搜索： a002618-编号：a002618
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1, 1, 5, 6, 19, 5, 41, 24, 48, 19, 109, 30, 155, 41, 95, 96, 271, 48, 341, 114, 205, 109, 505, 120, 480, 155, 432, 246, 811, 95, 929, 384, 545, 271, 779, 288, 1331, 341, 775, 456, 1639, 205, 1805, 654, 912, 505, 2161, 480, 2016, 480, 1355, 930, 2755, 432
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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与g（x）=x*EulerPhi（x）的Moebius变换相同-贝诺伊特·克洛伊特2002年4月5日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=总和φ（d^2）*mu（n/d）。
与a（p）=p^2-p-1和a（p^e）=p*（2*e）-p^（2*e-1）-p^（2*e-2）+p^（2*e-3）相乘，e>1-弗拉德塔·乔沃维奇2001年7月29日
狄利克雷g.f.ζ（s-2）/（ζ（s）*ζ（s-1））-R.J.马塔尔2011年2月9日
和{k=1..n}a（k）~2*n^3/（Pi^2*Zeta（3））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月1日
求和{k>=1}1/a（k）=Product_{primes p}（1+1/（p^2-p-1）+p/（（p1）^3*（p+1）^2）=3.037448431566721466562170968413075105160439538735056586164601312913619316-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年9月20日
a（n）=Sum_{1<=i，j<=n}gcd（i，j，n）*moebius（gcd（i，j，n））=Summ_{d除以n}d*moebuis（d）*j_2（n/d），其中j_2是Jordan totient函数A007434号. -彼得·巴拉2024年1月21日
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例子
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对于n=20，除数={1,2,4,5,10,20}，φ（d^2）={1,2,8,20,40160}，μ（20/d）={0,1，-1,0}，a（20）=0+2-8+0-40+160=114。
a（20）=a（4）*a（5）=（16-8-4+2）*（25-5-1）=6*19=114。
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数学
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表[Sum[EulerPhi[d]*MoebiusMu[n/d]*d，{d，Divisors[n]}]，{n，1，50}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d*eulerphi（d）*moebius（n/d））
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交叉参考
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关键词
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非n,多重,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000010号
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| 欧拉指向函数phi（n）：计数<=n，素数为n。
（原名M0299 N0111）
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+10
3957
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1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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模数为n的约化残渣体系中元素的数量。
n阶循环群的不同生成元的数目。单位的本原n阶根的数目。（本原n次根x是这样的，当k=1，2，…，n-1，但x^n=1时，x^k不等于1。）-Lekraj Beedassy公司2005年3月31日
模n的复Dirichlet字符数；Sum_｛k=1..n｝a（k）渐近于（3/Pi^2）*n^2-史蒂文·芬奇2006年2月16日
a（n）是不可约多项式除以1+x+x^2+…+的最高阶x^（n-1）=（x^n-1）/（x-1）-亚历山大·阿达姆楚克，2006年9月2日，2006年09月27日更正
素数p的a（p）=p-1。当n>2时，a（n）是偶数。对于n>2，a（n）/2=A023022号（n） =将n划分为2个有序相对素部分的数量-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
a（n+2）等于长度为n的斯图尔曼回文单词的数量，这些单词是“双特殊”的，是两个长度为n+1的斯图尔曼单词的前缀或后缀-弗雷德·伦农2010年9月5日
假设a和n是互质正整数，那么根据欧拉的方向定理，n的任何因子都可以除以aφ（n）-1-雷舟（Lei Zhou）2012年2月28日
如果m有k个素因子（p_1，p_2，…，p_k），那么phi（m*n）=（Product_{i=1..k}phi（p_i*n））/phi（n）^（k-1）。例如，phi（42*n）=phi（2*n）*phi（3*n）*phi（7*n）/phi（n）^2-加里·德特利夫斯2012年4月21日
一个强可除序列，即所有正整数n和m的gcd（A（n），A（m））=A（gcd（n，m））-迈克尔·索莫斯2016年12月30日
a（n）等于Ramanujan和c_n（n）（第n行三角形的最后一项A054533号).
