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| A088617号 |
| 按行读取三角形：T（n，k）=C（n+k，n）*C（n，k）/（k+1），对于n>=0，k=0..n。 |
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38
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 10, 5, 1, 10, 30, 35, 14, 1, 15, 70, 140, 126, 42, 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132, 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429, 1, 36, 420, 2310, 6930, 12012, 12012, 6435, 1430, 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（2n，0）的Schroeder路径数（即，由步骤U=（1,1），D=（1，-1），H=（2,0）组成，永远不会低于x轴），具有k个U。例如，T（2,1）=3，因为我们有UHD，UDH和HUD-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
猜想：对于大n，Schroeder n路中U的期望数是渐近Sqrt[1/2]*n-大卫·卡伦2008年7月25日
T（n，k）也是宽度为k（width（alpha）=|Dom（alpha）|）的（n链的）保序和降序部分变换的数量-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
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参考文献
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查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第449页。
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链接
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安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Manosij Ghosh Dastidar和Michael Wallner，涉及格路和整数合成的双射和同余，arXiv:2402.17849[math.CO]，2024。见第16页。
黄贤奎（Xien-Kuei Hwang）和黑池佐治（Satoshi Kuriki），经典绩效统计的综合经验测度与推广，arXiv:2404.06040[math.ST]，2024。见第11页。
C.约旦，有限差分法布达佩斯，1939年。【仅对第448-450页进行注释扫描】
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配方奶粉
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按行读取三角形T（n，k）；由[1,0,1,0,1，0,1,0，1，0，1A084938号.
G.f.：1+（1-x-T（0））/y，其中T（k）=1-x*（1+y）/（1-x*y/T（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月3日
O.g.f.A（x，t）=（1-x-sqrt（（1-x）^2-4*x*t））/（2*x*t）=1+（1+t）*x+（1+3*t+2*t^2）*x^2+。。。。
1+x*（dA（x，t）/dx）/A（x，t）=1+（1+t）*x+（1+4*t+3*t^2）*x^2+。。。是o.g.fA123160型.
对于n>=1，第n行多项式等于（1+t）/（n+1）*Jacobi_P（n-1,1,2*t+1）。从行多项式中去掉1+t的因子，得到的行多项式为A033282号.（结束）
G（x，t）的逆函数本质上给出于A033282号通过x1，f1（x，t）的逆函数：Ginv（x，t）=x[1/（t+x）-1/（1+t+x。Ginv（xt，t）的t系数是Pascal三角形对角线的o.g.f.sA007318号带有签名行和一个额外的起始列。分子给出了有符号的行o.g.f.sA074909号.
（结束）
T（n，k）=[x^k]超几何（[-n，1+n]，[2]，-x）-彼得·卢什尼2022年4月26日
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例子
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三角形开始：
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 1, 3, 2;
[3] 1, 6, 10, 5;
[4] 1, 10, 30, 35, 14;
[5] 1, 15, 70, 140, 126, 42;
[6] 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132;
[7] 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429;
[8] 1, 36, 420, 2310, 6930, 12012, 12012, 6435, 1430;
[9] 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862;
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MAPLE公司
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R:=n->简化（超几何（[-n，n+1]，[2]，-x））：
Trow:=n->seq（系数（R（n，x），x，k），k=0..n）：
seq（打印（Trow（n）），n=0..9）#彼得·卢什尼2022年4月26日
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数学
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表[二项式[n+k，n]二项式[n，k]/（k+1），{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k+1，二项式（n+k，n）*二项式（n，k）/（k+1））}
（岩浆）[[二项式（n+k，n）*二项式（n，k）/（k+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年6月18日
（SageMath）扁平化（[[二项式（n+k，2*k）*catalan_number（k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2022年5月22日
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交叉参考
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