%I M2218 N0880#649 2024年4月12日20:17:57

%S 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,4,3,3,8,1,7,5,0,2，

%T 8,8,4,1,9,7,1,6,9,3,9,9,5,1,0,5,8,2,0,9,4,5,9,2,3,0,7,8，

%U 1,6,4,0,6,2,8,6,2,0,8,9,9,8,6,1,8,8,0,3,4,8,2,5,3,2,1,1,7,6,7,9,8-2,1,4,4

%N Pi的十进制展开式（或Pi的数字）。

%有时称为阿基米德常数。

%C圆周与直径的比值。

%C也是半径为1的圆的面积。

%C也是直径为1的球体的表面积。

%C对于记忆前几个词来说，这是一个很有用的记忆法：在涉及量子力学的沉重讲座之后，我想喝点什么，当然是酒精饮料。。。

%C此外，球体的表面积与外切立方体的一个面之比。此外，球体的体积与外切立方体中六个内切金字塔之一的体积之比_Omar E.Pol_，2012年8月9日

%C半径为1的球体四分之一的表面积_Omar E.Pol，2013年10月3日

%C也是峰形偶函数f（x）=1/cosh（x）下的面积。证明：对于积分的上半部分，写f（x）=（2*exp（-x））/（1+exp（-2x））=2*Sum_{k>=0}（-1）^k*exp。结果是Pi/4的格雷戈里级数的两倍_Stanislav Sykora，2013年10月31日

%C好奇心：白川东彦最近建造了一个第七方144X144的魔法广场。魔和=3141592653589793238462643383279502884197169399375105，这是Pi的前52位的串联。有关详细信息，请参阅MultiMagic Squares链接Christian Boyer，2013年12月13日【评论由N.J.A.Sloane修订，2014年8月27日】

%C x*Pi也是直径等于x.-Omar E.Pol_平方根的球体的表面积，2013年12月25日

%C也指表面积等于外切立方体体积的球体的直径_Omar E.Pol，2014年1月13日

%C From _Daniel Forgues_，2015年3月20日：（开始）

%C关于Pi以10为基数表示的有趣轶事，其中3（整数部分）是第一位（索引1）：

%C 358 0号

%C 359 3号

%C 360 6号

%C 361 0

%第362页

%C而圆通常被细分为360度（尽管圆周率弧度产生了圆的一半）。。。

%C（结束）

%有时被称为阿基米德常数，因为希腊数学家通过绘制圆内外的规则多边形来计算圆周率的上下界。在德国，它一直被称为卢多尔菲数，直到20世纪初，荷兰数学家卢多尔夫·范·塞伦（1540-1610）在16世纪末计算出了高达35位的π_Martin Renner，2016年9月7日

%C截至2019年初，已知的Pi小数位数超过22万亿。参见维基百科文章“圆周率计算年表”_Harvey P.Dale_，2019年1月23日

%2019年3月14日，Emma Haruka Iwao宣布使用谷歌云的基础设施计算31.4万亿位数的Pi_David Radcliffe_，2019年4月10日

%C半径为1的球体的四分之三的体积_Omar E.Pol_，2019年8月16日

%C 2021年8月5日，瑞士格里森应用科学大学的研究人员宣布，他们已经计算出62.8万亿位数。吉尼斯世界纪录尚未证实这一点_阿隆索·德尔·阿特（Alonso del Arte），2021年8月23日

%Hermite-Lindemann（1882）定理指出，如果z是非零代数数，那么e^z是超越数。Pi的超越性则源于欧拉的关系：e^（i*Pi）=-1_Peter Luschny_，2023年7月21日

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%F发件人：Johannes W.Meijer，2013年3月10日：（开始）

%F2/Pi=（平方（2）/2）*。。。[维也纳，1593]

%F2/Pi=产品{k>=1}（4*k^2-1）/（4*k ^2）。【沃利斯，1655年】

%F Pi=3*sqrt（3）/4+24*（1/12-Sum_{n>=2}（2*n-2）/（n-1）^（2*n-3）*（2*n+1）*2^（4*n-2）））。[牛顿，1666年]

