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A093954级 |
| Pi/(2*sqrt(2))的十进制展开式。 |
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31
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1, 1, 1, 0, 7, 2, 0, 7, 3, 4, 5, 3, 9, 5, 9, 1, 5, 6, 1, 7, 5, 3, 9, 7, 0, 2, 4, 7, 5, 1, 5, 1, 7, 3, 4, 2, 4, 6, 5, 3, 6, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 9, 2, 2, 5, 5, 5, 7, 7, 1, 3, 4, 8, 9, 0, 1, 7, 3, 9, 1, 0, 8, 6, 9, 8, 2, 7, 4, 8, 6, 8, 4, 7, 7, 6, 4, 3, 8, 3, 1, 7, 3, 3, 6, 9, 1, 1, 9, 1, 3, 0, 9, 3, 4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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该值是边长为Pi/4=Sum_{n>=0}(-1)^n/(2n+1)的正方形中对角线的长度Pi*sqrt(2)/4=A003881号.这个正方形外接圆的面积是Pi*(Pi*sqrt(2)/8)^2=Pi^3/32=A153071号. -埃里克·德斯比亚2009年1月18日
这是非主字符(1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0)的变元s=1时,模m=8的狄利克雷L函数的值。参见arXiv:1008.2547-R.J.马塔尔2011年3月22日
类阿基米德格式:集p(0)=sqrt(2),q(0)=1;p(n+1)=2*p(n)*q(n)/(p(n。每次迭代,p(n)和q(n)的误差减小约4倍,即每次迭代获得约2位。设r(n)=(2*q(n)+p(n))/3,每次迭代误差减少约16倍,即每次迭代获得约4位。有关类似方案,请参见A244644号. -A.H.M.斯密茨,2018年7月12日
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参考文献
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J.M.Arnaudiès、P.Delezoide和H.Fraysse,《数学课程分析》-2,Dunod,1993年,《练习》5,第240页。
George Boros和Victor H.Moll,《不可抗拒的积分》,剑桥大学出版社(2006),第149页。
L.B.W.Jolley,《级数求和》,多佛(1961),等式76,第16页。
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链接
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J.M.Borwein、P.B.Borween和K.Dilcher,Pi,Euler数和渐近展开阿默尔。数学。月刊,96(1989),681-687。
迈克尔·佩恩,牛顿总和(2023年),YouTube视频。
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配方奶粉
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Pi/(2*sqrt(2))=Sum_{k>=0}二项式(2*k,k)*1/(2xk+1)*(1/8)^k。
整数序列A(n):=2^n*(2*n+1)!和B(n):=A(n)*(和{k=0..n}二项式(2*k,k)*1/(2*k+1)*(1/8)^k)都满足二阶递推方程u(n)=(12*n^2+1)*u(n-1)-4*(n-1。从这个观察我们可以得到连续分式展开Pi/(2*sqrt(2))=1+1/(12-4*3^3/(49-4*2*5^3/)(109-4*3*7^3/。囊性纤维变性。A002388号和A019670型.(结束)
Pi/(2*sqrt(2))=和{k>=0}(-1)^floor(k/2)/(2xk+1)=极限(n->无穷大)和{k=-n..n-1}(-1)^k/(4*k+1)。
我们猜想了渐近展开Pi/(2*sqrt(2))-和{k=0..n-1}。。。,其中n是4的倍数,无符号系数序列[1,3,57,2763,…]是A000281号下面给出了一个n=5000的示例。(结束)
c=1/2*积分{x=0..Pi/2}平方(tan(x))dx。(结束)
设m为奇整数,n为非负整数。那么Pi/(2*sqrt(2))=2^n*m^(2*n)*(2*n)*求和{k>=0}(-1)^(n+楼层(k/2))*1/产品{j=-n..n}(2*k+1+2*m*j)。囊性纤维变性。A003881号.
