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5维金字塔数：a（n）=n*（n+1）*（n+2）*（n+3）*（2n+3）/5！。
（原M4387）
+10
41
1, 7, 27, 77, 182, 378, 714, 1254, 2079, 3289, 5005, 7371, 10556, 14756, 20196, 27132, 35853, 46683, 59983, 76153, 95634, 118910, 146510, 179010, 217035, 261261, 312417, 371287, 438712, 515592, 602888, 701624, 812889, 937839, 1077699, 1233765, 1407406
评论
p^k将素数p>5和整数k>0除以a（p^k-3）、a（p*k-2）、a。p^k将a（（p^k-3）/2）除以素数p>5和整数k>0-亚历山大·阿达姆楚克2007年5月8日
如果2集Y和（n-3）集Z是n集X的不相交子集，则（n-5）是与Y和Z相交的X的6个子集的数目-米兰Janjic2007年9月8日
5维平方数，[1,2,0,0,0，…]二项式变换的第四部分和。a（n）=和{i=0..n}二项式（n+4，i+4）*b（i），其中b（iBorislav St.Borisov（b.St.Borisov（AT）abv.bg），2009年3月5日
（1，6，14，16，9，2，0，0，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月28日
2*a（n）是将4个皇后放置在（n+3）X（n+3）棋盘上，使其对角攻击6次的方法。对于k=4个皇后，只有当所有皇后都在同一对角线上时，才能实现最大可能攻击数p=二项式（k，2）=6。在图形理论表示中，它们因此形成了相应的完整图形-Antal Pinter公司2015年12月27日
调整偏移时，添加A000389号找到系列中的下一个A000389号,A005585号,A051836号,A034263号,A027800型,A051843号,A051877号,A051878美元,A051879号,A051880型,A056118美元,A271567型（请参见布鲁诺·贝塞利中的评论A271567型.) -布鲁斯·尼克尔森，2018年6月21日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第797页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
配方奶粉
通用格式：x*（1+x）/（1-x）^6。
a（n）=2*C（n+4,5）-C（n+3,4）-保罗·巴里2003年3月4日
a（n）=C（n+3,5）+C（n+4,5）-保罗·巴里2003年3月17日
a（n）=C（n+2，6）-C（n，6），n>=4-零入侵拉霍斯2006年7月21日
a（n）=和{k=1..n}T（k）*T（k+1）/3，其中T（n）=n（n+1）/2是三角形数-亚历山大·阿达姆楚克2007年5月8日
a（n-1）=（1/4）*Sum_{1<=x_1，x_2<=n}|x_1*x_2*det V（x_1、x_2）|=（1/4。的第一个差异A040977号. -彼得·巴拉，2007年9月21日
a（n）=C（n+4.4）+2*C（n/4.5）Borislav St.Borisov（b.St.Borisov（AT）abv.bg），2009年3月5日
a（n）=6*a（n-1）-15*a（n-2）+20*a（n3）-15*a（n-4）+6*a（-n5）-a（n-6），a（1）=1，a（2）=7，a（3）=27，a（4）=77，a（5）=182，a（6）=378-哈维·P·戴尔2011年10月4日
a（n）=（1/6）*Sum_{i=1..n+1}（i*Sum_{k=1..i}（i-1）*k）-韦斯利·伊万·赫特2014年11月19日
例如：x*（2*x^4+35*x^3+180*x^2+300*x+120）*exp（x）/120-罗伯特·伊斯雷尔2014年11月19日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-3-n）-迈克尔·索莫斯，2018年6月24日
Sum_｛n>=1｝1/a（n）=40*（16*log（2）-11）/3。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=20*（8*Pi-25）/3。（结束）
a（n）=求和{i=0..n+1}求和{j=i..n+1}i*j*（j-i）/2-达里奥·克拉维乔2023年10月11日
例子
G.f.=x+7*x ^2+27*x ^3+77*x ^4+182*x ^5+378*x ^6+714*x ^7+1254*x ^8+-迈克尔·索莫斯，2018年6月24日
MAPLE公司
[seq（二项式（n+2，6）-二项式（n，6），n=4..45）]#零入侵拉霍斯2006年7月21日
数学
使用[{c=5！}，表[n（n+1）（n+2）（n+3）（2n+3”）/c，{n，40}]]（*或*）线性递归[{6，-15，20，-15、6，-1}，{1，7，27，77，182，378}，40](*哈维·P·戴尔2011年10月4日*）
系数列表[级数[（1+x）/（1-x）^6，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2013年6月9日*）
黄体脂酮素
（岩浆）I：=[1、7、27、77、182、378]；[n le 6 select I[n]else 6*Self（n-1）-15*Self//文森佐·利班迪，2013年6月9日
交叉参考
a（n）=（（-1）^（n+1））*A053120号（2*n+3,5）/16，（切比雪夫T三角形第六个无符号列的1/16，省略零）。
a（n）=2*二项式（n，4）。
（原名N0778）
+10
27
