搜索： a001712-编号：a001712
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1, 3, 3, 11, 18, 6, 50, 105, 60, 10, 274, 675, 510, 150, 15, 1764, 4872, 4410, 1750, 315, 21, 13068, 39396, 40614, 19600, 4830, 588, 28, 109584, 354372, 403704, 224490, 68040, 11466, 1008, 36, 1026576, 3518100, 4342080, 2693250, 949095, 198450
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号.渐近展开式E（x，m，n）~E。。。。，m>=1，n>=1。
我们使用了这个公式和E（x，m=2，n）的渐近展开式，参见A028421号，以确定E（x，m=3，n）~（exp（-x）/x^3）*（1-（3+3*n）/x+（11+18*n+6*n^2）/x|2-（50+105*n+60*n^2+10*n*n^3）/x*3+…）。该公式得出了上述三角形系数。
渐近展开将n的值从1到10引入已知序列，参见交叉参考。
第一个Maple程序生成上述序列，第二个程序生成E（x，m=3，n）的渐近展开式。
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链接
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公式
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a（n，m）=（-1）^（n+m）*二项式（m+1,2）*stirling1（n+1，m+1）对于n>=1和1<=m<=n。
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例子
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三角形的前几行是：
[1]
[3，3]
[11, 18, 6]
[50, 105, 60, 10]
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MAPLE公司
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nmax:=8；与（组合）：对于n1从1到nmax，对于m从1到n1，do做a（n1，m）：=（-1）^（n1+m）*二项式（m+1，2）*stirling1（n1+1，m+1）od:od:seq（seq（a（n1,m），m=1..n1），n1=1..nmax）；
#结束程序1
带（组合）：imax:=6；EA:=进程（x，m，n）局部E，i；E:=0：对于i从m-1到imax+1做E:=E+和（（-1）^（m+k1+1）*二项式（k1，m-1）*n^（k1-m+1）*stirling1（i，k1），k1=m-1..i）/x^（i-m+1）od:E:=exp（-x）/x~（m）*E:return（E）；结束：EA（x，3，n）；
#结束程序2
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数学
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a[n，m]/；n>=1&&1<=m<=n=（-1）^（n+m）*二项式[m+1，2]*斯特林S1[n+1，m+1]；扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}][[1；；42]](*Jean-François Alcover公司，2011年6月1日，配方后*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1,10，对于（m=1，n，print1（（-1）^（n+m）*二项式（m+1，2）*斯特林（n+1，m+1，1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年8月8日
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交叉参考
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关键词
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作者
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约翰内斯·梅耶尔&尼科·巴肯（n.h.g.Baken（AT）tudelft.nl），2009年8月13日，2009年10月22日
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 18, 245, 3135, 40369, 537628, 7494416, 109911300, 1698920916, 27679825272, 474957547272, 8572072384512, 162478082312064, 3229079010579072, 67177961946534528, 1460629706845766400, 33139181950164806400, 783398920650352012800, 19268391564147377318400
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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高阶指数积分E（x，m=4，n=3）~exp（-x）/x^4*（1-18/x+245/x^2-3135/x^3+40369/x^4-537628/x^5+…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A163934号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
对于非负整数n，m和复数a，b（b<>0），数字R_n^m（a，b）是由Mitrinovic（1961）和Mitrinovi及Mitrinovis（1962）使用稍微不同的符号引入的。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}（x-（a+b*r））=Sum_{m=0..n}r_n^m（a，b）*x^m定义的，对于n>=0。
因此，当n>=m>=1时，R_n^m（a，b）=R_{n-1}^{m-1}（a，b）-（a+b*（n-1））*R_{n-1}^m（a，b。
在a=0和b=1的条件下，我们得到了第一类Stirling数S1（n，m）=R_n^m（a=0，b=1）=A048994号（n，m）对于n，m>=0。
对于n>=m>=0，我们有R_n^m（a，b）=Sum_{k=0}^{n-m}（-1）^k*a^k*b^（n-m-k）*二项式（m+k，k）*S1（n，m+k）。
对于当前序列，对于n>=0，a（n）=R{n+3}^3（a=-3，b=-1）。（结束）
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），1-77[jstor稳定版]。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号（1962年），1-77。
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公式
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a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（k+3，3）*3^k*斯特林1（n+3，k+3）Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro），2004年1月26日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{k=0..n-i}二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-a-j），那么对于n>=3，a（n-3）=|f（n、3,3）|-米兰Janjic，2008年12月21日