在m=1的特殊情况下,结果具有等价形式:对于n个非负整数,Pi/(2*sqrt(2))=2^n*(2*n)*求和{k>=0}(-1)^(n+k)*(8*k+4)*1/Product_{j=-n..n+1}(4*k+2*j+1)。下面的示例部分考虑了m=1,n=1的情况。
设m为奇整数,n为非负整数。那么Pi/(2*sqrt(2))=4^n*m^(2*n)*(2*n)*Sum_{k>=0}(-1)^(n+楼层(k/2))*1/产品_{j=-n.n}(2*k+1+4*m*j)。(结束)
等于Integral_{x=0..oo}cosh(x)/cosh(2*x)dx-彼得·巴拉2019年11月1日
等于和{k>=1}A188510号(k) /k=Sum_{k>=1}Kronecker(-8,k)/k=1+1/3-1/5-1/7+1/9+11/11-13-1/15+-宋嘉宁2019年11月16日
等于乘积{k>=1}(1-(-1)^k/(2*k+1))。
等于Integral_{x=0..oo}dx/(x^2+2)。
等于积分_{x=0.Pi/2}dx/(sin(x)^2+1)。(结束)
等于Integral_{x=0..oo}x^2/(x^4+1)dx(Arnaudiès)-伯纳德·肖特,2022年5月19日
等于积分{x=0..1}1/(2*x^2+(1-x)^2)dx-彼得·巴拉2022年7月22日
等于积分{x=0..1}1/(1-x^4)^(1/4)dx-特里·格兰特2023年3月17日
等于1/Product_{p素数}(1-Kronecker(-8,p)/p),其中,如果p=2,Kronecker=0,如果p==1或3(mod 8),则为1;如果p==5或7(mod 9),则是-1-阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月17日
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例子
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1.11072073453959156175397...
n=5000时的渐近展开。
截断数列Sum_{k=0..5000-1}(-1)^floor(k/2)/(2*k+1)=1.110(6)207345(42)591561(18)3970(5238)1……括号内的数字显示了此十进制展开式与Pi/(2*sqrt(2))的不同之处。必须将数字1、-3、57、-2763加到括号内的数字上,以将十进制展开式正确地扩展到30位:Pi/(2*sqrt(2))=1.110(7)207345(39)591561(75)3970(2475)1….(结束)
情况m=1,n=1:
Pi/(2*sqrt(2))=4*Sum_{k>=0}(-1)^(1+楼层(k/2))/((2*k-1)*(2*k+1)*(2%k+3))。
对于这个级数的尾部,我们似乎有如下渐近展开式:对于可被4整除的N,求和{k>=N/2}(-1)^floor(k/2)/((2*k-1)*(2*k+1)*(2%k+3))~1/N^3-14/N^5+691/N^7-62684/N^9-。。。,其中系数序列[1,0,-14,0,691,0,-62684,…]似乎来自例如f.(1/2!)*cosh(x)/cosh(2*x)*sinh(x)^2=x^2/2!-14*x^4/4!+691*x^6/6!-62684*x^8/8!+。。。。囊性纤维变性。A019670型.
例如,取N=10^5。截断数列和{k=0..N/2-1}(-1)^(1+floor(k/2))/(2*k-1)*(2*k+1)*(2*k+3))=0.27768018363489(8)89043849(11)61878(80026)6163(351171)58….括号内的数字表示此十进制展开式与(1/4)*Pi/(2*sqrt(2))的不同之处。必须将数字-1、14、-691、62684加到括号内的数字上,以给出正确的十进制展开式:(1/4)*Pi/(2*sqrt(2))=0.27768018363489(7)89043849(25)61878(79335)6163(413855)58…(结束)
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MAPLE公司
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简化(总和((cos((1/2)*k*Pi)+sin((1/2)*k*Pi))/(2*k+1),k=0。。无穷大)#彼得·巴拉2015年3月9日
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数学
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黄体脂酮素
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(PARI)默认值(realprecision,20080);x=Pi*sqrt(2)/4;对于(n=120000,d=楼层(x);x=(x-d)*10;写入(“b093954.txt”,n,“”,d)\\哈里·史密斯2009年6月17日
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交叉参考
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关键词
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作者
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已批准
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