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邮编:267632 |
| 按行读取的三角形T(n,k):第n行的第k列列出了从[1..n]中选择k个不同数字(k>=1)的方法,以便它们的和可以被n整除。 |
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5
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 1, 0, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 3, 7, 9, 7, 3, 1, 0, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 4, 12, 22, 26, 20, 12, 5, 1, 0, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 5, 19, 42, 66, 76, 66, 43, 19, 5, 1, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,12
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评论
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减去最后一个元素的行是n=奇数或n=2的幂的回文,其中n是行号(观测推测)。
通过仔细阅读Barnes(1959)中引理5.1(第65-66页)的证明,我们看到他实际上证明了一个一般结果(尽管他没有在引理中说明它)。
根据这个序列的定义,对于1<=k<=n,T(n,k)是无序集b_1,b_2,…的数目。。。,k个不同于1..n的整数的b_k,因此b_1+b_2+…+b_k=0(mod n)。Barnes(1959)中引理5.1的证明表明,对于1<=k<=n,T(n,k)=(1/n)*Sum_{s|gcd(n,k)}(-1)^(k-(k/s))*phi(s)*二项式(n/s,k/s)。
对于固定k>=1,列(T(n,k):n>=1)(T(n,k)=0表示1<=n<k)的g.f.是(x^k/k)*Sum_{s|k}φ(s)*(-1)^(k-(k/s))/(1-x^s)^赫伯特·科西姆巴的公式来自A032801号.
Barnes(1959)公式是Ramanathan(1944)中定理4(第66页)的特例。如果R(n,k,v)是无序集b_1,b_2。。。,k个不同于1..n的整数的b_k,因此b_1+b_2+…+b_k=v(mod n),然后证明R(n,k,v)=(1/n)*Sum_{s|gcd(n,k)}(-1)^(k-(k/s))*二项式(n/s,k/s)*C_s(v),其中C_(v)=A054535号(s,v)=Sum_{d|gcd(s,v)}d*Moebius(s/d)是Ramanujan的和(尽管它是1900年左右由奥地利数学家R.d.von Sterneck首次发现的)。
因为C_s(v=0)=phi(s),我们得到了Barnes的(隐式)结果;即,R(n,k,v=0)=T(n,k)对于1<=k<=n。
对于k=2,我们有R(n,k=2;v=0)=T(n,k=2)=A004526号(n-1)对于n>=1。对于k=3,我们有R(n,k=3;v=0)=T(n,k=3)=A058212号(n) 对于n>=1。对于k=4,我们有R(n,k=4、v=0)=A032801号(n) 对于n>=1。对于k=5,我们有R(n,k=5、v=0)=T(n,k=5)=A008646号(n-5)对于n>=5。
我们有T(2*m+1,k)的原因=A037306号(2*m+1,k)=A047996号对于m>=0和k>=1,(2*m+1,k)如下。当n=2*m+1时,gcd(n,k)的所有除数都是奇数。在这种情况下,对于所有k>=1,k-(k/s)是偶数,因此(-1)^(k-(k/s))=1,因此T(n=2*m+1,k)=(1/n)*Sum_{s|gcd(n,k)}phi(s)*二项式(n/s,k/s)=A037306号(2*m+1,k)=A047996号(2*m+1,k)。
通过求k列的g.f*乘以y^k从k=1到k=无穷大的乘积,我们得到了数组的二元g.f:和{n,k>=1}T(n,k)*x^n*y^k=和{s>=1}(phi(s)/s)*log(1-x^s+(-x*y)^s)/(1-x*s))=-x/(1-x))^s)。
在上述二元g.f.中设y=1,我们得到序列的g.f.(Sum_1<=k<=n}T(n,k):n>=1)是-x/(1-x)-Sum_{s>=1}(phi(s)/s)*log(1-x^s+(-x)^s)=-x/序列的fA082550号因此,顺序A082550号由行和组成。
对这个数组T(n,k)还有另一个重要的解释,它与序列的一些参考有关A047996号,但由于讨论太长,我们省略了细节。
(结束)
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链接
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米歇尔·科斯特斯,有限交换群的子集和问题J.Combina.理论系列。A 120(2013),527-530。
李继友和大庆湾,有限交换群的子集和计数,J.组合理论系列。A 119(2012),170-182;见第171-172页。
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配方奶粉
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T(n,k)=(1/n)*求和{s|gcd(n,k)}(-1)^(k-(k/s))*phi(s)*二项式(n/s,k/s)对于1<=k<=n。
对于列k>=1,G.f:(x^k/k)*和{s|k}φ(s)*(-1)^(k-(k/s))/(1-x^s)^。
二元g.f.:求和{n,k>=1}T(n,k)*x^n*y^k=-x/(1-x)-求和{s>=1}(φ(s)/s)*log(1-x^s+(-x*y)^s)。
(结束)
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例子
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对于n=5,有一种方法选择一个数字(5),两种方法选择两个数字(1+4,2+3),两个方法选择三个数字(1+4+5,2+3+5),一种方法选四个数字(1,2+3+4),还有一种方法挑选五个数字(1'2+3+4+5),这样它们的和可以被5整除。因此,T(5.1)=1,T(5.2)=2,T(5.3)=2、T(5.4)=1和T(5.5)=1。
T(n,k)的表如下所示:
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
2 1 0
3 1 1 1
4 1 1 1 0
5 1 2 2 1 1
6 1 2 4 3 1 0
7 1 3 5 5 3 1 1
8 1 3 7 9 7 3 1 0
9 1 4 10 14 14 10 4 1 1
10 1 4 12 22 26 20 12 5 1 0
...
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MAPLE公司
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局部a,msel,p;
a:=0;
对于组合中的msel[选择](n,k)do
如果modp(加(p,p=msel),n)=0,则
a:=a+1;
结束条件:;
结束do:
a;
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,m,s)选项记忆;展开(`if`(n=0,
`如果`(s=0,1,0),b(n-1,m,s)+x*b(n-l,m,irem(s+n,m))
结束时间:
T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=1..n))(b(n$2,0)):
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数学
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f[k_,n_]:=长度[Select[Subsets[Range[n]],长度[#]=k&],整数Q[Total[#]/n]&]];矩阵形式[表[{n,表[f[k,n],{k,n}]},{n,10}]](*迪米特里·帕帕佐普洛斯2016年1月18日*)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A004526号,A032801号,A037306号,A047996号,A054532号,A054533号,A054534号,A054535号,A058212号,A063776号,A082550号(行总和),2009年12月22日.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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