对于n>1，a（n）似乎等于n的半弯曲解的数量，顶部拱正好包含2个山脉和2个长度为1的拱-罗杰·福特2017年10月11日
a（n）是能够通过切割和投影生成衍射图案具有n倍旋转对称性的准晶格的晶格的最小尺寸。在n=15的情况下，第一个n>1的简单定义失败了：“a（n）是n重旋转对称晶格的最小维数”-菲利克斯·弗利克2017年11月8日
第一行按升序排列的n阶循环拉丁方数-爱德华·瓦图丁2020年11月1日
a（n）是有理数p/q>=0（以最低值表示）的数目，使得p+q=n-雷米·西格里斯特2021年1月17日
涉及a（n）和某些序列h（n）的Dirichlet卷积的许多OEIS条目的公式可以使用以下公式（n>=1）导出：
Sum_{d|n}phi（d）*h（n/d）=Sum_{k=1..n}h（gcd（n，k））[见P.h.van der Kamp链接]=Sum_{d|n}h（d）*phi（n/d）=Sum_{k=1..n}h（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））。同样，
求和{d|n}φ（d）*h（d）=求和{k=1..n}h（n/gcd（n，k））=求并{k=1..n}h。
一般来说，
求和{d|n}h（d）=求和{k=1..n}h。
特别是，对于涉及莫比乌斯变换的序列：
求和mu（d）*h（n/d）=求和{k=1..n}h（gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））/phi=A008683号.
使用gcd（n，k）*lcm（n，k）=n*k和phi（gcd（n，k））*phi（lcm（n，k））=phi（n）*phi（k）提供了进一步的变化。（结束）
产品_｛d|n｝f（n/d）^phi（d）=产品_｛k=1..n｝f（gcd（n，k））=产品_｛d|n｝f（d）^phi（n/d）=产品_｛k=1..n｝f（n/gcd（n，k））^（phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））），
产品{d|n}f（d）^phi（d）=产品{k=1..n}f，
产品{d|n}f（d）=产品{k=1..n}f，
产品{d|n}f（n/d）^mu（d）=产品{k=1..n}f=A008683号.（结束）
a（n+1）是具有n个不同子序列的二进制字的数量（当n>0时）-拉多斯瓦夫·扎克2021年11月29日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第840页。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第24页。
M.Baake和U.Grimm，《非周期秩序第1卷：数学邀请》，《数学及其应用百科全书》149，剑桥大学出版社，2013年：见表3.1和3.2。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第193页。
柯蒂斯，表征理论先驱。。。，阿默尔。数学。Soc.，1999年；见第3页。
J.-M.De Koninck和A.Mercier，《1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres》，椭圆，巴黎，2004年，Problème 529，第71-257页。
L.E.Dickson，《数论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第一卷第五章。
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卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss），《算术研究》，耶鲁大学出版社，1965年；见第21页。
罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《混凝土数学》。，2n-d版。；Addison-Wesley，1994年，第137页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第60、62、63、288、323、328、330页。
彼得·希尔顿（Peter Hilton）和让·佩德森（Jean Pedersen），《数学挂毯》（A Mathematical Tapestry），《展示数学的美丽统一》（Demonstrating the Beautiful Unity of Mathematics），剑桥大学出版社，第261-264页，Coach定理。
Jean-Marie Monier，《分析》，《演习更正》，2ème anneée MP，Dunod，1997年，演习3.2.21，第281-294页。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。系列55，第十次印刷，1972年。
Chris K.Caldwell，主要词汇表，欧拉φ函数
Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro，关于某些算术函数迭代的正规性《解析数论》，伯赫用户波士顿，1990年，第165-204页。
Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro，关于某些算术函数迭代的正规性《解析数论》，伯赫用户波士顿，1990年，第165-204页。[带A编号的注释副本]
凯文·福特，φ（x）的解数=m，arXiv:math/9907204[math.NT]，1999年。
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld，一些素数函数的近似公式伊利诺伊州J.数学。6（1962年），第1期，64-94。
K.施耐德，欧拉函数，PlanetMath.org。
Pinthira Tangsupphathawat、Takao Komatsu和Vichian Laohakosol，代数余弦值的极小多项式II，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.9.5条。
拉兹洛托斯，多变量乘法函数综述，arXiv预印本arXiv:1310.7053[math.NT]，2013。
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配方奶粉
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φ（n）=n*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p）。
和{d除以n}φ（d）=n。
phi（n）=Sum_{d除以n}mu（d）*n/d，即自然数的Moebius变换；mu（）=Moebius函数A008683号().
