搜索： a008646-编号：a008645
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A047996号
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| 按行读取三角形：T（n，k）是第（n，k）个循环二项式系数，其中0<=k<=n。 |
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37
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1, 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 22
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,13
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评论
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等价地，T（n，k）=带有k个黑色珠子和n-k个白色珠子的项链数量（重量为k的二进制项链）。
k列的生成函数由k阶对称群的循环指数中的替换x_j->x^j/（1-x^j）给出-R.J.马塔尔2018年11月15日
关于Voss、Adams-Waters和Sloane的上述评论，请注意Fredman（1975）证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量（a_0，…，a_{n-1}）的数量S（n，k，v）a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v（modn）由S（n，k，v）=（1/（n+k））*Sum{d|gcd（n，k）}给出A054535号（d，v）*二项式（（n+k）/d，k/d）=S（k，n，v）。
Elashvili等人（1999）也证明了这一结果，他还证明了S（n，k，v）=Sum_{d|gcd（n，k，v）}S（n/d，k/d，1）。这里，S（n，k，0）=A241926型（n，k）=U（n，k）=T（n+k，k）（其中T（n，k=当前数组）。此外，S（n，k，1）=A245558型（n，k）。参见Panyushev（2011），了解更多一般结果和生成函数。
最后，请注意A054535号（d，v）=c_d（v）=Sum_{s|gcd（d，v）}s*Moebius（d/s）。这些是Ramanujan和，它也等于von Sterneck函数c_d（v）=phi（d）*Moebius（d/gcd（d，v））/phi（d/gcr（d，v））。我们有A054535号（d，v）=A054534号（v，d）。
看看是否有Fredman（1975）、Elashvili et al.（1999）和Panyushev（2011）使用Molien级数对一般v的结果进行了证明，就像Sloane（2014）对v=0（在这种情况下，A054535美元（d，0）=φ（d））。（即使数组的列A054535号（d，v）从v=1开始，我们也可以从v=0列开始数组。）
（结束）
U（n，k）是模n留数的k元组的等价类的数目，标识出那些分量因常数而不同的类和那些分量因置换而不同的族-阿尔瓦尔·伊比亚斯2021年9月21日
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参考文献
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N.G.de Bruijn，Polya的计数理论，收录于：应用组合数学（E.F.Beckenbach，ed.），John Wiley and Sons，纽约，1964年，第144-184页（表示该三角形的G.F.）。
理查德·斯坦利，枚举组合数学，第二。ed.，Vol 1，Chapter I，Problem 105，pp.122 and 168，讨论了Z/nZ的子集加到0的数量-N.J.A.斯隆2014年5月6日
J.Voß，发布到序列粉丝邮件列表，2014年4月30日。
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链接
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伊桑·阿金和莫顿·戴维斯，保加利亚纸牌，美国数学。月刊92（4）（1985），237-250。
J.Brandt，分区周期，程序。美国数学。Soc.85（3）（1982），483-486，定理5。
Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233-238。MR1691428（2000c:13006）
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链与“Hermite互惠”的组合，《代数组合》，第10期（1999年），第2173-188期。MR1719140（2000j:05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
D.E.Knuth、H.Wilf、C.L.Mallows和D.Klarner，通信，1994年
莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），通过连续分式求循环的k标记和2标记的谱和特征空间的一般方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第5页。
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配方奶粉
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T（n，k）=（1/n）*和{d|（n，k）}φ（d）*二项式（n/d，k/d）。
对于第n行（n>=1）：（1/n）*Sum_{i=0..n-1}（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n）-乔格·阿恩特2012年9月28日
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例子
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三角形开始：
[ 0] 1,
[ 1] 1, 1,
[ 2] 1, 1, 1,
[ 3] 1, 1, 1, 1,
[ 4] 1, 1, 2, 1, 1,
[ 5] 1, 1, 2, 2, 1, 1,
[ 6] 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1,
[ 7] 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1,
[ 8] 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1,
[ 9] 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1,
[10] 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1,
[11] 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1,
[12] 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, ...
