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| A032279号 |
| 2种颜色的n个珠子的手镯（周转项链）数量，其中5个是黑色的。 |
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14
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1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147, 196, 252, 324, 406, 507, 621, 759, 913, 1096, 1298, 1534, 1794, 2093, 2421, 2793, 3199, 3656, 4152, 4706, 5304, 5967, 6681, 7467, 8311, 9234, 10222, 11298, 12446, 13691, 15015, 16445
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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5,3
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评论
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还有5个珠子的非等效项链的数量，每个珠子涂有n种颜色中的一种。
该序列解决了k=5时关于凸k-gons的所谓Reis问题。全解由H.Gupta（1979）给出；我对古普塔的结果给出了一个简短的证明，并展示了这个问题与以下每个问题的等价性：列举了由两种颜色的n个珠子组成的手镯，其中k个是黑色的，以及列举了由n种颜色中的一种绘制的k个珠子的项链。
a（n）是n阶（0,1）-循环中每行有五个1的恒量的不同值个数的基本上不可改进的上限估计。（结束）
a（n+5）是T_1 X h振动微扰矩阵h（Q）的级数展开中允许的n阶对称线性无关项的数量（参见Dunn&Bates）-布拉德利·克莱2015年7月20日
设（c（n）：n>=1）是一个非负整数序列，c（x）=Sum_{n>=1}c（n）*x^n是它的g.f。设a_k=（a_k（n）：n>=1克里斯蒂安·鲍尔下面是的web链接。可以证明，当k是奇数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*C（x^d）^（k/d）+C（x*2）^。
对于该序列，k＝5，对于所有n＞＝1，c（n）＝1，并且c（x）＝x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_5（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=5。应用（c（n）：n>=1）的DIK[5]的g.f.公式，其中c（x）=x/（1-x）和k=5，我们得到A（x）=A_5（x）＝x^5*（（1/5）*求和{d|5}φ（d）*（1-x^d）^（-5/d）+（1+x）/（1-x2）^3）/2，这显然等于下面公式部分中的g.f。
g.f.也是赫伯特·科西姆巴的公式对奇偶k都有效：A_k（x）=x^k*（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*（1-x^d）^（-k/d）+（1+x）/（1-x ^2）^Floor[（k+2）/2]）/2。
这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，带有5个黑色珠子和n-5个白色珠子。但它也是带有5个正部分的n的二面体组成数。（此声明相当于弗拉基米尔·舍维列夫上面的说法是，a（n）是“由5个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。”“项链”的意思是“周转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第（2）段。）
n的两个循环组成（k=5部分）属于与n的二面体组成相对应的相同等价类，当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。（结束）
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参考文献
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N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
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链接
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内斯琳·本亚希亚·塔尼（Nesrine Benyahia-Tani）、扎赫拉·亚希（Zahra Yahi）和萨德克·布鲁比（Sadek Bouroubi）内接在正n边上的有序和无序非相接凸四边形。罗斯托克数学。科洛克。68、71-79（2013），定理1。
理查德·赖斯（Richard H.Reis），古普塔论文中C（T）的一个公式，印度J.Pure和Appl。数学。，第10卷，第8期（1979年），1000-1001。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。
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配方奶粉
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“DIK[5]”（项链，模糊，未标记，5部分）变换为1，1，1。。。
G.f.：x^5*（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x^2）^2*（1-x^5））-偏移量5修正为罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
如果n==k（mod d），则取s（n，k，d）=1，否则取0。然后
a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-1）*（n-3）*（（n-2）*（n-4）+15）/240，如果n是奇数>=5；
a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-2）*（n-4）*（（n-1）*（n-3）+15）/240，如果n是偶数>=5。（结束）
a（n+5）=楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16）-罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
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例子
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每一个具有两种颜色的n珠手镯，使得5个珠是黑色的，n-5是白色的，可以通过以下方式转化为具有5个正部分的n的二面体组成。从一个B珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个B珠。继续此过程，直到回到原来的B珠。
让b_i是从b珠子i到b珠子i+1（或b珠子1）之前的最后一个W珠子的珠子数。这里，b_i=1，如果b珠i和b珠i+1（或b珠5和b珠1）之间没有W珠。然后b1+b2+b3+b4+b5=n，我们得到了n的二面体组成（当然，b2+b2+b4+B5+b1和b5+b4+5+b3+b2+b1属于二面体构成b1+b2+b2+B3+b4+5的相同等价类）
例如，a（8）=5，我们有以下带有5个B珠子和3个W珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=5部分（必须在圆上查看）：
bbbbb网址<->1+1+1+4
BBBBWBWW<->1+1+1+2+3
BBWBBBWW<->1+2+1+3
BWBBWBWB<->2+1+2+1
BWBWBBB<->2+2+2+1+1
（结束）
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MAPLE公司
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seq（楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
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数学
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k=5；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，Divisors[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OrdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k'，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
系数列表[级数[（1-x+2x^3-x^5+x^6）/（1-x）^2（1-x^2）^2[1-x^5）），{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2013年9月7日*）
k=5（*手镯问题中的黑色珠子数量*）；系数列表[级数[x^k*（1/k加@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2,{x，0,50}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=圆形（（n^4-10*n^3+50*n^2-（110+30*（1-n%2））*n）/240+3/5）\\华盛顿·邦菲姆2008年7月17日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x^2）^2*1-x^5））//文森佐·利班迪2013年9月7日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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