Dirichlet生成函数Sum_{n>=1}phi（n）/n^s=zeta（s-1）/zeta（s）。同时求和{n>=1}φ（n）*x^n/（1-x^n）=x/（1-x）^2。
与a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
求和{n>=1}（φ（n）*log（1-x^n）/n）=-x/（1-x）for-1<x<1（cf。A002088号) -亨利·博托姆利2001年11月16日
a（n）=二项式（n+1，2）-和{i=1..n-1}a（i）*楼层（n/i）（参见A000217号用于反转）-乔恩·佩里2004年3月2日
这是一个经典的结果（Landau，1909），lim-inf n/phi（n）=1（取n为素数），lim sup n/（phi（n。例如，见Ribenboim，第319-320页彼得·莫雷，2004年9月10日
a（n）=Sum_{i=1..n}|k（n，i）|其中k（n、i）是Kronecker符号。还有a（n）=n-#{1<=i<=n:k（n，i）=0}-贝诺伊特·克洛伊特，2004年8月6日[修订人宋嘉宁2018年9月25日]
猜想：和{i>=2}（-1）^i/（i*phi（i））存在，约为0.558(A335319飞机). - Orges Leka（奥列卡（AT）学生，uni-mainz.de），2004年12月23日
a（n）=总和{i=1..n}层（sigma_k（i*n）/sigma_k（i）*sigma_ k（n）），其中sigma_2是A001157号.
a（n）=和{i=1..n}层（tau_k（i*n）/tau_k（i）*tau_k（n）），其中tau_3为A007425号.
a（n）=总和{i=1..n}楼层（rad（i*n）/rad（i）*rad（n）），其中rad为A007947号.（结束）
φ（p*n）=φ（n）*（floor（（n+p-1）mod p）/（p-1））+p-1，对于素数p-加里·德特利夫斯2012年4月21日
猜想：当n>1时，a（n）=Sum_{a=1..n}Sum__{b=1..n{Sum_}c=1..n*1。总和大于a，b，c，因此n*c-a*b=1-本尼迪克特·欧文2017年4月3日
a（n）=求和{j=1..n}gcd（j，n）cos（2*Pi*j/n）=求和{j=1..n}gcd（j，n）exp（2*Pi*i*j/n），其中i是虚单位。注意Ramanujan的和c_n（k）：=sum_{j=1.n，gcd（j，n）=1}exp（2*Pi*i*j*k/n）给出了a（n）=sum_{k|n}k*c（n/k）（1）=sum_{k|n}k*mu（n/k）-迈克尔·索莫斯，2018年5月13日
G.f.:x*d/dx（x*d/dx（log（Product_{k>=1}（1-x^k）^（-mu（k）/k^2））），其中mu（n）=A008683号（n） ●●●●-马穆卡·吉卜拉泽2018年9月20日
G.f.A（x）满足（x）=x/（1-x）^2-Sum_{k>=2}A（x^k）-伊利亚·古特科夫斯基，2019年9月6日
a（n）>n/（exp（gamma）*log（log（n）））+5/（2*log-雨果·普费尔特纳2020年6月2日
和{n>=1}1/a（n）^k是收敛的，如果k>1。
a（2n）=a（n）iffn是奇数，a（2n）>a（n。（结束）[实际上，对于偶数n，a（2n）=2*a（n）-宋嘉宁2022年9月18日]
对于n>1，求和{k=1..n}φ^{（-1）}（n/gcd（n，k=A023900号.
当n>1时，求和{k=1..n}a（gcd（n，k））*mu（rad（n（k）））*rad（gcd。
对于n>1，求和{k=1..n}a（gcd（n，k））*mu（rad（n/gcd（n，k）。
求和{k=1..n}a（gcd（n，k））/a（n/gcd（n，k））=n（结束）
a（n）=Sum_{d|n，e|n}gcd（d，e）*mobius（n/d）*mobilus（n/e）（总和是n乘以Tóth的乘法函数，取n=p^e的素数幂p^e-p^（e-1））-彼得·巴拉2024年1月22日
和{n>=1}φ（n）*x^n/（1+x^n）=x+3*x^3+5*x^5+7*x^7+…=和{n>=1}φ（2*n-1）*x^（2*n-1）/（1-x^。关于第一个等式，见Pólya和Szegő，问题71，第126页-彼得·巴拉，2024年2月29日
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例子
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G.f.=x+x ^2+2*x ^3+2*x ^4+4*x ^5+2*x^6+6*x ^7+4*x^8+6*x^9+4*x ^10+。。。
a（8）=4，{1,3,5,7}单位模为8。a（10）=4，{1,3,7,9}单位模为10-迈克尔·索莫斯2013年8月27日
第一行按升序排列的a（5）=4循环拉丁方为：
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3
2 3 4 0 1 4 0 1 2 3 1 2 3 4 0 3 4 0 1 2
3 4 0 1 2 1 2 3 4 0 4 0 1 2 3 2 3 4 0 1
4 0 1 2 3 3 4 0 1 2 2 3 4 0 1 1 2 3 4 0
（结束）
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A000010号：=φ；[seq（phi（n），n=1..100）]；#版本1
使用（数字理论）：phi:=proc（n）局部i，t1，t2；t1:=系数（n）[2]；t2：=n*mul（（1-1/t1[i][1]），i=1..nops（t1））；结束；#版本2
#无库功能的替代方案：
A000010列表：=proc（N）local i，j，phi；
φ：=数组（[seq（i，i=1..N+1）]）；
对于i从2到N+1 do
如果φ[i]=i，则
从i到N+1 do的j
φ[j]：=φ[j]-iquo（phi[j]，i）od
光纤；
返回phi结束：
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数学
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数组[EulerPhi，70]
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黄体脂酮素
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（公理）[eulerPhi（n）代表1..100]
（岩浆）[EulerPhi（n）：n in[1..100]]；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，eulerphi（n））}/*迈克尔·索莫斯2011年2月5日*/
（鼠尾草）
#euler_phi是Sage中的标准函数。
定义A000010号_list（n）：return[euler_phi（i）for i in range（1，n+1）]
（PARI）{表示（n=1100000，写（“b000010.txt”，n，“”，eulerphi（n））；}\\哈里·史密斯，2009年4月26日