0, 0, 0, 0, 2, 10, 30, 70, 140, 252, 420, 660, 990, 1430, 2002, 2730, 3640, 4760, 6120, 7752, 9690, 11970, 14630, 17710, 21252, 25300, 29900, 35100, 40950, 47502, 54810, 62930, 71920, 81840, 92752, 104720, 117810, 132090, 147630, 164502, 182780
评论
还有将两对括号插入n-4个字母的字符串中的方法（允许空括号对）。例如，两个字母有30种方式。囊性纤维变性。A002415号.
2,10,30,70, ... 给出了完整图K_n的果园交叉数-拉尔夫·斯蒂芬2003年3月28日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=4，a（n-1）是X的4个子集和5个子集的数量，它们正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
当围绕圆的n个点中的每个点通过直线与其他点相连时，非相交线对的数量。如果一对直线在圆的内部或边界上都不相交，则认为这对直线是不相交的-梅尔文·佩拉尔塔2016年2月5日
参考文献
查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西出版社，1965年，第449页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
链接
Elie Feder和David Garber，抽象图的Orchard交叉数，arXiv:math/0303317[math.CO]，2003-2009。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
配方奶粉
总尺寸：2*x^4/（1-x）^5-科林·巴克2012年2月29日
a（n）=和{k=1..n-3}（和{i=1..k}i*（2*k-n+4））-韦斯利·伊万·赫特2013年9月26日
和{n>=4}1/a（n）=2/3。
和{n>=4}（-1）^n/a（n）=16*log（2）-32/3。（结束）
MAPLE公司
[seq（二项式（n，4）*2，n=0..40）]#零入侵拉霍斯2006年7月18日
数学
系数列表[级数[2 x ^4/（1-x）^5，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪，2013年10月20日*）
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{0，0，0、2}，50](*哈维·P·戴尔2016年6月9日*）
表[2二项式[n，4]，{n，0，40}](*布鲁诺·贝塞利2016年10月24日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[2*二项式（n，4）：[0..40]]中的n//文森佐·利班迪2013年10月20日
1, 6, 1, 6, 7, 1, 6, 13, 8, 1, 6, 19, 21, 9, 1, 6, 25, 40, 30, 10, 1, 6, 31, 65, 70, 40, 11, 1, 6, 37, 96, 135, 110, 51, 12, 1, 6, 43, 133, 231, 245, 161, 63, 13, 1, 6, 49, 176, 364, 476, 406, 224, 76, 14, 1, 6, 55, 225, 540, 840, 882, 630, 300, 90, 15, 1, 6, 61, 280, 765, 1380
评论
这是Riordan三角形的一个示例（请参见A093560号评论和A053121号以获取评论和1991年Shapiro等人关于Riordan集团的参考）。因此，行多项式p（n，x）：=Sum_{m=0.n}a（n，m）*x^m的o.g.f是g（z，x）=（1+5*z）/（1-（1+x）*z）。
SW-NE对角线给出A022096型（n-1）=Sum_{k=0..上限（n-1，/2）}a（n-1-k，k），n>=1，n=0值5。观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。
参考文献
Kurt Hawlitschek、Johann Faulhaber 1580-1635、Veroeffentlichung der Stadtbibliothek Ulm、Band 18、Ulm，德国，1995年，第2.1.4章。菲格利特·扎伦（Figurierte Zahlen）。
Ivo Schneider：约翰·福尔哈伯（Johannes Faulhaber），1580-1635年，伯赫用户，巴塞尔，波士顿，柏林，1993年，第5章，第109-122页。
配方奶粉
a（n，m）=F（6；n-m，m），对于0<=m<=n，否则为0，如果n>=1，F（6，n，0）=1，如果F（6；n，m。
递归：如果m>n，a（0，0）=1，a（n，m）=0；如果n>=1，a（n，0）=6；a（n，m）=a（n-1，m）+a（n-1，m-1）。
G.f.列m（无前导零）：（1+5*x）/（1-x）^（m+1），m>=0。
T（n，k）=C（n，k）+5*C（n-1，k）-菲利普·德尔汉姆2005年8月28日
exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（6+13*x+8*x^2/2！+x^3/3！）=6+19*x+40*x^2！+70*x^3/3！+110*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍-彼得·巴拉2014年12月22日
例子
三角形开始
1;
6, 1;
6, 7, 1;
6, 13, 8, 1;
6, 19, 21, 9, 1;
6, 25, 40, 30, 10, 1;
...
