搜索： a196845-编号：a196846
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A196847号
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| 数字1，2，……的交流功率和的普通生成函数的分子多项式系数表，。。。，2个。 |
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1, 1, -5, 7, 1, -14, 73, -168, 148, 1, -27, 298, -1719, 5473, -9162, 6396, 1, -44, 830, -8756, 56453, -227744, 562060, -778800, 468576, 1, -65, 1865, -31070, 332463, -2385305, 11612795, -37875240, 79269676, -96420480, 52148160, 1, -90, 3647, -87900, 140202
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1、3
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评论
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此数组的行长度序列为A005408号（n-1），n>=1:1,3,5,7，。。。
这是前2*n个正整数的交变幂和的o.g.f.的分子多项式的数组。
a（k，2*n）的明显例子f:=Sum_{j=1..2*n}（-1）^j*j^k是ge求和{j=1..2*n}（-1）^j*exp（j*x）=exp（x）*（exp（2*n*x）-1）/（exp。
通过拉普拉斯变换（参见下面的链接A196837号，补遗）我们找到了相应的o.g.f:Ge（n，x）=n*x*Pe（n、x）/Product_{j=1..2*n}（1-j*x），分子多项式Pe（n，x）=和{m=0..2*（n-1）}a（n，m）*x^m。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=[x^m]（Ge（n，x）*Product_{j=1..2*n}（1-j*x/（n*x）），序列a（k，2*n）的o.g.f.Ge。
a（n，m）=（1/n）*（-1）^m*Sum_{i=1..n}S_{2*i-1,2*i}（2*（n-1），m），n>=1，其中（i，j）-数字三角形族S_{i，j}（n，k）在注释中定义为A196845号.
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例子
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n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1: 1
2: 1 -5 7
3: 1 -14 73 -168 148
4: 1 -27 298 -1719 5473 -9162 6396
5: 1 -44 830 -8756 56453 -227744 562060 -778800 468576
...
序列a（k，4）的o.g.f.：=-（1^k-2^k+3^k-4^k）=2*A053154号（k） ，k>=0，（n=2）是Ge（2，x）=2*x*（1-5*x+7*x^2）/Product_{j=1..4}（1-j*x）。
a（3,2）=（S_{1,2}（4,2）+S_{3,4}（4.2+S_{5,6}（4.2））/3=(A196845号（4，2）+A196846号（4,2）+|s（5,3）|）/3=（119+65+35）/3=73。这里S_{5,6}（4,2）=a_2（1,2,3,4）=|S（5,3）|，其中第一类斯特灵数S（n，m）=A048994号使用（n，m）。
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交叉参考
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经核准的
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A196848号
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| 数字1，2，……的交替幂和的普通生成函数的分子多项式的系数数组，。。。，2*n+1。 |
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1, 1, -4, 5, 1, -12, 55, -114, 94, 1, -24, 238, -1248, 3661, -5736, 3828, 1, -40, 690, -6700, 40053, -151060, 351800, -465000, 270576, 1, -60, 1595, -24720, 247203, -1665900, 7660565, -23745720, 47560876, -55805520, 29400480, 1, -84, 3185, -72030, 1081353, -11344872, 85234175, -461800710, 1790256286, -4843901664, 8693117160, -9320129280,4546558080
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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这是前2*n+1个正整数的交替幂和的o.g.f.的分子多项式数组。
a（k，2*n+1）的明显例子f:=Sum_{j=1..2*n+1}（-1）^（j+1）*j^k是go（n，x）：=Sum_{k>=0}a（k，2*n+1）*（x^k）/k！=求和{j=1..2*n+1}（-1）^（j+1）*exp（j*x）=exp（x）*（exp（（2*n+1）*x）+1）/（exp。
通过拉普拉斯变换（参见下面的链接A196837号，附录）找到相应的o.g.f.：Go（n，x）=Po（n、x）/Product_{j=1..2*n+1}（1-j*x），分子多项式Po（n，x）=和{m=0..2*n}a（n，m）*x^m。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=[x^m]（Go（n，x）*Product_{j=1..2*n+1}（1-j*x）），序列a（k，2*n+1）的o.g.f.Go（n，x）：=Sum_{j=1..2*n+1}（-1）^（j+1）*j^k。请参阅上面的注释。
a（n，0）=1，n>=0，和a（n，m）=（-1）^m*（（Sum_{i=1..n}S_{2*i-1,2*i}（2*（n-1），m））+|S（2*n+1,2n+1-m）|），n>=0，m=1..2*n，其中（i，j）-族数三角形S_{i，j}（n，k）在A196845号和第一类Stirling数s（n，m）=A048994号（n，m）。
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例子
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n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0: 1
1:1-4 5
2: 1 -12 55 -114 94
3: 1 -24 238 -1248 3661 -5736 3828
4: 1 -40 690 -6700 40053 -151060 351800 -465000, 270576
...