（Sage）[范围（1,70）中n的euler_phi（n）]#零入侵拉霍斯，2009年6月6日
（Maxima）标记列表（totiten（n），n，0，1000）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月26日*/
（Haskell）a n=长度（过滤器（==1）（映射（gcd n）[1..n]））--艾伦·C·韦克斯勒2014年12月29日
（Python）
从理论意义到实践意义
打印（[范围（1,70）中i的totiten（i）]）#因德拉尼尔·戈什2017年3月17日
（Julia）#计算序列的前N项。
函数A000010List（N）
φ=[i代表1中的i：N+1]
对于2:N+1中的i
如果φ[i]==i
对于i:i:N+1中的j
φ[j]-=div（φ[j]，i）
端-端-端
返回φ端
println（A000010列表（68））#彼得·卢什尼2023年9月3日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A023896美元
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| 最小正降余系统中的正整数之和，按惯例取模n。a（1）=1。 |
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+10
91
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1, 1, 3, 4, 10, 6, 21, 16, 27, 20, 55, 24, 78, 42, 60, 64, 136, 54, 171, 80, 126, 110, 253, 96, 250, 156, 243, 168, 406, 120, 465, 256, 330, 272, 420, 216, 666, 342, 468, 320, 820, 252, 903, 440, 540, 506, 1081, 384, 1029, 500, 816, 624, 1378, 486, 1100, 672
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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n的总和，即n到n的整数和n的互素之和。
a（1）=1，因为1是任何正整数的互质。
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参考文献
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链接
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约翰·鲍姆，数字理论和《数学杂志》55.2（1982）：111-113。
David Zmiaikou，折纸和排列组，论文，2011年。见第65页。
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配方奶粉
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a（n）=φ（n^2）/2=n*φ（n）/2=A002618号（n） /2如果n>1，a（1）=1。有关此练习，请参见Apostol参考。
a（n）=Sum_{1<=k<n，gcd（k，n）=1}k。
如果m，n>1且gcd（m，n）=1，则a（m*n）=2*a（m）*a（n）-托马斯·奥多夫斯基2014年11月9日
G.f.A.（x）满足A（x）=x/（1-x）^3-Sum_{k>=2}k*A（x^k）-伊利亚·古特科夫斯基，2019年9月6日
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例子
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G.f.=x+x^2+3*x^3+4*x^4+10*x^5+6*x^6+21*x^7+16*x^8+27*x^9+。。。
a（12）=1+5+7+11=24。
n=40：模40最小的正约化剩余系为{1，3，7，9，11，13，17，19，21，23，27，29，31，33，37，39}。总和是a（40）=320。平均为20。
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MAPLE公司
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如果n=1，则
1;
其他的
n*数值理论[φ]（n）/2；
结束条件：；
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数学
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a[n_]=n/2*EulerPhi[n]；a[1]=1；表[a[n]，{n，56}]
a[n_]：=如果[n<2，Boole[n==1]，和[k Boole[1==GCD[n，k]]，{k，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>0，n*eulerphi（n）/2）}；
（哈斯克尔）
（岩浆）[1]cat[n*EulerPhi（n）/2:n in[2..70]]//文森佐·利班迪2015年5月16日
（Python）
从同情导入到同情
（SageMath）
定义A023896美元（n） ：如果n==1，则返回1，否则n*euler_phi（n）//2
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, 306, 702, 380, 840, 672, 792, 552, 1440, 775, 1092, 1080, 1568, 870, 2160, 992, 2016, 1584, 1836, 1680, 3276, 1406, 2280, 2184, 3600, 1722, 4032, 1892, 3696, 3510, 3312, 2256, 5952
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan的θ函数理论，θ函数：从古典到现代，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1993年，第1-63页。MR 94m:11054。见第43页。
G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二场讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第166-167页。
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链接
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Passawan Noppakaew和Prapanpong Pongsriam，一些多项式与算术函数的乘积，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.9.1条。
