, 2, 1, 8, 3, 7, 6, 1, 3, 6, 2, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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链接
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S.Ramanujan，数论分析中的几个公式《数学信使》，XLV，1916年，第81-84页，公式（3）。
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例子
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0.101321183642337771443879463209727638904358774672246548845609...
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）c=Pi^-2；a=评估（vecextract（Vec（Str（c）），“3..-2”）\\M.F.哈斯勒2011年9月16日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A100322号
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| a（n）是最小的正整数k，使得Pi^k的小数部分的数字以n开头。 |
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+10
三
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1, 7, 6, 4, 8, 23, 25, 2, 15, 91, 51, 307, 49, 1, 102, 315, 112, 12, 76, 26, 115, 208, 77, 276, 161, 40, 13, 41, 7, 99, 174, 169, 86, 453, 110, 204, 53, 6, 67, 4, 228, 123, 37, 134, 158, 192, 33, 45, 61, 200, 31, 324, 8, 56, 34, 105, 148, 17, 19, 92, 23, 38, 27, 39, 32, 82
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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例子
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Pi^1=3.14159…，其小数点后的数字以1开头，因此a（1）=1。
Pi^2=9.869…，其小数点后的数字以8开头，因此a（8）=2。
a（14）=1，因为Pi^1=3.14。。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（k=1）；while（floor（frac（Pi^k）*10^（1+logint（n，10））！=n、 k++）；k\\米歇尔·马库斯2022年6月18日
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交叉参考
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关键词
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基础,非n
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作者
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马克·哈德森（mrmarkhudson（AT）hotmail.com），2004年11月16日
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状态
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经核准的
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2, 9, 9, 5, 2, 8, 4, 7, 6, 4, 4, 4, 0, 6, 2, 9, 8, 7, 4, 2, 1, 4, 5, 7, 1, 4, 0, 1, 9, 4, 1, 2, 3, 5, 8, 6, 4, 4, 7, 2, 3, 7, 6, 1, 9, 8, 1, 1, 1, 2, 8, 8, 6, 2, 1, 1, 6, 0, 3, 4, 9, 9, 3, 0, 8, 3, 5, 8, 9, 9, 2, 2, 5, 8, 1, 0, 5, 1, 1, 0, 7, 4, 6, 4, 4, 5, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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4,1
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链接
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配方奶粉
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数学
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真数字[Pi^7/Zeta[7]，10，100][[1](*阿米拉姆·埃尔达尔，2019年8月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Pi^7/zeta（7）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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3, 8, 6, 5, 9, 7, 5, 3, 3, 1, 5, 5, 4, 2, 9, 3, 8, 4, 6, 4, 1, 8, 1, 8, 4, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 5, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 1, 3, 5, 6, 8, 3, 7, 8, 1, 1, 4, 8, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 2, 0, 1, 5, 0, 2, 5, 0, 4, 1, 2, 3, 7, 4, 1, 3, 5, 8, 2, 3, 2, 0, 7, 6, 0, 1, 2, 1
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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6,1
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链接
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J.M.马尔达塞纳，规范/重力二元性，arXiv:1106.6073，第14页。
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例子
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386597.533155429384641818431113221354485431356837811...
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数学
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真数字[（2*Pi）^7，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2019年6月26日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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