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MAPLE公司
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A047996号：=proc（n，k）局部C，d；如果k=0，则返回1；结束条件：；C:=0；对于numtheory[除数]（igcd（n，k））中的d，做C:=C+numtheori[phi]（d）*二项式（n/d，k/d）；结束do:C/n；结束进程：
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数学
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t[n_，k_]：=总数[EulerPhi[#]*二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]/n；t[0,0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司，2011年7月19日，根据给定公式*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
p（n）=如果（n<=0，n==0，1/n*和（i=0，n-1，（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n））；
对于（n=0，17，打印（Vec（p（n）））；/*打印三角形*/
（PARI）
T（n，k）=如果（n<=0，n==0，1/n*sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（n/d，k/d））；
/*打印三角形：*/
{对于（n=0，17，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”）；）；打印（）；}
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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A037306号
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| 按行读取的三角形T（n，k）：n到k部分的组合数，模循环移位。 |
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, 1, 6, 22, 55, 99, 132, 132, 99, 55, 22, 6, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,8
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评论
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T（n，k）=数字n可以表示为k个正整数的有序和的不同方式的数量，只计算一次那些可以通过循环置换相互转换的有序和。
这些可能被描述为循环组成，或者更松散地说是循环分区-N.J.A.斯隆2012年9月5日
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参考文献
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N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
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链接
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伊桑·阿金和莫顿·戴维斯，保加利亚纸牌，美国数学。月刊92（4）（1985）237-250。
R.Bekes、J.Pedersen和B.Shao，疯狂茶党循环分区，大学数学。J.，43（2012），24-36。
A.Elashvili、M.Jibladze、，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233-238。MR1691428（2000c:13006）
A.Elashvili、M.Jibladze、D.Pataraia、，项链与“Hermite互惠”的组合《代数组合》第10卷（1999年），第2期，第173-188页。MR1719140（2000j:05009）。见第174页-N.J.A.斯隆，2014年8月6日
阿诺德·克诺普马赫和内维尔·罗宾斯，循环成分的一些性质，斐波纳契夸脱。48（2010），第3期，249-255。
D.M.Y.Sommerville，关于循环数合成的某些周期性质，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，第2-7卷，第1期（1909年），第263-313页。
R.Razen、J.Seberry和K.Wehrhahn，循环矩阵生成的有序分区和代码J.Combina.理论系列。A、 27（1979），333-341。
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配方奶粉
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例子
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三角形开始
1;
1, 1;
1, 1, 1;
1, 2, 1, 1;
1, 2, 2, 1, 1;
1, 3, 4, 3, 1, 1;
1, 3, 5, 5, 3, 1, 1;
1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1;
1、4、10、14、14、10、4、1、1；
1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1;
1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1;
T（6,3）=4，因为将6表示为3个和的和有4种基本不同的方式1+1+4、1+2+3、1+3+2和2+2+2（所有其他方式都可以通过循环排列上述和中的一个来获得）。
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MAPLE公司
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A037306号：=proc（n，k）局部a，d；a:=0；对于numtheory[除数]（igcd（n，k））中的d，做a:=a+numtheori[phi]（d）*二项式（n/d，k/d）；结束do:a/n；结束进程：
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数学
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t[n_，k_]：=总数[EulerPhi[#]*二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]/n；扁平[表[t[n，k]，{n，13}，{k，n}]](*Jean-François Alcover公司，2011年9月8日，公式*之后）
nn=15；f[list_]：=选择[list，#>0&]；地图[f，Transpose[Table[Drop[CoefficientList[Series[CycleIndex[CyclicGroup[n]，s]/。表[s[i]->x^i/（1-x^i），{i，1，n}]，{x，0，nn}]，x]，1]，{n，1，nn}]]//网格(*杰弗里·克里策，2012年10月30日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a037306 n k=div（总和$map f$a027750_row$gcd n k）n，其中
f d=a000010 d*a007318'（div n d）（div k d）
a037306_row n=地图（a037306 n）[1..n]
a037306_tabl=映射a037306行[1..]