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配方奶粉
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与a（p^e）相乘=p^e*（p^（e+1）-1）/（p-1）。
通用公式：和{n>0}n^2*x^n/（1-x^n）^2-弗拉德塔·乔沃维奇，2002年10月27日
G.f.：phi_{2，1}（x）其中phi_{r，s}（x）=和{n，m>0}m^r*n^s*x^{m*n}-迈克尔·索莫斯，2003年4月2日
G.f.也是（Q-P^2）/288，其中P，Q是Ramanujan Lambert级数-迈克尔·索莫斯2003年4月2日。参见Hardy参考文献，第136页，等式（10.5.4）（带证明）。关于Q和P、（10.5.6）和（10.5.5），见E_4A004009号和E_2A006352号分别为-沃尔夫迪特·朗2017年1月30日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*zeta（s-2）-R.J.马塔尔2011年2月16日
L.g.f.：和{k>=1}k*x^k/（1-x^k）=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月13日
求和{k>=1}1/a（k）=1.43838992593341878327654586317835912516578562765374838768-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年9月20日
G.f.：求和{n>=1}n*q^n*（1+q^n）/（1-q^n。
一个更快收敛的g.f.：求和{n>=1}q^（n^2）*（n^3*q^。（结束）
a（n）=和{k=1..n}σ_2（gcd（n，k））。
a（n）=总和{k=1..n}σ_2（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=和{1<=j，k<=n}σ_1（gcd（j，k，n））。
a（n）=Sum_{d除以n}sigma_1（d）*J_2（n/d）=Summ_{d除n}sigma_2（d）*phi（n/d），其中Jordan指向函数J_2（n）=A007434号（n） ●●●●。（结束）
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MAPLE公司
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其中（numtheory）：[n*sigma（n）$n=1..50]#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年1月1日
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数学
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#Divisor Sigma[1，#]和/@范围[80](*哈维·P·戴尔2011年3月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，n*σ（n））}
（PARI）{对于（n=11000，写入（“b064987.txt”，n，“”，n*sigma（n））}\\哈里·史密斯2009年10月2日
（MuPAD）编号：：sigma（n）*n$n=1.81//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（哈斯克尔）
（Magma）[n*SumOfDivisors（n）：n在[1.70]中]//文森佐·利班迪2019年1月1日
（GAP）a:=列表（[1..50]，n->n*Sigma（n））；；打印（a）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年1月1日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000203号,A038040型,A002618号,A000010号,A001157号,A143308号,A143311号,A004009号,A006352号,A000594号,A126832号,A069097号（莫比乌斯变换），A001001号（反向莫比乌斯变换），A237593型,A244580型.
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关键词
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多重,非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A057660号
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| a（n）=Sum_{k=1..n}n/gcd（n，k）。 |
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+10
58
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1, 3, 7, 11, 21, 21, 43, 43, 61, 63, 111, 77, 157, 129, 147, 171, 273, 183, 343, 231, 301, 333, 507, 301, 521, 471, 547, 473, 813, 441, 931, 683, 777, 819, 903, 671, 1333, 1029, 1099, 903, 1641, 903, 1807, 1221, 1281, 1521, 2163, 1197, 2101, 1563, 1911, 1727
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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还有n个元素的循环群中元素的阶数之和，即A054531号.-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年3月31日
序列是用a（p^e）=（p^（2*e+1）+1）/（p+1）乘法的。例如：a（10）=a（2）*a（5）=3*21=63。
a（n）是使方程ax=b在环（Zn，+，x）中可解的对数（a，b）。请参阅数学反思链接-米歇尔·马库斯2017年1月7日
这些是平方整数（包括1和平方整数本身）的不适当除数的“反调和平均数”。
允许将“反调和因子数”类似于伊斯坦-奥雷的调和因子数进行定义，唯一存在整数反调和因子平均数的数字是平方数，a（n）是第n个整数反调和平均数，也可以表示为n^2除数的平方和除以n^2的除数之和。也就是说，a（n）=σ_2（n^2）/σ_2。
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参考文献