%F Pi/4=4*弧（1/5）-弧（1/239）。[Machin，1706]

%F Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/（n^2*二项式（2*n，n））。[欧拉，1748年]

%F 1/Pi=（2*sqrt（2）/9801）*Sum_{n>=0}（4*n）*（1103+26390*n）/（（n！）^4*396^（4*n））。[拉马努扬，1914]

%F 1/Pi=12*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n）*（13591409+545140134*n）/（（3*n）*（n！）^3*（640320^3）^（n+1/2））。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基，1989年】

%F Pi=和{n>=0}（1/16^n）*（4/（8*n+1）-2/（8*n+4）-1/（8*n+5）-1-（8*n+6））。【Bailey-Borwein-Plouffe，1989年】（结束）

%F Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）_Alexander R.Povolotsky，2008年12月25日

%F Pi=4*sqrt（-1*（和{n>=0}（i^（2*n+1））/（2*n+1））^2）_Alexander R.Povolotsky，2009年1月25日

%F Pi=积分_｛x=-无穷大..无穷大｝dx/（1+x^2）.-_Mats Granvik_和_Gary W.Adamson_，2012年9月23日

%F Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。。。[Jonas Castillo Toloza，2007年]，即Pi-2=Sum_{n>=1}（1/（-1）^floor（n-1）/2）*（n^2+n）/2）_Joséde Jesús Camacho Medina，2014年1月20日

%F Pi=3*Product_{t=img（r），r=（1/2+i*t）zeta函数的根}（9+4*t^2）/（1+4*t*2）<=>RH为真_Dimitris Valianatos_，2016年5月5日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年8月7日：（开始）

%F Pi=Sum_{k>=1}（3^k-1）*zeta（k+1）/4^k。

%F Pi=2*Product_{k>=2}秒（Pi/2^k）。

%FPi=2*Integral_{x>=0}sin（x）/xdx。（完）

%F Pi=2^{k+1}*反弧（sqrt（2-a_{k-1}）/a_k）在k>=2时，其中a_k=sqrt_Sanjar Abrarov，2017年2月7日

%F Pi=积分{x=0..2}平方（x/（2-x））dx.-_Arkadiusz Wesolowski，2017年11月20日

%F Pi=lim_{n->infinity}2/n*和{m=1，n}（sqrt（（n+1）^2-m^2）-sqrt（n^2-m ^2））_迪米特里·帕帕佐普洛斯，2019年5月31日

%F From _Peter Bala，2019年10月29日：（开始）

%F Pi=Sum_{n>=0}2^（n+1）/（二项式（2*n，n）*（2*n+1））-欧拉。

%F一般来说，Pi=（4^x）*x/（2*x）！*求和{n>=0}2^（n+1）*（n+x）*（n+2*x）/（2*n+2*x+1）！=2*4^x*x^2/（2*x+1）！*超几何（[2*x+1,1]，[x+3/2]，1/2），对不在{-1，-3/2，-2，-5/2，…}中的复数x有效。给，x！是函数Gamma（x+1）的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。

%F在上述恒等式中设置x=3/4和x=-1/4（分别为x=1/4和x=-3/4）导致常数A085565（分别为A076390）的级数表示。（完）

%F Pi=Im（对数（-i^i））=对数（i^i）*（-2）_Peter Luschny_，2019年10月29日

%F From _Amiram Eldar_，2020年8月15日：（开始）

%F等于2+Integral_{x=0..1}弧坐标（x）^2dx。

%F等于Integral_{x=0..oo}log（1+1/x^2）dx。

%F等于整数{x=0..oo}log（1+x^2）/x^2 dx。

%F等于积分{x=-oo..oo}exp（x/2）/（exp（x）+1）dx。（完）

%F等于4*（1/2）^2=4*伽玛（3/2）^2。-_Gary W.Adamson_，2021年8月23日

%F From _Peter Bala，2021年12月8日：（开始）

%F Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^n*n^2/（（4*n^2-1）*（4*n ^2-9））=384*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n ^2/。