（PARI）T（n，k）=sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（n/d，k/d））/n\\米歇尔·马库斯2016年2月10日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A032279号
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| 2种颜色的n个珠子的手镯（周转项链）数量，其中5个是黑色的。 |
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14
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1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147, 196, 252, 324, 406, 507, 621, 759, 913, 1096, 1298, 1534, 1794, 2093, 2421, 2793, 3199, 3656, 4152, 4706, 5304, 5967, 6681, 7467, 8311, 9234, 10222, 11298, 12446, 13691, 15015, 16445
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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5,3
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评论
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还有5个珠子的非等效项链的数量，每个珠子涂有n种颜色中的一种。
该序列解决了k=5时关于凸k-gons的所谓Reis问题。H.Gupta（1979）给出了完整的解决方案；我对古普塔的结果给出了一个简短的证明，并展示了这个问题与以下每个问题的等价性：列举了由两种颜色的n个珠子组成的手镯，其中k个是黑色的，以及列举了由n种颜色中的一种绘制的k个珠子的项链。
a（n）是n阶（0,1）-循环中每行有五个1的恒量的不同值个数的基本上不可改进的上限估计。（结束）
a（n+5）是T_1 X h振动微扰矩阵h（Q）的级数展开中n阶对称允许的线性无关项的数目（参见Dunn&Bates）-布拉德利·克莱2015年7月20日
设（c（n）：n>=1）是一个非负整数序列，c（x）=Sum_{n>=1}c（n）*x^n是它的g.f。设a_k=（a_k（n）：n>=1克里斯蒂安·鲍尔下面是的web链接。可以证明，当k是奇数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*C（x^d）^（k/d）+C（x*2）^。
对于这个序列，k=5，c（n）=1，所有n>=1，c（x）=x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_5（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=5。应用（c（n）：n>=1）的DIK[5]的g.f.公式，其中c（x）=x/（1-x）和k=5，我们得到A（x）=A_5（x）＝x^5*（（1/5）*求和{d|5}φ（d）*（1-x^d）^（-5/d）+（1+x）/（1-x2）^3）/2，这显然等于下面公式部分中的g.f。
g.f.也是赫伯特·科西姆巴对偶数和奇数k都有效的公式：A_k（x）=x^k*（（1/k）*Sum_{d|k}phi（d）*（1-x^d）^（-k/d）+（1+x）/（1-x^2）^Floor[（k+2）/2]）/2。
这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，带有5个黑色珠子和n-5个白色珠子。但它也是带有5个正部分的n的二面体组成数。（此声明相当于弗拉基米尔·舍维列夫上面的说法是，a（n）是“由5颗珠子组成的非等效项链的数量，每颗珠子都由n种颜色中的一种颜色绘制。”他所说的“项链”是指“翻转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第（2）段。）
n的两个循环组成（k=5部分）属于与n的二面体组成相对应的相同等价类，当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。（结束）
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参考文献
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N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
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链接
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内斯琳·本亚希亚·塔尼（Nesrine Benyahia-Tani）、扎赫拉·亚希（Zahra Yahi）和萨德克·布鲁比（Sadek Bouroubi）内接在正n边上的有序和无序非相接凸四边形。罗斯托克数学。科洛克。68、71-79（2013），定理1。
理查德·赖斯（Richard H.Reis），古普塔论文中C（T）的一个公式印度J.Pure和Appl。数学。，第10卷，第8期（1979年），1000-1001。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。
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配方奶粉
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“DIK[5]”（项链，模糊，未标记，5部分）变换为1，1，1。。。
通用格式：x^5*（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x ^2）^2x（1-x^5））偏移量5修正为罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
如果n==k（mod d），则取s（n，k，d）=1，否则取0。然后
a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-1）*（n-3）*（（n-2）*（n-4）+15）/240，如果n是奇数>=5；
a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-2）*（n-4）*（（n-1）*（n-3）+15）/240，如果n是偶数>=5。（结束）
a（n+5）=楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16）-罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
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例子