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David M.Burton，《初等数论》，Allyn and Bacon Inc.，马萨诸塞州波士顿，1976年，第152页。
H.W.Gould和Temba Shonhiwa，GCD和LCM的功能，印度数学杂志。（阿拉哈巴德），第39卷，第1期（1997年），第11-35页。
H.W.Gould和Temba Shonhiwa，Cesaro函数和其他结果的推广，印度数学杂志。（阿拉哈巴德），第39卷，第2期（1997年），第183-194页。
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链接
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Habib Amiri和S.M.Jafarian Amiri，相同阶的有限群上的元素阶和，J.代数应用。10（2011），第2期，187--190。MR2795731（2012d:20050）
Habib Amiri、S.M.Jafarian Amiri和I.M.Isaacs，有限群中的元素阶和《公共代数》37（2009），第9期，2978--2980。MR2554185（2010i:20022）
米丽亚姆·马哈纳·埃尔·法拉赫（Miriam Mahannah El-Farrah），循环群的期望数，西肯塔基大学硕士论文，2015年8月。
史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年，第154-5页。
Walther Janous，问题10829，美国。数学。《月刊》，107（2000），第753页。
亚多拉·马雷法特（Yadollah Marefat）、阿里·伊兰曼内什（Ali Iranmanesh）和阿布法兹·德黑兰（Abolfazl Tehranian），关于有限单群的元素阶和《代数应用》，12（2013），#1350026。
Joachim von zur Gathern、Arnold Knopfmacher、Florian Luca、Lutz G.Lucht和Igor E.Shparlinski，循环群的平均阶，J.Théorie Nombres Bordeaux波尔多葡萄酒16（1）（2004）107-123。
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配方奶粉
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a（n）=和{d|n}d*A000010号（d） =和{d|n}d*A054522号（n，d），n的所有除数d的d乘以phi（d）之和，其中phi是Euler的phi函数。
a（n）<=（n-1）*n+1，等式当且仅当n为非命题-丹尼尔·福格斯2013年4月30日
通用公式：和{n>=1}n*phi（n）*x^n/（1-x^n）=x+3*x^2+7*x^3+11*x^4+。。。。Dirichlet g.f.：总和{n>=1}a（n）/n^s=zeta（s）*zeta（s-2）/zeta（s1），对于Re s>3。囊性纤维变性。A078747号和1967年1月. -彼得·巴拉2013年12月30日
L.g.f.：-log（产品{k>=1}（1-x^k）^phi（k））=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2018年5月21日
a（n）=和{k=1..n}lcm（n，k）/k。
a（n）=和{k=1..n}gcd（n，k）*φ（gcd（n，k））/φ（n/gcd（n，k））。（结束）
求和{k=1..n}a（k）/k~3*zeta（3）*n^2/Pi^2。
求和{k=1..n}a（k）~2*zeta（3）*n^3/Pi^2-瓦茨拉夫·科特索维奇，2023年6月10日
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数学
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表[DivisorSigma[2，n^2]/DivisorSigma[1，n|2]，{n，1，128}]
表[总计[分母[范围[n]/n]]，{n，55}](*阿隆索·德尔·阿特2011年10月7日*）
f[p_，e_]：=（p^（2*e+1）+1）/（p+1）；a[n_]：=次数@@（f@@@FactorInteger[n]）；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d*eulerphi（d）））
（哈斯克尔）
a057660 n=总和$map（div n）$a050873_row n
（Python）
从数学导入gcd
定义A057660号（n） ：返回范围（1，n+1）中k的总和（n//gcd（n，k））#柴华武2023年8月24日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000010号,A000203号,A000290型,A001157号,A018804号,A050873号,A051193号,A054522号,A057661美元,A061255号,A065764号,A078747号,A174405号（部分金额），A176797号,A226512型.
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关键词
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容易的,美好的,非n,多重
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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2, 6, 20, 42, 110, 156, 272, 342, 506, 812, 930, 1332, 1640, 1806, 2162, 2756, 3422, 3660, 4422, 4970, 5256, 6162, 6806, 7832, 9312, 10100, 10506, 11342, 11772, 12656, 16002, 17030, 18632, 19182, 22052, 22650, 24492, 26406, 27722, 29756, 31862, 32580, 36290, 37056, 38612, 39402, 44310
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）=素数（n）*（素数（n）-1）。
a（n）=素数（n）！mod（素数（n）^2）-J.M.贝尔戈2014年4月10日
乘积{n>=1}（1+1/a（n））=zeta（2）*zeta（3）/zeta（6）(A082695美元).
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例子
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2*1, 3*2, 5*4, 7*6, 11*10, 13*12, 17*16, ...
