搜索： a109395-编号：a109395
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1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 3, 3, 2, 1, 6, 4, 2, 7, 4, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 3, 5, 1, 5, 1, 3, 3, 2, 1, 9, 6, 6, 1, 4, 1, 10, 4, 7, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 8, 6, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 11, 1, 2, 5, 4, 1, 5, 1, 7, 12, 2, 1, 9, 1, 2, 1, 5, 1, 6, 1, 3, 3, 2, 1, 13, 1, 10, 3, 8, 1, 2, 1, 6, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）
up_to=65537；
ordinal_transform（invec）={my（om=Map（），outvec=向量（长度（invec）），pt）；对于（i=1，长度（invesc），如果（mapisdefined（om，invec[i]），pt=mapget（om，invec[i]；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 5, 8, 14, 17, 34, 30, 44, 19, 51, 68, 103, 93, 72, 196, 152, 155, 103, 192, 132, 72, 126, 278, 349, 32, 159, 53, 165, 437, 976, 498, 560, 709, 237, 786, 739, 705, 282, 159, 402, 863, 660, 948, 243, 337, 384, 1130, 1273, 49, 132, 1546, 288, 1433, 349, 126, 459, 282, 567, 1772, 2761, 1893, 636, 165, 2144, 2421, 1921, 2280, 390, 2707, 2046, 2558, 2773, 2703
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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数学
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表[（2+（#1+#2）^2-#1-3#2）/2&@@{Times@@MapIndexed[Prime[First@#2]^#1&，Sort[FactorInteger[n][[All，-1]]，Greater]]-Boole[n==1]，分母[EulerPhi[n]/n]}，{n，73}](*迈克尔·德弗利格，2017年5月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
A046523号（n） ={my（f=vecsort（factor（n）[，2]，4），p）；prod（i=1，#f，（p=nextprime（p+1））^f[i]）；}；\\此函数来自查尔斯·格里特豪斯四世2011年8月17日
对于（n=110000，写入（“b286149.txt”，n，“”，A286149型（n） ）；
（Python）
来自sympy import factorint，totiten，gcd
定义T（n，m）：返回（（n+m）**2-n-3*m+2）/2
定义P（n）：
f=因子（n）
返回排序（[f[i]代表f中的i）
定义a046523（n）：
x=1
为True时：
如果P（n）==P（x）：返回x
其他：x+=1
定义a（n）：返回T（a046523（n），n/gcd（n，totient（n））#因德拉尼尔·戈什2017年5月5日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000027号,A046523号,A109395号,A285729型,A286142型,A286143型,286144元,A286152型,1986年,A286160型,A286161型,A286162型,A286163型,A286164型。
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 7, 14, 13, 4, 11, 2, 1, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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对于行n>1的位置a和b处的值x和y：
如果p是素数除以n，那么第p*n行由第n行的p个副本组成。
猜想：如果n是奇数，那么可以通过交换第一和第二部分从第n行得到第2n行。（结束）
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链接
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例子
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序列为不规则三角形：
不适用于1、2、3、4。。。
1: 0
2: 1
3: 1, 2
4: 1, 1
5: 1, 2, 3, 4
6: 2, 1
7: 1, 2, 3, 4, 5, 6
8: 1, 1, 1, 1
9: 1, 2, 1, 2, 1, 2
10: 3, 4, 1, 2
11: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
12: 2, 1, 2, 1
13:1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
14: 4, 5, 6, 1, 2, 3
15: 7, 14, 13, 4, 11, 2, 1, 8
...