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每一个有两种颜色的n珠子手镯（其中5个珠子是黑色的，n-5个是白色的）都可以通过以下方式转化为具有5个阳性部分的n的二面体组合。从一个B珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个B珠。继续此过程，直到回到原来的B珠。
让b_i是从b珠子i到b珠子i+1（或b珠子1）之前的最后一个W珠子的珠子数。这里，b_i=1，如果b珠i和b珠i+1（或b珠5和b珠1）之间没有W珠。然后b1+b2+b3+b4+b5=n，我们得到了n的二面体组成（当然，b2+b2+b4+B5+b1和b5+b4+5+b3+b2+b1属于二面体构成b1+b2+b2+B3+b4+5的相同等价类）
例如，a（8）=5，我们有以下带有5个B珠子和3个W珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=5部分（必须在圆上查看）：
BBBBB WWW<->1+1+1+4
BBBBWBWW<->1+1+1+2+3
BBWBBBWW<->1+2+1+3
BWBBWBWB<->2+1+2+1
BWBWBBB<->2+2+2+1+1
（结束）
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MAPLE公司
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seq（楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
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数学
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k=5；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，Divisors[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OrdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k'，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
系数列表[级数[（1-x+2x^3-x^5+x^6）/（1-x）^2（1-x^2）^2[1-x^5）），{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2013年9月7日*）
k=5（*手镯问题中的黑色珠子数量*）；系数列表[级数[x^k*（1/k加@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2,{x，0,50}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=圆形（（n^4-10*n^3+50*n^2-（110+30*（1-n%2））*n）/240+3/5）\\华盛顿·邦菲姆2008年7月17日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x^2）^2*1-x^5））//文森佐·利班迪2013年9月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A103728号
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| 一类涉及素数的项链问题的g.f.s分子多项式的系数。 |
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1, 0, 1, -1, 1, 1, -3, 5, -3, 1, 1, -5, 13, -17, 13, -5, 1, 1, -9, 41, -109, 191, -229, 191, -109, 41, -9, 1, 1, -11, 61, -203, 457, -731, 853, -731, 457, -203, 61, -11, 1, 1, -15, 113, -527, 1713, -4111, 7537, -10767, 12113, -10767, 7537, -4111, 1713, -527, 113, -15, 1, 1, -17, 145, -773, 2899, -8117, 17587
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,7
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评论
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行多项式P（n，x）：=Sum_{k=0..P。此处p（n）=A000040型（n） （质数）。等价地，N（p（N），m）计算带有p（NA032191号不等价性是指相对于环状基团C_p（n）的不等价性。
这条项链的g.f.是g（p（n），x）=p（n，x）/（1-x^p（n。上面定义了行多项式P（n，x）。这个g.f.是Z（C_p（n），x），是素数阶p（n）循环群的两个变量（x[1]和x[p（n。如果上述带标签的项链问题得到解决，那么接下来是Polya枚举。
此数组a（n，k）的行长度序列为A000040型（n） （第n个素数），[2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，…]。
这个有符号数组的行是对称的：a（n，k）=a（n），p（n）-1-k），n>=2，k=0..（p（n”-1）/2。请参见下面的显式公式。
下面给出的a（n，k）的公式实际上产生整数。
对于k列，k>=0（无前导零）：总和(A103718号（k，m）*p（n）^m，m=0..k）/k！生成所有n>pi（n）整数，其中pi（n）：=A000720号（n） ，素数不超过n。
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链接
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配方奶粉
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a（n，k）=（1+（（-1）^k）*（p（n）-1）*二项式（p（n）-1，k））/p（n），其中p（n=A000040型（n） （第n素数）。
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例子
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三角形开始：
[1, -0];
[1, -1, 1];
[1, -3, 5, -3, 1];
[1, -5, 13, -17, 13, -5, 1];
[1, -9, 41,-109, 191, -229, 191, -109, 41, -9, 1];
。。。
n=3:G（p（3），x）=G（5，x）=（1-3*x+5*x^2-3*x^3+1*x^4）/（1-x^5）*（1-x）^4）生成项链序列A008646号.