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MAPLE公司
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数学
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表[Prime[n]EulerPhi[Prime[n]]，｛n，100｝](*阿图尔·贾辛斯基2008年1月23日*）
表[素数[n]（素数[n]-1），{n，1，50}](*布鲁诺·贝塞利2014年4月22日*）
#（#1）和/@最高级[范围[50]](*哈维·P·戴尔2019年9月8日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*（n-1）：PrimesUpTo（220）中的n]//布鲁诺·贝塞利2011年4月11日
（PARI）表示质数（p=2，1e3，print1（p^2-p“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日
（哈斯克尔）
a036689 n=a036689_列表！！（n-1）
a036689_list=zipWith（*）a000040_list$map pred a000040-list
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A001248号,A002618号,A005596号,A053650美元,A053192号,A053193号,A053650型,A082695美元,117495年,A136141号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 18, 32, 100, 72, 294, 256, 486, 400, 1210, 576, 2028, 1176, 1800, 2048, 4624, 1944, 6498, 3200, 5292, 4840, 11638, 4608, 12500, 8112, 13122, 9408, 23548, 7200, 28830, 16384, 21780, 18496, 29400, 15552, 49284, 25992, 36504, 25600, 67240
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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Z（n）上可逆2X2对称矩阵的个数-T.D.诺伊2006年1月13日
请注意A115077号给出了行列式非零的2X2对称矩阵的个数。然而，对于复合n，非零行列式不足以使矩阵可逆；行列式也必须相对n是素数-T.D.诺伊2006年1月13日
也是n^3的Euler phi函数。
对于n^k，EulerPhi（n^k）=n^（k-1）*EulerPi（n）。如果将Phi替换为共动函数，情况也是如此。
此外，群GL（2，Z_n）（序列）的不可约表示的次数之和A000252号). - 沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年2月6日
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链接
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配方奶粉
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Dirichlet g.f.：zeta（s-3）/zeta（s-2）-R.J.马塔尔2011年2月9日
和{n>=1}1/a（n）=Product_{p素数}（1+p/（p^4-p^3-p+1））=1.38097852211302096879-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月6日
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例子
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n=5:n^3=125，EulerPhi（125）=125-25=100。
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MAPLE公司
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（数值理论）：a：=n->phi（n^3）：seq（a（n），n=1..41）#零入侵拉霍斯，2007年10月7日
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数学
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表[cnt=0；Do[m={a，b}，{b，c}}；如果[Det[m，模->n]>0&&MatrixQ[Inverse[m，模数->n]]，cnt++]，{a，0，n-1}，}；碳纳米管{n，2，50}](*T.D.诺伊2006年1月13日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[n^2*euler_phi（n）代表范围（1，42）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月6日
（岩浆）[1..100]]中的[n^2*EulerPhi（n）：n//文森佐·利班迪2011年4月21日
（PARI）a（n）=n^2*eulerphi（n）\\米歇尔·马库斯2017年10月31日
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 4, 4, 16, 4, 36, 16, 36, 16, 100, 16, 144, 36, 64, 64, 256, 36, 324, 64, 144, 100, 484, 64, 400, 144, 324, 144, 784, 64, 900, 256, 400, 256, 576, 144, 1296, 324, 576, 256, 1600, 144, 1764, 400, 576, 484, 2116, 256, 1764, 400, 1024, 576, 2704, 324, 1600
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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从[1，2，…，n]到自身的形式为j|-->m*j+d且gcd（m，n）=1和gcd（d，n）=1的映射数-乔格·阿恩特2014年8月29日
a（n）是gcd（xy，n）=1在[0，n-1]中x，y的解的数目。
设Z_n是取n为模的整数环，则a（n）是判别式d=1的环Z_n[x]/（x^2-x）（或等效地，Z_n[x]/（x^2+x））中可逆元素的数量（即，a（n）是群G（n）=（Z_n[x]/（x^2-x））*的大小）。实际上，G（n）与（Z_n）*X（Z_n）*同构。（结束）
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链接
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配方奶粉
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与a（p^e）=（p-1）^2*p^（2e-2）相乘，e>=1。Dirichlet g.f.zeta（s-2）*乘积{素数p}（1-2/p^（s-1）+1/p^s）-R.J.马塔尔2011年4月4日
Sum_｛k=1..n｝a（k）~c*n^3，其中c=（1/3）*Product_｛p prime｝（1-（2*p-1）/p^3）=A065464号/ 3 = 0.142749... . -阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月25日
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例子
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a（5）=16，因为φ（5）=4。
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（EulerPhi（n））^2:n in[1..180]]//文森佐·利班迪2011年4月4日
（PARI）a（n）=eulerphi（n）^2\\米歇尔·马库斯2018年10月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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状态
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经核准的
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A002619号
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| n X n板上的2色图案数。
（原名M0887 N0336）
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+10
15
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1, 1, 2, 3, 8, 24, 108, 640, 4492, 36336, 329900, 3326788, 36846288, 444790512, 5811886656, 81729688428, 1230752346368, 19760413251956, 336967037143596, 6082255029733168, 115852476579940152, 2322315553428424200, 48869596859895986108
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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在元素的循环排列下，循环排列（直到旋转）集合中的轨道数-迈克尔·斯泰尔2001年10月6日
Moser证明了（1/n^2）*Sum_{d|n}k^d*phi（n/d）^2*（n/d）^d*d！是一个整数。这里我们有k=1-米歇尔·马库斯2012年11月2日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
J.E.A.Steggall，关于可从某些元素导出的图案数量，Mess。数学。，37 (1907), 56-61.
