函数n的内射性乘以n的Euler Totient

Question

让$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$定义为

$$f（n）=n \varphi（n）$$

其中$\varphi（n）$是Euler Totient函数。

证明f是内射的。

Answer 1

$f$是一个乘法函数，这很有帮助。

假设$f（n_1）=f（n_2）$。设$p$是$n_1$的最大素因子（在$n_1=1$的情况下是微不足道的），并设$p^k$是$p$除以$n_1$s的最大幂。然后是$p^{2k-1}\mid f（n_1）$和$p^[2k}\nmid f“n_1”$。此外，$p$是$f（n_1）$的最大素因子。因此$p$也是$f（n_2）$的最大素因子，因此是$n_2$和$p^k\mid-n_2$，$p^{k+1}\nmid-n_2$。

因此，通过$f$的乘法性，我们还得到了

$$f\left（\frac{n1}{p^k}\right）=f\left（\frac{n2}{p*k}\right）$$

继续，在消除了$n_1$的所有主要因素之后，我们有

$$f（1）=f\左（\frac{n_2}{n_1}\右）$$

因此$\frac{n2}{n1}=1$，或$n2=n1$。