序列a（k，5）的o.g.f:=（1^k-2^k+3^k-4^k+5^k）=A198628号（k） ，k>=0，（n=2）是Go（2，x）=（1-12*x+55*x^2-114*x^3+94*x^4）/Product_{j=1..5}（1-j*x）。
a（3,2）=S_{1,2}（5,1）+S_{3,4}（3,1）+S_{5,6}（5，1）+|S（7,5）|=A196845号(5,1) +A196846号（5,1）+17+|s（7,5）|=25+21+17+175=238。这里使用了S_{5,6}（5,1）=1+2+3+4+7=17。
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A196846号
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| 基本对称函数a_k（1,2,5,6，…，n+2）表（编号3,4）。 |
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 8, 17, 10, 1, 14, 65, 112, 60, 1, 21, 163, 567, 844, 420, 1, 29, 331, 1871, 5380, 7172, 3360, 1, 38, 592, 4850, 22219, 55592, 67908, 30240, 1, 48, 972, 10770, 70719, 277782, 623828, 709320, 302400, 1, 59, 1500, 21462, 189189, 1055691, 3679430, 7571428, 8104920, 3326400
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.5
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评论
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数字三角形族的定义
S_{i，j}（n，k），n>=k>=0，1<=i<j<=n+2，已在
承认）。前三行与
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链接
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配方奶粉
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a（n，k）=0，如果n＜k，a（0,0）=1，a（1，k）=a_k（1），对于k＝0,1，a（2，k）=a_k（1,2），对于k＝0,1,2，a（n，k）=a_k（1,2,5,6，…，n+2），n>=3；k=0..n，使用初等对称函数ak（参见上面的注释）。
a（n，k）=|s（n+1，n+1-k）|对于0<=n<3，
a（n，k）=总和（（（3*4）^m）*（|s（n+3，n+3-k+2*m）|-（3*s_3（n+1，k-1-2*m）+4*s_4（n+1、k-1-2*m）），m=0..层（k/2）），第一类斯特林数s（n，m）=A048994号（n，m）和数字三角形S_3（n，k）=A196842号（n，k）和S_4（n，k）=A196843号（n，k）（对于负k，将这些三角形的条目设为0）。
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例子
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n\k 0 1 2 3 4 5 6 7。。。
0: 1
1: 1 1
2: 1 3 2
3: 1 8 17 10
4: 1 14 65 112 60
5: 1 21 163 567 844 420
6: 1 29 331 1871 5380 7172 3360
7: 1 38 592 4850 22219 55592 67908 30240
...
a（2,2）=秒（3,1）=2。
a（4,2）=a_2（1,2,5,6）=1*2+1*5+1*6+2*5+2*6+5*6=65。
a（4,2）=1*（|s（7,5）|-（3*s_3（5,1）+4*s_4（5,1））+
3*4*（|s（7,7）|-（3*0+4*0））=1*（175-（3*18+4*17））
+ 12*1 = 65.
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