行总和：0、1、3、2、10、3、21、4、9、10、55、6、78、21、60。
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数学
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压扁@表[With[{a=n/GCD[n，#]，b=Numerator[#/n]}，MapIndexed[a First@#2-b#1&，压扁@位置[GCD[Table[Mod[k，n]，{k，n-1}]，n]，1]/。｛｝->｛1｝]]&@EulerPhi@n，｛n，15｝](*迈克尔·德弗利格2019年6月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）vtot（n）=选择（x->（gcd（n，x）==1），向量（n，k，k））；
行（n）=my（q=eulerphi（n）/n，v=vtot（n））；向量（#v，k，分母（q）*k-分子（q）*v[k]）\\米歇尔·马库斯2019年5月14日
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交叉参考
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关键词
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签名,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A002618号
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| a（n）=n*φ（n）。
（原名M1568 N0611）
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+10
109
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1, 2, 6, 8, 20, 12, 42, 32, 54, 40, 110, 48, 156, 84, 120, 128, 272, 108, 342, 160, 252, 220, 506, 192, 500, 312, 486, 336, 812, 240, 930, 512, 660, 544, 840, 432, 1332, 684, 936, 640, 1640, 504, 1806, 880, 1080, 1012, 2162, 768, 2058, 1000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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也是n^2的Euler phi函数。
对于n>=3，a（n）也是2n阶二面体群的自同构群的大小。这个自同构群与变换群x->ax+b同构，其中a、b和x是模n的整数，a是n的互质，其阶为n*phi（n）Ola Veshta（olaveshta（AT）my-deja.com），2001年3月18日
似乎这个序列给出了1，2，3，…，的排列数。。。，n是模n的算术级数-约翰·莱曼2008年8月27日
莱曼的推测是正确的。显然，任何这样的排列都必须有一个从质数到n的增量，而且几乎同样明显，任何这样一个增量都会在任何起始值下起作用；因此φ（n）*n总计-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年6月9日
把从1到n^2的数字逐行写成一个nXn正方形：a（n）=与所有水平和垂直直接相邻的数互素-莱因哈德·祖姆凯勒2011年4月12日
n->a（n）是内射的：a（m）=a（n-弗兰兹·弗拉贝克，2012年12月12日（有关证明，请参阅数学堆栈交换链接。）
猜想：所有0＜min｛2，k｝＜＝j＜＝k的有理数Sum_｛i＝j.k｝1/a（i）都有成对不同的分数部分-孙志伟2015年9月24日
a（n）是n阶循环群的全形的阶（参见维基百科链接）。注意，除非n=2，否则Hol（C_n）和Aut（D_{2n}）是同构的，其中D_{3n}是2*n阶二面体群。参见Wordpress链接。
奇数项构成了A341298型奇数阶阿贝尔群的全形是一个完备群。参见W.Peremans链接第618页定理3.2。（结束）
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参考文献
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Peter Giblin，《素数与编程：计算数论导论》。剑桥：剑桥大学出版社（1993），第116页，练习1.10。
J.L.Lagrange，《奥弗莱斯》，第三卷，巴黎，1869年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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米哈伊尔·加布杜林（Mikhail R.Gabdullin）和维塔利·尤德利维奇（Vitalii V.Iudelevich），形式kf（k）的数字，arXiv:2201.09287[math.NT]（2022）。
F.Luca和A.O.Munagi，构成模m算术级数的排列数《亚历山德鲁·伊昂库扎大学年鉴》，2014年，内政部：10.2478/aicu-2014-0053。[断开的链接]
W.Peremans，全纯图的完备性荷兰阿卡德。韦滕施。印度。数学。程序。序列号。A、 60。(1957) 608-619.
J.E.A.Steggall，关于可以从某些元素导出的图案的数量、Mess。数学。，37 (1907), 56-61. [带注释的扫描副本。请注意，扫描的页面顺序不正确]
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配方奶粉
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与a（p^e）相乘=（p-1）*p^（2e-1）-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）/zeta（s-1）-R.J.马塔尔2011年2月9日
通用公式：-x+2*Sum_{k>=1}mu（k）*k*x^k/（1-x^k）^3-伊利亚·古特科夫斯基2017年1月3日
定义f（x）=#{n<=x:a（n）<=x}。Gabdullin和Iudelevich证明了f（x）~c*sqrt（x）对于c=Product_{pprime}（1+1/（p*（p-1+sqrt，p^2-p））=1.3651304521525857-查尔斯·格里特豪斯四世2022年3月16日
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例子
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a（4）=8，因为φ（4）=2和4*2=8。
a（5）=20，因为φ（5）=4和5*4=20。
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MAPLE公司
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（数值理论）：a：=n->phi（n^2）：seq（a（n），n=1.50）#零入侵拉霍斯2007年10月7日
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数学
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表[n EulerPhi[n]，{n，100}](*阿图尔·贾辛斯基2008年1月22日*）
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黄体脂酮素
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（MuPAD）编号：：φ（n^2）$n=1..81//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（Sage）[euler_phi（n^2）for n in range（1,51）]#零入侵拉霍斯，2009年6月6日
（岩浆）[1..150]]中的[n*EulerPhi（n）：n//文森佐·利班迪2011年4月4日
（哈斯克尔）
（Python）
从sympy导入到客户端作为phi
定义a（n）：返回n*phi（n）
打印（[a（n）代表范围（1,51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月16日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002619号,A047918号,A000010号,A053650型,A053191号,A053192号,A036689美元,A058161号,A009262号,A082473号（相同术语，按升序排序），A256545型,A327172型（左反转），A327173型,A065484号。
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 8, 5, 2, 9, 4, 1, 2, 1, 16, 1, 2, 1, 12, 1, 2, 3, 8, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 16, 7, 10, 1, 4, 1, 18, 5, 8, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 9, 32, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 24, 1, 2, 5, 4, 1, 6, 1, 16, 27, 2, 1, 12, 1, 2, 1, 8, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 32, 1, 14, 3, 20