数学
lim=11；s=级数[（1+5*x）/（1-x）^（m+1），{x，0，lim}]；t=表[系数列表[s，x]，{m，0，lim}]；扁平[表[t[[j-k+1，k]]，{j，lim+1}，{k，j，1，-1}]](*Jean-François Alcover公司，2011年9月16日，g.f.*之后）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a093563 n k=a093563_tabl！！不！！k
a093563_row n=a093563 _ tabl！！n个
a093563_tabl=[1]：迭代
（\row->zipWith（+）（[0]++行）（行++[0]））[6，1]
交叉参考
行总和：A005009号（n-1），n>=1，1表示n=0，交替行和为1表示n=0.，5表示n=2，其他为0。
1, 12, 63, 224, 630, 1512, 3234, 6336, 11583, 20020, 33033, 52416, 80444, 119952, 174420, 248064, 345933, 474012, 639331, 850080, 1115730, 1447160, 1856790, 2358720, 2968875, 3705156, 4587597, 5638528, 6882744, 8347680, 10063592, 12063744, 14384601, 17066028
参考文献
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约多佛，1964年，第194-196页。
Herbert John Ryser，《组合数学》，Carus数学专著第14期，John Wiley and Sons，1963年，第1-8页。
配方奶粉
总尺寸：（1+5*x）/（1-x）^7。
和{n>=0}1/a（n）=5*Pi^2/6-1025/144。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=5*Pi^2/12-160*log（2）/3+4865/144。（结束）
MAPLE公司
[序列（n*（n-1）*（n-2）*（n-3）*（n4）^2/5！，n=5..33）]#零入侵拉霍斯2006年10月19日
数学
表[（n+1）二项式[n+5，5]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2014年7月29日*）
系数列表[级数[（1+5x）/（1-x）^7，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[（n+1）*二项式（n+5,5）:n in[0..40]/*或*/[n*（n-1）*（n-2）*（n-3）*（n-4）^2/120:n in[5..40]]//文森佐·利班迪2014年7月30日
（哈斯克尔）
a027810 n=（n+1）*a007318'（n+5）5
0, 0, 2, 24, 138, 532, 1596, 4032, 8988, 18216, 34254, 60632, 102102, 164892, 256984, 388416, 571608, 821712, 1156986, 1599192, 2174018, 2911524, 3846612, 5019520, 6476340, 8269560, 10458630, 13110552, 16300494, 20112428, 24639792, 29986176, 36266032, 43605408, 52142706
配方奶粉
a（n）=2/5*二项式（n+1,4）*（8-7*n+2*n^2）。
a（n）=7*a（n-1）-21*a。
总尺寸：-（（2 x（x^2+5 x^3+6 x^4））/（-1+x）^7）。
数学
表[2/5二项式[n+1，4]（8-7n+2n^2），{n，20}]
线性递归[{7，-21，35，-35，21，-7，1}，{0，0，2，24，138，532，1596}，20]
系数列表[级数[-（（2（x^2+5x^3+6x^4））/（-1+x）^7），{x，0，20}]，x]
0, 0, 1, 57, 486, 2360, 8394, 24354, 61104, 137412, 283635, 546403, 994422, 1725516, 2875028, 4625700, 7219152, 10969080, 16276293, 23645709, 33705430, 47228016, 65154078, 88618310, 118978080, 157844700, 207117495, 269020791, 346143942, 441484516, 558494760