邮编：103718（3，m），m=0..3，为[17，-17,7，-1]。因此（17-17*p（n）+7*p！对于n>=1，给出第三列[-3，-17，-109，…]。
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,标签
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作者
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经核准的
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1、1、4、10、22、42、80、132、217、335、504、728、1038、1428、1944、2586、3399、4389、5620、7084、8866、10966、13468、16380、19811、23751、28336、33566、39576、46376、54132、62832、72675、83661、95988、109668、124936、141778
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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6,3
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评论
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g.f.是Z（C_6，x）/x^6，循环群C_6的六元循环指数多项式，替换x[i]->1/（1-x^i），i=1，。。。，6.因此，通过Polya枚举，a（n+6）是循环不等的6条项链的数量，其6个珠子用非负整数标记，因此标签之和为n，其中n=0,1,2，。。。请参见A102190号对于Z（C_6，x）。注意这个公式与这个序列名称的公式是等价的：从一条黑色的6项链开始（所有6个珠子的标签都是0）。如果标签为k，则在6个黑色珠子k个白色珠子的后面插入，然后忽略标签-沃尔夫迪特·朗2005年2月15日
序列（b（n）：n>=1）的CIK[k]变换的g.f.b（x）=Sum_{n>=1}b（n。这里，k=6，b（n）=1表示所有n>=1，b（x）=x/（1-x），从中我们得到了下面给出的g.f.s的另一个证明-Petros Hadjicostas公司2018年1月7日
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链接
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莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），通过连续分式求循环的k标记和2标记的谱和特征空间的一般方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第6页。
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配方奶粉
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“CIK[6]”（项链，模糊，未标记，6部分）变换为1，1，1。。。
一般公式：（1-x+x^2+4*x^3+2*x^4+3*x^6+x^7+x^8）/（（1-x）^6*（1+x）^3*（1+x+x2）^2*（1-x+x^2））（推测）-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月5日
G.f.：（x^6）*（1-x+x^2+4*x^3+2*x^4+3*x^6+x^7+x^8）/（（1-x）^2*（1-x^2）^2*（1-x^3）*（1-x^6））。（在不同版本中证明R.Stephan猜想（具有正确的偏移量）；请参阅上面的注释条目）-沃尔夫迪特·朗2005年2月15日
G.f.：（1/6）*x^6*（（1-x）^（-6）+（1-x^2）^（-3）+2*（1-x^3）^（-2）+2*（1-x^6）^（-1））-赫伯特·科西姆巴2016年10月22日
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例子
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我们解释了为什么a（8）=4。根据上述网络链接中给出的C.G.Bower的变换理论，a（8）是将6个未标记的模糊盒子（可能只是大小不同）作为项链排列在一个圆圈上的方法数量，因此所有盒子中的球总数为8个。在圆上有四种方法：311111、221111、212111和211211。
为了将这些盒子的配置转换为带有8个珠子的项链，其中6个是黑色的，2个是白色的，我们修改了W.Lang给出的上述想法。我们将每个带有m个小球的盒子替换为一个黑色珠子，然后是m-1个白色珠子。上述四个示例分别为BWBBBBB、BWBBBB、BWBWBBB和BWBBB。
（结束）
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数学
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k=6；表[应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]/n，{n，k，30}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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经核准的
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1, 1, 4, 12, 30, 66, 132, 246, 429, 715, 1144, 1768, 2652, 3876, 5538, 7752, 10659, 14421, 19228, 25300, 32890, 42288, 53820, 67860, 84825, 105183, 129456, 158224, 192130, 231880, 278256, 332112, 394383, 466089, 548340
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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7,3
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评论
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“CIK[7]”（项链，模糊，未标记，7部分）变换为1，1，1。。。
g.f.是Z（C_7，x）/x^7，循环群C_7的七元循环指数多项式，替换x[i]->1/（1-x^i），i=1，。。。，7.因此，通过Polya枚举，a（n+7）是循环不等的7个项链的数量，其中7个珠子用非负整数标记，使得标记的和为n，其中n=0,1,2，。。。请参见A102190号对于Z（C_7，x）和中的注释A032191号关于这个问题与“名称”行中给出的问题的等效性-沃尔夫迪特·朗2005年2月15日