a（n）=[x^3]Product_{r=0}^{n+2}（x+3+r）=（Product_{r=0}^{n=2}（r+3））*Sum_{0<=i<j<=n+2}1/（（3+i）*（3+j）*（3+k））。
由于a（n）=R_{n+3}^3（a=-3，b=-1），A001712号（n） =R_{n+2}^2（a=-3，b=-1），以及A001711号（n） =R{n+1}^1（a=-3，b=-1），方程R{n+3}^3（a=-3,b=-1
（i） a（n）=A001712号（n） 当n>=1时，为+（n+5）*a（n-1）。
（ii）a（n）=A001711号（n） 当n>=2时，+（2*n+9）*a（n-1）-（n+4）^2*a（n-2）。
（iii）a（n）=（n+2）/当n>=3时，2+3*（n+4）*a（n-1）-（3*n^2+21*n+37）*a。
（iv）a（n）=2*（2*n+7）*a（n-1）-（6*n^2+36*n+55）*a。（结束）
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数学
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nn=23；t=范围[0，nn]！系数列表[级数[-Log[1-x]^3/（6*（1-x）^3），{x，0，nn}]，x]；下降[t，3](*T.D.诺伊2012年8月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，（-1）^（n+k）*二项式（k+3，3）*3^k*stirling（n+3，k+3,1））\\米歇尔·马库斯2016年1月20日
（PARI）b（n）=产品（r=0，n+2，r+3）；
c（n）=总和（i=0，n+2，总和（j=i+1，n+2，总和（k=j+1，n=2，1/（（3+i）*（3+j）*（3+k）））；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 25, 445, 7140, 111769, 1767087, 28699460, 483004280, 8460980836, 154594537812, 2948470152264, 58696064973000, 1219007251826064, 26390216795274288, 594982297852020288, 13955257961738192448, 340154857108405040256, 8606960634143667938688
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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高阶指数积分E（x，m=5，n=3）~exp（-x）/x^5*（1-25/x+445/x^2-7140/x^3+111769/x^4-…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号对于E（x，m，n）信息和A163932号对于渐近展开的Maple过程-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
对于非负整数n，m和复数a，b（b＜＞0），数字R_n^m（a，b）是由Mitrinovic（1961）和Mitrinovic和Mitrinovic（1962）使用稍微不同的符号引入的。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}（x-（a+b*r））=Sum_{m=0..n}r_n^m（a，b）*x^m定义的，对于n>=0。
因此，当n>=m>=1时，R_n^m（a，b）=R_{n-1}^{m-1}（a，b）-（a+b*（n-1））*R_{n-1}^m（a，b。
在a=0和b=1的条件下，我们得到了第一类Stirling数S1（n，m）=R_n^m（a=0，b=1）=A048994号（n，m）对于n，m>=0。
对于n>=m>=0，我们有R_n^m（a，b）=Sum_{k=0}^{n-m}（-1）^k*a^k*b^（n-m-k）*二项式（m+k，k）*S1（n，m+k）。
对于当前序列，对于n>=0，a（n）=R{n+4}^4（a=-3，b=-1）。（结束）
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），1-77[jstor稳定版]。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号（1962年），1-77。
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公式
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a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（k+4，4）*3^k*斯特林1（n+4，k+4）Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro），2004年1月26日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{k=0..n-i}二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-a-j），那么对于n>=4，a（n-4）=|f（n、4,3）|-米兰Janjic，2008年12月21日
a（n）=[x^4]乘积{r=0}^{n+3}（x+3+r）=（乘积{r=0}^{n=3}（r+3））*和{0<=i<j<k<=n+3}1/（（3+i）*（3+j）*（3+k）*（3+m））。
例如：求和{n>=0}a（n）*x^（n+4）/（n+4）！=（log（1-x））^4/（1-x）^3/24。
由于a（n）=R_{n+4}^4（a=-3，b=-1），A001713号（n） =R_{n+3}^3（a=-3，b=-1），2017年12月（n） =R_{n+2}^2（a=-3，b=-1），以及2017年11月（n） =R{n+1}^1（a=-3，b=-1），方程R{n+4}^4（a=-3,b=-1
（i） a（n）=A001713号（n） 当n>=1时，为+（n+6）*a（n-1）。
（ii）a（n）=A001712号（n） 当n>=2时，+（2*n+11）*a（n-1）-（n+5）^2*a（n-2）。
（iii）a（n）=A001711号（n） 当n>=3时，+3*（n+5）*a（n-1）-（3*n^2+27*n+61）*a。
（iv）a（n）=（n+2）/2+2*（2*n+9）*a（n-1）-（6*n^2+48*n+97）*a。
（v） 通过取差a（n）-（n+2）*a（n-1），并使用上面的（iv），我们得到了多项式次数系数最多为5的5阶线性递归。我们省略了细节。（结束）
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数学
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nn=24；t=范围[0，nn]！系数列表[级数[Log[1-x]^4/（24*（1-x）^3），{x，0，nn}]，x]；下降[t，4](*T.D.诺伊2012年8月9日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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更多术语来自Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro），2004年1月26日