配方奶粉
a（n）=二项式（n+1，4）*（-62+11*n-109*n^2+40*n^3）/70。
a（n）=8*a（n-1）-28*a（n-2）+56*a（n-3）-70*a（n-4）+56*a（n-5）-28*a（n-6）+8*a（n-7）-a（n-8）。
总尺寸：（x（x^2+49x^3+58x^4+12x^5）/（-1+x）^8。
数学
表[二项式[n+1，4]（-62+11n-109 n^2+40 n^3）/70，{n，20}]
线性递归[{8，-28，56，-70，56，-28，8，-1}，{0，0，1，57，486，2360，8394，24354}，40]
系数列表[级数[（x^2+49x^3+58x^4+12x^5）/（-1+x）^8，{x，0，20}]，x]
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=n*（40*n^6-189*n^5+189*n^4+105*n^3-105*n^2+84*n-124）/1680\\查尔斯·R·Greathouse IV2017年8月10日
系数多项式B（x，n）=（（1+a+B）*x-c）*B（x、n-1）-a*B*B（x、n-2），其中a=3、B=2和c=0。
+10
2
1, 0, 1, -6, 0, 6, 0, -42, 0, 36, 36, 0, -288, 0, 216, 0, 468, 0, -1944, 0, 1296, -216, 0, 4536, 0, -12960, 0, 7776, 0, -4104, 0, 38880, 0, -85536, 0, 46656, 1296, 0, -51840, 0, 311040, 0, -559872, 0, 279936, 0, 32400, 0, -544320, 0, 2379456, 0, -3639168, 0, 1679616
参考文献
Harry Hochstadt，《数学物理的功能》，多佛，纽约，1986年，第93页
配方奶粉
T（n，k）=由B（x，n）=（（1+a+B）*x-c）*B（x、n-1）-a*B*B（x，n-2）定义的多项式的系数，其中B（x,0）=1，B（x,1）=x，a=3，B=2，c=0。
T（n，k）=由B（x，n）=6^（n/2）*（ChebyshevU（n，sqrt（3/2）*x）-（5*x/sqrt（6））*Chebyshev（n-1，sqert（3/2，*x））定义的多项式的系数。
T（n，k）=（1/2）*（1+（-1）^（n+k。
T（n，0）=（1/2）*（1+（-1）^n）*（-6）^楼层（n/2）。
T（n，1）=（1/2）*（1-（-1）^n）*（-6）^楼层（n-1）/2）*A016921号（地板（n-1）/2），n>=1。
T（n，2）=（1/2）*（1+（-1）^n）*（-1）*A000567号（地板（n+1）/2），n>=2。
T（n，3）=（1/2）*（1-（-1）^n）*（-6）^楼层（（n+1）/2）*A002414号（地板（n-1）/2），n>=3。
T（n，4）=（3/2）*（1+（-1）^n）*（-6）^楼层（（n+1）/2）*A002419号（地板（n-1）/2），n>=4。
T（n，5）=18*（1-（-1）^n）*（-6）^楼层（n-1）/2）*A051843号（地板（n-3）/2），n>=5。
T（n，n）=6^（n-1）+（5/6）*[n=0]。
求和{k=0..楼层（n/2）}T（n-k，k）=[n=0]-5*[n=2]。
G.f.：（1-5*x*y）/（1-6*x*y+6*y^2）。（结束）
例子
三角形开头为：
1;
0, 1;
-6, 0, 6;
0, -42, 0, 36;
36, 0, -288, 0, 216;
0, 468, 0, -1944, 0, 1296;
-216, 0, 4536, 0, -12960, 0, 7776;
0, -4104, 0, 38880, 0, -85536, 0, 46656;
1296, 0, -51840, 0, 311040, 0, -559872, 0, 279936;
数学
（*第一个程序*）
a=（b+1）/（b-1）；c=0；b=2；
B[x_，n_]：=B[x，n]=如果[n<2，x^n，（（1+a+B）*x-c）*B[x、n-1]-a*B*B[x，n-2]；
表[系数列表[B[x，n]，x]，{n，0，10}]//展平
（*第二个节目*）
B[x_，n_]：=6^（n/2）*（切比雪夫[n，Sqrt[3/2]*x]-（5*x/Sqrt[6]）*ChebyshevU[n-1，Sqrt[3/2]*x]）；