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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不等式gcd（n，phi（n））<=2n-exp（-sqrt（log 2 log n））适用于所有平方自由n>=1（Erdős，Luca，and Pomerance）。
Erdős表明，对于几乎所有n，a（n）~log-log-log-n-查尔斯·格里特豪斯四世2011年11月23日
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链接
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保罗·埃尔德斯，数论中的几个渐近公式，J.印度数学。Soc.（N.S.）12（1948），第75-78页。
Paul Erdős、Florian Luca、Carl Pomerance、，关于数与给定整数互素的比例《整数的解剖》，第47-64页，J.-M.De Konink，A.Granville，F.Luca（编辑），AMS，2008年。
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配方奶粉
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MAPLE公司
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a009195:=n->igcd（i，数值[phi]（n））；
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数学
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表[GCD[n，EulerPhi[n]]，{n，100}](*哈维·P·戴尔，2011年8月11日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a009195 n=n `gcd`a000010 n--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月27日
（Python）
定义a009195（n）：
从数学导入gcd
φ=λx:len（[i代表范围（x）中的i，如果gcd（x，i）==1]）
返回gcd（n，phi（n））
（岩浆）[Gcd（n，EulerPhi（n））：n in[1..100]]//文森佐·利班迪2015年12月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 2, 2, 10, 1, 12, 3, 8, 1, 16, 1, 18, 2, 4, 5, 22, 1, 4, 6, 2, 3, 28, 4, 30, 1, 20, 8, 24, 1, 36, 9, 8, 2, 40, 2, 42, 5, 8, 11, 46, 1, 6, 2, 32, 6, 52, 1, 8, 3, 12, 14, 58, 4, 60, 15, 4, 1, 48, 10, 66, 8, 44, 12, 70, 1, 72, 18, 8, 9, 60, 4, 78, 2, 2, 20, 82, 2, 64, 21
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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φ（n）/n的分子=Prod_{p|n}（1-1/p）-弗兰兹·弗拉贝克2005年8月26日
对于n>=2，a（n）/A109395号（n） =不定项{1/p_1，…，1/p_M（n）}的初等对称函数（多项式）的和（（（-1）^r）*sigma_r，r=0..M（n），如果n=prod（（p_j）^e（j），j=1..M（n=A001221号（n） σ0=1。
接下来将上述给定乘积展开为φ（n）/n。
这个有理序列的第n个成员1/2，2/3，1/2，4/5，1/3，6/7，1/2，2/3，2/5，。。。也是（2/n^2）*和（k，其中1<=k<n和gcd（k，n）=1），n>=2。
因此，这个标度和只取决于n的不同素因子。
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链接
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配方奶粉
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数学
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表[分母[（n-EulerPhi[n]）/EulerPhi[n]]，{n，80}](*阿隆索·德尔·阿特2011年5月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）矢量（80，n，分子（eulerphi（n）/n））\\米歇尔·马库斯2015年7月4日
（岩浆）[分子（EulerPhi（n）/n）：[1..100]]中的n//文森佐·利班迪2015年7月4日
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 7, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 6, 1, 2, 1, 7, 1, 4, 1, 11, 1, 1, 13, 9, 11, 2, 1, 10, 5, 3, 1, 5, 1, 6, 7, 12, 1, 2, 1, 3, 19, 7, 1, 2, 3, 4, 7, 15, 1, 11, 1, 16, 3, 1, 17, 23, 1, 9, 25, 23, 1, 2, 1, 19, 7, 10, 17, 9, 1, 3, 1, 21, 1, 5, 21, 22, 31, 6, 1, 11, 19, 12, 11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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链接
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配方奶粉
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数学
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表[分子[n/EulerPhi[n]-1]，{n，1，100}](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月21日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A332881型
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| 如果n=乘积（p_j^k_j），则a（n）=乘积的分母（1+1/p_j）。 |
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+10
5
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1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 5, 11, 1, 13, 7, 5, 2, 17, 1, 19, 5, 21, 11, 23, 1, 5, 13, 3, 7, 29, 5, 31, 2, 11, 17, 35, 1, 37, 19, 39, 5, 41, 7, 43, 11, 5, 23, 47, 1, 7, 5, 17, 13, 53, 1, 55, 7, 57, 29, 59, 5, 61, 31, 21, 2, 65, 11, 67, 17, 23, 35
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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n的无平方因子倒数和的分母。
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链接
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配方奶粉
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和{k>=1}μ（k）^2*x^k/（k*（1-x^k））展开式中系数的分母。
a（n）=和{d|n}mu（d）^2/d的分母。
a（n）=psi（n）/n的分母。
a（p）=p，其中p是素数。
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例子
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1, 3/2, 4/3, 3/2, 6/5, 2, 8/7, 3/2, 4/3, 9/5, 12/11, 2, 14/13, 12/7, 8/5, 3/2, 18/17, ...