对于p素数，如果a_p（n）是带有p个黑色珠子和n-p个白色珠子的项链的数量，则（a_p[n）：n>=1）=CIK[p]（1，1，1…）。由于CIK[k]（B（x））=（1/k）*Sum_{d|k}phi（d）*B（x^d）^{k/d}，其中k=p和B（x）=x+x^2+x^3+…=x/（1-x），我们得到和{n>=1}a_p（n）*x^n=（（p-1）/（1-x^p）+1/（1-x）^p）*x*p/p，即赫伯特·科西姆巴当p为素数时，g。f的通式。
我们立即得到a_p（n）=（（p-1）/p）*I（p|n）+（1/p）*C（n-1，p-1）=（p-1N.J.A.斯隆和沃尔夫迪特·朗.（这里，如果条件成立，I（条件）=1，否则为0。同样，对于整数n和k，如果0<=n<k，C（n，k）=0）
因为序列（a_p（n）：n>=1）是的列k=pA047996号（n，k）=T（n，k），我们从后一序列的文献中得到a_p（n）=T。
（结束）
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链接
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莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），通过连续分式求循环的k标记和2标记的谱和特征空间的一般方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第5-6页。
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配方奶粉
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总尺寸：x^7*（x^6-5*x^5+13*x^4-17*x^3+13*x^2-5*x+1）/（（x^6+x^5+x^4+x^3+x^1）*（1-x）^7）-盖尔·林德（Linder.Gael（AT）wanadoo.fr），2005年1月13日
通用格式：（6/（1-x^7）+1/（1-x）^7）*x^7/7；一般来说，对于有p个黑色珠子和p个素数的项链，g.f.是（（p-1）/（1-x^p）+1/（1-x）^p）*x^p/p-赫伯特·科西姆巴2016年10月15日
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数学
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k=7；表[应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]/n，{n，k，30}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
删除案例[系数列表[系列[x^7（x^6-5 x^5+13 x^4-17 x^3+13 x^2-5 x+1）/（（x^6+x^5+x^4+x^2+x+1）（1-x）^7），{x，0，41}]，x]，0](*迈克尔·德弗利格，2016年10月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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0、0、0、1、1、3、5、9、14、21、30、42、55、72、91、114、140、170、204、243、285、333、385、443、506、575、650、732、819、914、1015、1124、1240、1364、1496、1637、1785、1943、2109、2285、2470、2665、2870、3086、3311、3548、3795、4054、4324
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,6
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链接
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R.L.Graham和N.J.A.Sloane，恒重代码的下限，IEEE传输。通知。理论，26（1980），37-43。
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配方奶粉
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a（n）=（2*n^3-12*n^2+22*n-3+9*（-1）^n+3*（1+（-1））^n）*（-1-卢斯·埃蒂纳2015年1月20日
通用格式：x^4*（1-x+x^2）*（1-x+x^2+x^4）/（1-x）^3*（1-x ^8））-科林·巴克2015年1月20日
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数学
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系数列表[级数[x^4*（1-x+x^2）*（1-x+x^2+x^4）/（1-x）^3*（1-x ^8）），{x，0，60}]，x](*G.C.格鲁贝尔2019年5月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（[0,0,0]，Vec（x^4*（x^2-x+1）*（x*4+x^2-x+1）/（（x-1）^4*\\科林·巴克2015年1月20日
（岩浆）[上限（二项式（n，4）/n）：n in[1.60]]//G.C.格鲁贝尔2019年5月16日
（Sage）[（1..60）中n的cell（二项式（n，4）/n）]#G.C.格鲁贝尔，2019年5月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 5, 15, 43, 99, 217, 429, 810, 1430, 2438, 3978, 6310, 9690, 14550, 21318, 30667, 43263, 60115, 82225, 111041, 148005, 195143, 254475, 328756, 420732, 534076, 672452, 840652, 1043460, 1287036, 1577532, 1922741
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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8,3
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评论
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g.f.是Z（C_8，x）/x^8，循环群C_8的八元循环指数多项式，替换x[i]->1/（1-x^i），i=1，。。。，8.因此，通过Polya枚举，a（n+8）是循环不等的8-项链的数量，其8个珠子用非负整数标记，使得标记的和为n，其中n=0,1,2，。。。请参见A102190号对于Z（C_8，x）。请参阅中的评论A032191号这个问题与“名称”行中给出的问题等价-沃尔夫迪特·朗2005年2月15日