表[系数列表[B[x，n]，x]/6^楼层[n/2]，{n，0，16}]//平坦(*G.C.格鲁贝尔2022年9月22日*）
黄体脂酮素
（岩浆）
f： =func<n，k|k eq 0 select（-1）^Floor（n/2）else（-1）*Floor（n-k）/2）*6^Floor；
A136526号：=函数<n，k|（（n+k+1）mod 2）*6^楼层（n/2）*f（n，k）>；
（SageMath）
定义f（n，k）：
如果（k==0）：返回（-1）^（n//2）
否则：返回（-1）^（（n-k）//2）*6^
定义A136526号（n，k）：返回（（n+k+1）%2）*6^（n//2）*f（n，k）
交叉参考
囊性纤维变性。A000567号,A002414号,A002419号,A016921号,A027810型,A030192号,A034265号,A051843号,A054487号,A055848号,A081106号,A136531号.
1, 8, 1, 21, 9, 1, 40, 30, 10, 1, 65, 70, 40, 11, 1, 96, 135, 110, 51, 12, 1, 133, 231, 245, 161, 63, 13, 1, 176, 364, 476, 406, 224, 76, 14, 1, 225, 540, 840, 882, 630, 300, 90, 15, 1, 280, 765, 1380, 1722, 1512, 930, 390, 105, 16, 1
评论
“部分列和”是指八角数字是第一列，第二列是第一列的部分和，第三列是第二列的部分总和，以此类推。
行和为1，9，31，81，187，405，847=7*（2^n-1）-6*n-R.J.马塔尔2011年9月6日
参考文献
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，多佛（1966），第189页。
配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），k>1。
例子
三角形的前几行：
1;
8, 1;
21, 9, 1;
40, 30, 10, 1;
65, 70, 40, 11, 1;
96, 135, 110, 51, 12, 1;
...
黄体脂酮素
（PARI）t（n，k）=如果（n<0，0，如果（k==1，n*（3*n-2），如果（k>1，t（n-1，k-1）+t（n-1,k）））；
tabl（nn）={表示（n=1，nn，表示（k=1，n，print1（t（n，k），“，”）；）；}\\米歇尔·马库斯2014年3月4日
1, 17, 87, 287, 742, 1638, 3234, 5874, 9999, 16159, 25025, 37401, 54236, 76636, 105876, 143412, 190893, 250173, 323323, 412643, 520674, 650210, 804310, 986310, 1199835, 1448811, 1737477, 2070397, 2452472, 2888952, 3385448, 3947944, 4582809, 5296809, 6097119
评论
更一般地说，三角数和k角数卷积的普通生成函数是（1+（k-3）*x）/（1-x）^6。
配方奶粉
外径：（1+11*x）/（1-x）^6。
例如：（120+1920*x+3240*x^2+1520*x^3+245*x^4+12*x^5）*exp（x）/120。
a（n）=6*a（n-1）-15*a（n-2）+20*a（n-3）-15*a（n-4）+6*a（n-5）-a（n-6）。
a（n）=（n+1）*（n+2）*（n+3）*（n+4）*（12*n+5）/120。
求和{n>=0}1/a（n）=20*（（15552*（6*log（2）+3*log。。。
数学
线性递归[{6，-15，20，-15、6，-1}，{1，17，87，287，742，1638}，40]
表[（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）（12n+5）/120，{n，0，40}]
黄体脂酮素
（岩浆）/*根据定义：*/P:=func<n，k|（n^2*（k-2）-n*（k-4））/2>；/*，其中P（n，k）是第n个k边形数，*/[&+[P（n+1-i，3）*P（i，14）:i在[1.n]]中：n在[1.40]]中//布鲁诺·贝塞利2016年4月18日
（岩浆）[（n+1）*（n+2）*（n+3）*//布鲁诺·贝塞利2016年4月18日
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