%F更一般地说，对于k=1,2,3，。。。，Pi=16*（2*k）*和{n>=1}（-1）^（n+k+1）*n^2/（（4*n^2-1）**（4*n^2-（2*k+1）^2））。

%F Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2=768*Sum_{n>=1}（-1）^。

%F更一般地说，对于k=0,1,2，。。。，Pi=16*加泰罗尼亚语（k）*（2*k）*（2*k+2）*和{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2**（4*n^2-（2*k+1）^2）^2。

%F Pi=（2^8）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1*n^2*（n^2-1）*（n ^2-4）/（（4*n ^2-1）^4*（4*n^2-9）^4*（4*n ^2-25）^4）。（完）

%F对于奇数n，Pi=（2^（n-1）/A001818（（n-1_Alan Michael Gómez Calderón，2022年3月11日

%F Pi=4/φ+和{n>=0}（1/φ^（12*n））*_Chittaranjan Pardeshi，2022年5月16日

%F Pi=sqrt（3）*（27*S-36）/24，其中S=A248682.-_Peter Luschny_，2022年7月22日

%F等于积分_{x=0..1}1/sqrt（x-x^2）dx.-_Michal Paulovic，2023年9月24日

%F From _Peter Bala，2023年10月28日：（开始）

%F Pi=48*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5））。

%F更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=A（k）+B（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+5）），其中A（k）是Pi的有理逼近，B（k）=（3*2^（3*k+3）*（3*k+2）！）/（2^（3*k+1）-（-1）^k）。对于k>=0，A（k）的前几个值为[0，256/85，65536/20955，821559296/261636375，6308233216/2008080987，9082094864/2890938208075，…]。

%F Pi=16/5-（288/5）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+9））。

%更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=C（k）+D（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+3）），其中C（k）和D（k）是有理数。k=0的情况是Pi的Madhava-Gregory-Leibniz级数。

%F Pi=168/53+（288/53）*和{n>=0}（-1）^n*（42*n^2+25*n）/（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5）*。

%更一般地说，对于k>=1，我们有Pi=E（k）+F（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*（6*k+1）*n^2+（24*k+1*（6*n+6*k+1）），其中E（k）和F（k）是有理数。（完）

%F来自_Peter Bala_，2023年11月10日：（开始）

%F上面由_Alexander R.Povolotsky_于2008年12月25日给出的级数表示Pi=4*Sum_{k>=0｝1/（4*k+1）-1/（4*k+3）是更一般的结果（通过WZ方法获得）的情况n=0：对于n>=0，存在

%F Pi=Sum_｛j=0..n-1｝2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））+8*（n+1）*和{k>=0}1/（（4*k+1）*（4*k+3）**（4*k+2*n+3））。

%F Letting n->oo给出了由于Euler的快速收敛级数Pi=Sum_{j>=0}2^（j+1）/（2*j+1）*二项式（2*j，j）。

%F一般来说，对于n>=1，Pi=1/（2*n-1）^2*Sum_{j>=0}（乘积_{i=0..2*n-1}j-i）*2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））。

%对于任意整数n，Pi=（-1）^n*4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1+2*n）-1/（4*k+3-2*n）。（完）

%电话：3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062\

%电子邮箱：862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081\

%电子28481117450284102701938521105559644622948549303819。。。

%p位数：=110:Pi*10^104:

%p ListTools:-反转（转换（底数（%），基数，10））；#_Peter Luschny_，2019年10月29日

%t实际数字[N[Pi，105]][[1]

%t表[ResourceFunction[“NthDigit”][Pi，n]，{n，1，102}]（*_Joan Ludevid_2022年6月22日；使用此函数很容易计算a（10000000）=7；需要Mathematica 12.0+*）

%o（Macsyma）py（x）：=如果等于（6,6+x^2），则2*x其他（py（x:x/3），3*%%-4*（%%-x）^3）；py（3.）；py（dfloat（%））；块（[bfprecision:35]，py（bfloat（%））/*Bill Gosper_，2002年9月9日*/