序列（c（n）：n>=1）的CIK[k]变换具有生成函数A_k（x）=（1/k）*Sum_{d|k}phi（d）*c（x^d）^{k/d}，其中c。
当c（n）=1表示所有n>=1时，我们得到c（x）=x/（1-x）和A_k（x）=（x^k/k）*求和{d|k}φ（d）*（1-x^d）^{-k/d}，这是两种颜色的n个珠子的项链数A_k（n）的g.f。
使用泰勒展开式，我们可以很容易地证明a_k（n）=（1/k）*Sum_{d|gcd（n，k）}phi（d）*二项式（n/d-1，k/d-1）=（1/1n）*Sum _{d| gcd（n，k）{phi。
对于这个序列k=8，我们得到了下面的公式。
（结束）
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链接
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配方奶粉
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“CIK[8]”（项链，模糊，未标记，8部分）变换为1，1，1。。。
总尺寸：（x^8）*（1-3*x+5*x^2+3*x^3-4*x^4+4*x^5+6*x^6-4*x^7+7*x^8-x^9+x^10+x^11）/（1-x）^4*（1-x^2）^2*（1-x ^4）*（1-x ^8））。
总尺寸：1/8*x^8*（1/（1-x）^8+1/（1-x^2）^4+2/（1-x^4）^2+4/（1-x ^8）^1）-赫伯特·科西姆巴，2016年10月22日
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数学
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k=8；表[应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]/n，{n，k，30}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
系数列表[级数[1/8*（1/（1-x）^8+1/（1-x^2）^4+2/（1-x^4）^2+4/（1-x ^8）^1），{x，0，30}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月1日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A267632型
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| 按行读取的三角形T（n，k）：第n行的第k列列出了从[1..n]中选择k个不同数字（k>=1）的方法，以便它们的和可以被n整除。 |
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+10
5
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 1, 0, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 3, 7, 9, 7, 3, 1, 0, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 4, 12, 22, 26, 20, 12, 5, 1, 0, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 5, 19, 42, 66, 76, 66, 43, 19, 5, 1, 0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,12
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评论
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减去最后一个元素的行是n=奇数或n=2的幂的回文，其中n是行号（观测推测）。
通过仔细阅读Barnes（1959）中引理5.1（第65-66页）的证明，我们看到他实际上证明了一个一般结果（尽管他没有在引理中说明它）。
根据这个序列的定义，对于1<=k<=n，T（n，k）是无序集b_1，b_2，…的数目。。。，k个不同于1..n的整数的b_k，因此b_1+b_2+…+b_ k＝0（mod n）。Barnes（1959）对引理5.1的证明表明，T（n，k）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*phi（s）*1≤k≤n的二项式（n/s，k/s）。
对于固定k>=1，列（T（n，k）：n>=1）（T（n，k）=0表示1<=n<k）的g.f.是（x^k/k）*Sum_{s|k}φ（s）*（-1）^（k-（k/s））/（1-x^s）^赫伯特·科西姆巴的公式来自A032801号.
Barnes（1959）公式是Ramanathan（1944）中定理4（第66页）的特例。如果R（n，k，v）是无序集b_1，b_2。。。，k个不同于1..n的整数的b_k，因此b_1+b_2+…+b_k=v（mod n），然后证明R（n，k，v）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*二项式（n/s，k/s）*C_s（v），其中C_（v）=A054535号（s，v）=Sum_{d|gcd（s，v）}d*Moebius（s/d）是Ramanujan的和（尽管它是1900年左右由奥地利数学家R.d.von Sterneck首次发现的）。
因为C_s（v=0）=phi（s），我们得到了Barnes的（隐式）结果；即，R（n，k，v=0）=T（n，k）对于1<=k<=n。
对于k=2，我们有R（n，k=2；v=0）=T（n，k=2）=A004526号（n-1）对于n>=1。对于k=3，我们有R（n，k=3；v=0）=T（n，k=3）=A058212号（n） 对于n>=1。对于k=4，我们有R（n，k=4、v=0）=A032801号（n） 对于n>=1。对于k=5，我们有R（n，k=5、v=0）=T（n，k=5）=A008646号（n-5），对于n>=5。
我们有T（2*m+1，k）的原因=A037306号（2*m+1，k）=A047996号对于m>=0和k>=1，（2*m+1，k）如下。当n=2*m+1时，gcd（n，k）的所有除数都是奇数。在这种情况下，对于所有k>=1，k-（k/s）是偶数，因此（-1）^（k-（k/s））=1，因此T（n=2*m+1，k）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}phi（s）*二项式（n/s，k/s）=A037306号（2*m+1，k）=A047996美元（2*m+1，k）。
通过求k列的g.f*乘以y^k从k=1到k=无穷大的乘积，我们得到了数组的二元g.f:和{n，k>=1}T（n，k）*x^n*y^k=和{s>=1}（phi（s）/s）*log（1-x^s+（-x*y）^s）/（1-x*s））=-x/（1-x））^s）。