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MAPLE公司
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a： =n->分母（mul（1+1/i[1]，i=ifactors（n）[2]）：
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数学
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表[If[n==1，1，Times@@（1+1/#[1]]&/@FactorInteger[n]）]，{n，1，70}]//分母
表[Sum[MoebiusMu[d]^2/d，{d，除数[n]}]，{n，1，70}]//分母
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黄体脂酮素
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（PARI）
A001615号（n） =如果（1==n，n，my（f=系数（n））；触头（i=1，#f~，f[i，1]^f[i、2]+f[i（1]^（f[i）-1））；\\中的代码后A001615号
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A259850型
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| 对k进行编号，使k/phi（k）等于sigma（x）/x，对于某些x<=k。 |
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+10
4
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1, 3, 8, 9, 14, 15, 16, 21, 26, 27, 28, 32, 40, 45, 50, 52, 56, 63, 64, 75, 80, 81, 98, 100, 104, 112, 128, 130, 135, 144, 147, 160, 162, 182, 189, 192, 196, 200, 208, 216, 224, 225, 243, 250, 255, 256, 260, 288, 310, 320, 324, 338, 364, 372, 375, 384, 392, 400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这个序列的动机是sigma（n）/n和n/phi（n）都大于等于1。
对于前几个项，我们得到这些比率：1、3/2、2、3/2，7/3、15/8、2。。。。
达到给定限制的不同值的有序列表为：
上限约为10^1:[1，3/2，2]；
10^2:[1、3/2、7/4、15/8、2、13/6、7/3、5/2]；
10^3:[1、3/2、7/4、15/8、31/16、255/128、2、13/6、7/3、5/2、91/36、31/12、85/32、65/24、35/12、3、31/10、13/4]；
10^4:[1、3/2、7/4、15/8、31/16、255/128、2、13/6、7/3、5/2、91/36、31/12、85/32、65/24、403/144、1105/384、35/12、635/216、2555/864、3、217/72、127/42、73/24、31/10、51/16、13/4、1651/504、527/160、403/120、221/64、7/2、127/36、217/60]；
10^5之前：[1, 3/2, 7/4, 15/8, 31/16, 255/128, 65535/32768, 2, 33/16, 267/128, 13/6, 7/3, 133/54, 5/2, 91/36, 31/12, 85/32, 21845/8192, 65/24, 11/4, 89/32, 403/144, 1105/384, 35/12, 635/216, 2555/864, 3, 217/72, 127/42, 73/24, 665/216, 595/192, 31/10, 19/6, 51/16, 77/24, 1397/432, 13/4, 1651/504, 527/160, 949/288, 403/120, 221/64, 7/2, 127/36, 511/144, 6851/1920, 217/60, 119/32];
如果k是一个项，那么所有数字>k都与k具有相同的素因子集-罗伯特·伊斯雷尔2023年3月9日
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链接
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例子
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1/φ（1）=1/1=σ（1）/1，因此1在序列中。
3/phi（3）=3/2=sigma（2）/2，因此3在序列中。
8/φ（8）=2/1=σ（6）/6，因此8在序列中。
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MAPLE公司
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R： =NULL：计数：=0:V:={}：
当计数<100 do时，k从1开始
五： =V联合{数字理论：-sigma（k）/k}；
如果成员（k/numtheory:-phi（k），V），则R:=R，k；计数：=计数+1 fi；
日期：
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黄体脂酮素
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（PARI）lista（nn）=｛vs=矢量（nn，n，sigma（n）/n）；ve=矢量（nn，n，n/eulerphi（n））；vr=[]；对于（n=1，#ve，ven=ve[n]；对于（m=1，n，if（（vs[m]==ven），print1（n，“，”）；break）；）；｝
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 2, 7, 3, 3, 2, 15, 13, 3, 3, 7, 7, 3, 3, 31, 3, 13, 5, 7, 2, 3, 3, 15, 31, 7, 5, 7, 15, 3, 2, 7, 3, 3, 3, 91, 19, 15, 7, 15, 7, 3, 11, 7, 13, 3, 3, 31, 19, 31, 3, 7, 3, 15, 3, 15, 5, 15, 15, 7, 31, 3, 13, 127, 7, 3, 17, 7, 3, 3, 3, 65, 37, 19, 31, 35, 3, 7, 5, 31, 11, 7, 7, 7, 3, 33, 15, 15, 15, 13, 7, 7, 2, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（sn=σ（n））；sn/gcd（sn，eulerphi（sn））\\米歇尔·马库斯2017年11月23日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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