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状态
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经核准的
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A196845号
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| 初等对称函数a_k（3，4，…，n+2）的表（no 1和2）。 |
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+10
三
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1, 1, 3, 1, 7, 12, 1, 12, 47, 60, 1, 18, 119, 342, 360, 1, 25, 245, 1175, 2754, 2520, 1, 33, 445, 3135, 12154, 24552, 20160, 1, 42, 742, 7140, 40369, 133938, 241128, 181440, 1, 52, 1162, 14560, 111769, 537628, 1580508, 2592720, 1814400, 1, 63, 1734, 27342, 271929, 1767087, 7494416, 19978308, 30334320, 19958400
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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一般来说，三角形S_{i，j}（n，k），n>=k>=0，1<=i<j<=n+2对于n<i定义为a_k（1,2，…，n），而对于n>=i定义为a_k（1，2，……，i-1，i+1，…，j-1，…，n+2）。
a_0（）：=1。现在的三角形是S_{1,2}（n，k）（不允许1和2）。
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链接
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公式
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如果n<k，a（n，k）=a_k（3,4，…，n+2），n>=0，k=0，。。。，n、 使用初等对称函数ak（参见上面的注释）。
a（n，k）=和（2^k*（|s（n+3，n+3-k+2*p）|-（s_1（n+1，k-1-2*p）+2*s_2（n+1、k-1-2*1）），p=0..floor（k/2）），第一类斯特林数s（n，m）=A048994号（n，m）和数字三角形S_1（n，k）=A145324号（n+1，k+1）和S_2（n，k）=A196841号（n，k）。
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例子
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n\k 0 1 2 3 4 5 6 7。。。
0: 1
1: 1 3
2: 1 7 12
3: 1 12 47 60
4: 1 18 119 342 360
5: 1 25 245 1175 2754 2520
6: 1 33 445 3135 12154 24552 20160
7: 1 42 742 7140 40369 133938 241128 181440
...
a（3,2）=a2（3,4,5）=3*4+3*5+4*5=47。
a（3,2）=1*（s（6,4）|-（1*14+2*13））+2*（|s（6,16）|-“1*0+2*0”）=85-40+2（1-0）=47。
a（4,3）=a3（3,4,5,6）=3*4*5+3*4*6+3*5*6+4*5*6=342。
a（4,3）=1*（s（7,4）|-（1*155+2*137））+2*（s[7,6）|-“1*1+2*1”）=735-429+2*（21-3）=342。
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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352137美元
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| 三角形T（n，k）=[x^n]（n+k+x）/（k+x）！对于0<=k<=n，按行读取。 |
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+10
2
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1, 1, 1, 2, 5, 1, 6, 26, 12, 1, 24, 154, 119, 22, 1, 120, 1044, 1175, 355, 35, 1, 720, 8028, 12154, 5265, 835, 51, 1, 5040, 69264, 133938, 77224, 17360, 1687, 70, 1, 40320, 663696, 1580508, 1155420, 342769, 46816, 3066, 92, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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链接
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公式
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T（n，k）=和{j=0..n-k}二项式（j+k，k）*|Stirling1（n，j+k）|*（k+1）^j。
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例子
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三角形开始：
[0] 1
[1] 1, 1
[2] 2, 5, 1
[3] 6, 26, 12, 1
[4] 24, 154, 119, 22, 1
[5] 120, 1044, 1175, 355, 35, 1
[6] 720, 8028, 12154, 5265, 835, 51, 1
[7] 5040, 69264, 133938, 77224, 17360, 1687, 70, 1
[8] 40320, 663696, 1580508, 1155420, 342769, 46816, 3066, 92, 1
[9] 362880, 6999840, 19978308, 17893196, 6687009, 1197273, 109494, 5154, 117, 1
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->加（二项式（j+k，k）*（k+1）^j*abs（斯特林1（n，j+k）），j=0..n-k）；
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..8）；
#请注意，对于n>16，Maple无法（至少在某些版本中）计算
#条款。插入“简化”或数值计算可能会有所帮助。
A325137Row:=proc（n）local ogf，ser；ogf:=（n，k）->（n+k+x）/（k+x）！；
ser:=（n，k）->级数（ogf（n，k），x，k+2）；seq（coeff（ser（n，k），x，k），k=0..n）end：seq（A325137Row（n），n=0..8）；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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