K.Yordzhev，关于对称群中因子集的基数。亚欧数学杂志，第7卷，第2期（2014）1450027，doi:10.1142/S1793557114500272，ISSN:1793-5571，E-ISSN:1973-7183，Zbl 1298.05035。
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链接
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安德拉斯·斯齐拉，威尔逊定理的组合推广《澳大利亚组合数学杂志》，第49卷（2011年），第265-272页。见定理3.c第269页。
J.E.A.Steggall，关于可以从某些元素导出的模式数、Mess。数学。，第37页（1907年），第56-61页。[带注释的扫描副本。请注意，扫描的页面顺序不正确]
赛义德·扎克里，循环置换：度和组合类型，arXiv:1909.03300[math.DS]，2019年。见第10页的表2。
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配方奶粉
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a（n）=和{k|n}u（n，k）/（nk），其中u（n、k）=A047918号（n，k）。
设A（n，k）=（1/n^2）*Sum_{d|n}k^d*phi（n/d）^2*（n.d）^d*d！，然后：
A（n，k）=（1/n^2）*Sum_{i=1..n}k^gcd（n，i）*phi（n/gcd（n，i））*（n/gcad（n，l））^gcd！。
A（n，k）=（1/n^2）*Sum_{i=1..n}k^（n/gcd（n，i））*phi（gcd（n，i））^2*（gcd，i）^！。
a（n）=a（n，1）。（结束）
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例子
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n=6:{（123456）}、{（135462）、（246513）、（351624）}和{（124635）、（235146）、（346251）、（451362）、、（562413）和（613524）}是24个轨道中的3个，分别由1、3和6个排列组成。
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MAPLE公司
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with（numtheory）：a：=proc（n）local div:div：=除数（n）：sum（phi（div[j]）^2*（n/div[j]）*div[j]^（n/div[j]），j=1..tau（n））/n^2结束：seq（a（n），n=1..23）#Emeric Deutsch公司，2005年8月23日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）^2*d！*（n/d）^d）/n^2}\\安德鲁·霍罗伊德2018年9月9日
（Python）
从sympy导入到第三、阶乘、除数
定义A002619号（n） ：返回和（totient（m:=n//d）**2*阶乘（d）*m**d for d in divisors（n，generator=True））//n**2#柴华武2022年11月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A065484号
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| 乘积{p素数>=2}的十进制展开式（1+p/（（p-1）^2*（p+1）））。 |
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+10
15
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2, 2, 0, 3, 8, 5, 6, 5, 9, 6, 4, 3, 7, 8, 5, 9, 7, 8, 7, 8, 7, 2, 8, 2, 8, 3, 1, 6, 4, 8, 0, 0, 8, 9, 6, 6, 2, 5, 6, 7, 1, 7, 3, 1, 9, 3, 7, 8, 7, 8, 5, 8, 6, 3, 4, 1, 7, 0, 4, 9, 5, 5, 4, 4, 8, 7, 1, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 1, 1, 8, 5, 2, 6, 9, 5, 4, 9, 7, 5, 7, 2, 6, 6, 0, 4, 1, 9, 0, 1, 3, 9, 5, 6
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年，第86页。
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配方奶粉
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也定义为：Sum_｛m>=1｝1/（m*A000010号（m） ）。请参阅Weisstein链接。
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例子
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2.203856596437859787872828316480...
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数学
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$MaxExtraPrecision=500；数字=99；术语=500；P[n]：=PrimeZetaP[n]；
LR=联接[{0，0，0}，线性递归[{2，-1，1}，{3，4，5，3}，术语+10]]；r[n_Integer]：=LR[[n]]；（Pi^2/6）*Exp[NSum[r[n]*P[n-1]/（n-1），{n，3，terms}，NSumTerms->terms，WorkingPrecision->digits+10]]//实际数字[#，10，digits]和//第一个(*Jean-François Alcover公司2016年4月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）prodeulerrat（1+p/（（p-1）^2*（p+1））\\雨果·普费尔特纳2020年6月2日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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