%o（PARI）{default（realprecision，20080）；x=Pi；for（n=120000，d=floor（x）；x=（x-d）*10；write（“b000796.txt”，n，“”，d））；}\\_Harry J.Smith_，2009年4月15日

%o（PARI）A796=[]；A000796（n）={if（n>#A796，localprec（n*6\5+29）；A796=数字（Pi\.1^（精度（Pi）-3））；A1796[n]}\\注意：与其他程序一样，这将返回序列的第n项，其中n=1、2、3。。。而不是n=1，0，-1，-2，….-_M.F.Hasler，2022年6月21日

%o（PARI）first（n）=默认值（realprecision，n+10）；数字（楼层（Pi*10^（n-1））\\ David A.Corneth，2022年6月21日

%o（Haskell）——见链接：识字计划

%o导入数据。字符（数字到Int）

%o a000796 n=a000796_列表（n+1）！！（n+1）

%o a000796_list len=map digitToInt$show$machin'`div`（10^10）其中

%o machin’=4*（4*arccot 5统一-arccot 239统一）

%o单位=10^（len+10）

%o arccot x unity=arccot'x unity 0（unity `div`x）1 1其中

%o arccot’x统一汇总xpow n符号

%o|term==0=总和

%o |否则=arccot’

%o x单位（summa+sign*term）（导出`div`x^2）（n+2）（-符号）

%o其中term=xpow`div`n

%o——_Reinhard Zumkeller_，2012年11月24日

%o（Haskell）——参见Niemeijer链接和Gibbons链接。

%o a000796 n=a000796_列表！！（n-1）：：整数

%o a000796_list=从整数$piStream映射（1，0，1）

%o[（n，a*d，d）|（n，d，a）<-map（\k->（k，2*k+1，2））[1..]]其中

%o piStream z xs'@（x:xs）

%o | lb/=约z 4=piStream（mult z x）xs

%o|否则=lb:piStream（mult（10，-10*lb，1）z）xs'

%o其中lb=约z 3

%o近似（a，b，c）n=div（a*n+b）c

%o乘数（a，b，c）（d，e，f）=（a*d，a*e+b*f，c*f）

%o--_Reinhard Zumkeller_，2013年7月14日，2013年6月12日

%o（岩浆）pi:=pi（RealField（110））；反向（Intseq（地板（10^105*pi））；//_Bruno Berselli，2013年3月12日

%o（Python）从sympy导入pi，N；打印（N（pi，1000））#_David Radcliffe_，2019年4月10日

%o（Python）

%o从mpmath导入mp

%o定义A000796（n）：

%o如果n>=长度（A000796.str）：mp.dps=n*6//50+50；A000796.str=字符串（mp.pi-5/mp.mpf（10）**mp.dps）

%o返回int（A000796.str[n if n>1 else 0]）

%o A000796.str=''#_M.F.Hasler_，2022年6月21日

%o（SageMath）

%o m=125

%o x=数字_近似值（pi，数字=m+5）

%o a=[ZZ（i）代表x.str中的i（skip_zeroes=True），如果i.isdigit（）]

%o a[：m]#_G.C.格鲁贝尔，2023年7月18日

%Y参见A001203（续分数）。

%基础b:A004601（b=2）、A004602（b=3）、P004603（b=4）、A00.4604（b=5 b=16）、A224750（b=26）、A2 24751（b=27）、A060707（b=60）_杰森·金伯利（Jason Kimberley），2012年12月6日

%Y涉及Pi的表达式的十进制展开式：A002388（Pi^2）、A003881（Pi/4）、A013661（Pi^2/6）、A019692（2*Pi=tau）、A019727（sqrt（2*Pi））、A059956（6/Pi^2，A092736（Pi^8），A163973（Pi/log（2））。

%Y参见A001901（Pi/2；Wallis）、A002736（Pi^2/18；Euler）、A007514（Pi）、A048581（Pi；BBP）、A054387●●●●。

%Y参考A248682。

%K cons、nonn、nice、core、easy、changed

%O 1,1号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E Milliam Rex Marshall_的补充评论，2001年4月20日