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| A005514号 |
| 带有8颗红色珠子和n-8颗黑色珠子的n珠手镯（翻转项链）的数量。
（原名M3801）
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7
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1, 1, 5, 10, 29, 57, 126, 232, 440, 750, 1282, 2052, 3260, 4950, 7440, 10824, 15581, 21879, 30415, 41470, 56021, 74503, 98254, 127920, 165288, 211276, 268228, 337416, 421856, 523260, 645456, 790704, 963793, 1167645, 1408185
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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8,3
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评论
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还有由8个珠子组成的非等效项链，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。
该序列解决了在k=8的情况下关于凸k-gons的所谓Reis问题（参见我们在A032279号).
（结束）
设（c（n）：n>=1）是一个非负整数序列，c（x）=Sum_{n>=1}c（n）*x^n是它的g.f。设a_k=（a_k（n）：n>=1）为序列的DIK[k]变换的输出序列（c（n）:n>=1。可以证明，当k为偶数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*C（x^d）^（k/d）+（1/2）*C。
对于这个序列，k=8，c（n）=1，所有n>=1，c（x）=x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_8（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=8。应用（c（n）：n>=1）的DIK[8]的g.f.公式，其中c（x）=x/（1-x），k=8，我们得到赫伯特·科西姆巴的公式如下。
这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，其中有8个红色珠子和n-8个黑色珠子。但它也是n的八分之二面体组成数。（此声明相当于弗拉基米尔·舍维列夫上面的说法是，a（n）是“由8个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。”“项链”的意思是“周转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第二段。）
n的两个循环组成（k=8部分）属于与n的二面体组成相对应的相同等价类，当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。（结束）
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
N.Zagglia Salvi，自行车和项链的有序分割和着色，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
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链接
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Hansraj Gupta，不一致循环k-gon的计数印度J.Pure和Appl。数学。，10（1979年），第8期，964-999。
W.D.Hoskins和Anne Penfold街，给定数量线束上的斜纹，J.Austral。数学。Soc.序列号。A 33（1982），第1期，第1-15页。
W.D.Hoskins和A.P.Street，给定数量线束上的斜纹，J.Austral。数学。Soc.（A系列），33（1982），1-15。（带注释的扫描件）
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，35（2004），第5期，629-638。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，35（2004），第5期，629-638。
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公式
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S.J.Cyvin等人（1997年）给出了一个g.f.（见他们论文第870页的等式（18））。除了额外的x^8外，他们的g.f.与V.Jovovic给出的相同。）-Petros Hadjicostas公司，2018年7月14日）
通用公式：（x^8/16）*（1/（1-x）^8+4/（1-x^8）+5/（1-x2）^4+2/8/（1+x）^4/（1+x^2）^2/（1+x^4）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年7月17日
设s（n，k，d）=1，如果n==k（mod d），否则为0。然后
a（n）=（（n+4）/32）*s（n，0,8）+（（n-4）/32；a（n）=（48*C（n-1,7）+（n-1）*（n-3）*（n-5）*（n7））/768，如果n奇数>=8。
（结束）
序列（a（n）：n>=8）是鲍尔的“DIK[8]”（手镯，模糊，未标记，8部分）变换的输出序列，1，1。。。
（结束）
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例子
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每一个有两种颜色的n珠子手镯，其中8个珠子是红色的，n-8个是黑色的，可以通过以下方式转换成由8个部分组成的n的二面体。从一个R珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个R珠。继续此过程，直到回到原来的R胎圈。
设b_i为R珠子i到R珠子i+1（或R珠子1）之前的最后一个b珠子的珠子数。这里，b_i=1，如果R珠i和R珠i+1（或R珠8和R珠1）之间没有b珠。然后是b_1+b_2+…+b8=n，我们得到了n的二面体组成（当然，b2+b3+…+b8+b1和b8+b27+…+b1属于二面体构成b1+…+b28的相同等价类。）
例如，a（10）=5，我们有以下带有8个R珠子和2个B珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=8个部分（必须在圆圈上查看）：
rrrrrrrr-bb<->1+1+1+1+1+1+1+3
RRRRRRR BRB<->1+1+1+1+1+2
RRRRRR BRRB<->1+1+1+1+2
RRRRR BRRRB<->1+1+1+2+1+2
RRRRBRRRRB<->1+1+2+1+1+2
（结束）
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数学
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k=8；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，Divisors[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OrdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k'，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}](*罗伯特·拉塞尔，2004年9月27日*）
k=8；系数列表[级数[x^k*（1/k加@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2,{x，0,50}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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