在上述二元g.f.中设y=1，我们得到序列的g.f.（Sum_1<=k<=n}T（n，k）：n>=1）是-x/（1-x）-Sum_{s>=1}（phi（s）/s）*log（1-x^s+（-x）^s）=-x/序列的fA082550号因此，顺序A082550号由行和组成。
对这个数组T（n，k）还有另一个重要的解释，它与序列的一些参考有关A047996号，但由于讨论太长，我们省略了细节。
（结束）
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链接
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米歇尔·科斯特斯，有限交换群的子集和问题J.Combina.理论系列。A 120（2013），527-530。
李继友和大庆湾，有限交换群的子集和计数J.Combina.理论系列。A 119（2012），170-182；见第171-172页。
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配方奶粉
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T（n，k）=（1/n）*求和{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*phi（s）*二项式（n/s，k/s）对于1<=k<=n。
对于列k>=1，G.f:（x^k/k）*和{s|k}φ（s）*（-1）^（k-（k/s））/（1-x^s）^。
二元g.f.：求和{n，k>=1}T（n，k）*x^n*y^k=-x/（1-x）-求和{s>=1}（φ（s）/s）*log（1-x^s+（-x*y）^s）。
（结束）
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例子
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对于n=5，有一种方法选择一个数字（5），两种方法选择两个数字（1+4，2+3），两个方法选择三个数字（1+4+5，2+3+5），一种方法选四个数字（1,2+3+4），还有一种方法挑选五个数字（1'2+3+4+5），这样它们的和可以被5整除。因此，T（5.1）=1，T（5.2）=2，T（5.3）=2、T（5.4）=1和T（5.5）=1。
T（n，k）的表如下所示：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
2 1 0
3 1 1 1
4 1 1 1 0
5 1 2 2 1 1
6 1 2 4 3 1 0
7 1 3 5 5 3 1 1
8 1 3 7 9 7 3 1 0
9 1 4 10 14 14 10 4 1 1
10 1 4 12 22 26 20 12 5 1 0
。。。
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MAPLE公司
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局部a，msel，p；
a:=0；
对于组合中的msel[选择]（n，k）do
如果modp（add（p，p=msel），n）=0，则
a:=a+1；
结束条件：；
结束do：
a；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，m，s）选项记忆；展开（`if`（n=0，
`如果`（s=0，1，0），b（n-1，m，s）+x*b（n-l，m，irem（s+n，m））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n））（b（n$2,0））：
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数学
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f[k_，n_]：=长度[Select[Subsets[Range[n]]，长度[#]=k&]，整数Q[Total[#]/n]&]]；矩阵形式[表[{n，表[f[k，n]，{k，n}]}，{n，10}]](*迪米特里·帕帕佐普洛斯2016年1月18日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A004526号,A032801号,A037306号,A047996号,A054532号,A054533号,A054534号,A054535号,A058212号,A063776美元,A082550号（行总和），A309122型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 15, 42, 99, 215, 429, 805, 1430, 2431, 3978, 6299, 9690, 14535, 21318, 30645, 43263, 60088, 82225, 111004, 148005, 195098, 254475, 328697, 420732, 534006, 672452, 840565, 1043460, 1286934, 1577532, 1922618
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,10
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链接
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R.L.Graham和N.J.A.Sloane，恒重代码的下限，IEEE传输。通知。理论，26（1980），37-43。
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MAPLE公司
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seq（ceil（二项式（n，8）/n），n=1..45）#G.C.格鲁贝尔2019年9月6日
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数学
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表[上限[二项式[n，8]/n]，{n，45}](*G.C.格鲁贝尔2019年9月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（45，n，ceil（二项式（n，8）/n））\\G.C.格鲁贝尔2019年9月6日
（岩浆）[上限（二项式（n，8）/n）：n in[1..45]]//G.C.格鲁贝尔2019年9月6日
（Sage）[ceil（二项式（n，8）/n）表示n在（1..45）中]#G.C.格鲁贝尔2019年9月6日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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