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| 按行读取的三角形T（n，k）：第n行的第k列列出了从[1..n]中选择k个不同数字（k>=1）的方法，以便它们的和可以被n整除。 |
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5
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 1, 0, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 3, 7, 9, 7, 3, 1, 0, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 4, 12, 22, 26, 20, 12, 5, 1, 0, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 5, 19, 42, 66, 76, 66, 43, 19, 5, 1, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,12
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评论
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减去最后一个元素的行是n=奇数或n=2的幂的回文，其中n是行号（观测推测）。
通过仔细阅读Barnes（1959）中引理5.1（第65-66页）的证明，我们看到他实际上证明了一个一般结果（尽管他没有在引理中说明它）。
根据这个序列的定义，对于1<=k<=n，T（n，k）是无序集b_1，b_2，…的数目。。。，k个不同于1..n的整数的b_k，因此b_1+b_2+…+b_k=0（mod n）。Barnes（1959）中引理5.1的证明表明，对于1<=k<=n，T（n，k）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*phi（s）*二项式（n/s，k/s）。
对于固定k>=1，列（T（n，k）：n>=1）（T（n，k）=0表示1<=n<k）的g.f.是（x^k/k）*Sum_{s|k}φ（s）*（-1）^（k-（k/s））/（1-x^s）^赫伯特·科西姆巴的公式来自A032801号.
Barnes（1959）公式是Ramanathan（1944）中定理4（第66页）的特例。如果R（n，k，v）是无序集b_1，b_2。。。，k个不同于1..n的整数的b_k，因此b_1+b_2+…+b_k=v（mod n），然后证明R（n，k，v）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*二项式（n/s，k/s）*C_s（v），其中C_（v）=A054535号（s，v）=Sum_{d|gcd（s，v）}d*Moebius（s/d）是Ramanujan的和（尽管它是1900年左右由奥地利数学家R.d.von Sterneck首次发现的）。
因为C_s（v=0）=phi（s），我们得到了Barnes的（隐式）结果；即，R（n，k，v=0）=T（n，k）对于1<=k<=n。
对于k=2，我们有R（n，k=2；v=0）=T（n，k=2）=A004526号（n-1）对于n>=1。对于k=3，我们有R（n，k=3；v=0）=T（n，k=3）=A058212号（n） 对于n>=1。对于k=4，我们有R（n，k=4、v=0）=A032801号（n） 对于n>=1。对于k=5，我们有R（n，k=5、v=0）=T（n，k=5）=A008646号（n-5）对于n>=5。
我们有T（2*m+1，k）的原因=A037306号（2*m+1，k）=A047996号对于m>=0和k>=1，（2*m+1，k）如下。当n=2*m+1时，gcd（n，k）的所有除数都是奇数。在这种情况下，对于所有k>=1，k-（k/s）是偶数，因此（-1）^（k-（k/s））=1，因此T（n=2*m+1，k）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}phi（s）*二项式（n/s，k/s）=A037306号（2*m+1，k）=A047996号（2*m+1，k）。
通过求k列的g.f*乘以y^k从k=1到k=无穷大的乘积，我们得到了数组的二元g.f:和{n，k>=1}T（n，k）*x^n*y^k=和{s>=1}（phi（s）/s）*log（1-x^s+（-x*y）^s）/（1-x*s））=-x/（1-x））^s）。
在上述二元g.f.中设y=1，我们得到序列的g.f.（Sum_1<=k<=n}T（n，k）：n>=1）是-x/（1-x）-Sum_{s>=1}（phi（s）/s）*log（1-x^s+（-x）^s）=-x/序列的fA082550号因此，顺序A082550号由行和组成。
对这个数组T（n，k）还有另一个重要的解释，它与序列的一些参考有关A047996号，但由于讨论太长，我们省略了细节。
（结束）
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链接
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米歇尔·科斯特斯，有限交换群的子集和问题J.Combina.理论系列。A 120（2013），527-530。
李继友和大庆湾，有限交换群的子集和计数，J.组合理论系列。A 119（2012），170-182；见第171-172页。
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配方奶粉
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T（n，k）=（1/n）*求和{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*phi（s）*二项式（n/s，k/s）对于1<=k<=n。
对于列k>=1，G.f:（x^k/k）*和{s|k}φ（s）*（-1）^（k-（k/s））/（1-x^s）^。
二元g.f.：求和{n，k>=1}T（n，k）*x^n*y^k=-x/（1-x）-求和{s>=1}（φ（s）/s）*log（1-x^s+（-x*y）^s）。
（结束）
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例子
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对于n=5，有一种方法选择一个数字（5），两种方法选择两个数字（1+4，2+3），两个方法选择三个数字（1+4+5，2+3+5），一种方法选四个数字（1,2+3+4），还有一种方法挑选五个数字（1'2+3+4+5），这样它们的和可以被5整除。因此，T（5.1）=1，T（5.2）=2，T（5.3）=2、T（5.4）=1和T（5.5）=1。
T（n，k）的表如下所示：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
2 1 0
3 1 1 1
4 1 1 1 0
5 1 2 2 1 1
6 1 2 4 3 1 0
7 1 3 5 5 3 1 1
8 1 3 7 9 7 3 1 0
9 1 4 10 14 14 10 4 1 1
10 1 4 12 22 26 20 12 5 1 0
...
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MAPLE公司
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局部a，msel，p；
a:=0；
对于组合中的msel[选择]（n，k）do
如果modp（加（p，p=msel），n）=0，则
a:=a+1；
结束条件：；
结束do：
a；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，m，s）选项记忆；展开（`if`（n=0，
`如果`（s=0，1，0），b（n-1，m，s）+x*b（n-l，m，irem（s+n，m））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n））（b（n$2,0））：
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数学
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f[k_，n_]：=长度[Select[Subsets[Range[n]]，长度[#]=k&]，整数Q[Total[#]/n]&]]；矩阵形式[表[{n，表[f[k，n]，{k，n}]}，{n，10}]](*迪米特里·帕帕佐普洛斯2016年1月18日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A004526号,A032801号,A037306号,A047996号,A054532号,A054533号,A054534号,A054535号,A058212号,A063776号,A082550号（行总和），2009年12月22日.
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关键词
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作者
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经核准的
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