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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001714号 广义斯特林数。
(原M5184 N252)
1、25、445、7140、111769、1767087、28699460、483004280、8460980836、154594537812、2948470152264、58696064973000、1219007251826064、26390216795274288、59498229785202088、13955257961738192448、340154857108405040256、86069606341436679938688 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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高阶指数积分E(x,m=5,n=3)~exp(-x)/x^5*(1-25/x+445/x^2-7140/x^3+111769/x^4-…)的渐近展开得到了上述序列。看到了吗邮编:A163931E(x,m,n)信息和邮编:A163932对于渐近展开的Maple过程。-约翰内斯W.梅杰2009年10月20日

彼得罗斯哈吉科斯塔斯2020年6月13日:(开始)

对于非负整数n,m和复数a,b(b<>0),Mitrinovic(1961)和Mitrinovic和Mitrinovic(1962)用稍有不同的表示法引入了数R\u n^m(a,b)。

这些数字是通过g.f.积{r=0..n-1}(x-(a+b*r))=Sum{m=0..n}r_n^m(a,b)*x^m来定义n>=0。

结果表明,R\u n^m(a,b)=R{n-1}^{m-1}(a,b)-(a+b*(n-1))*R{n-1}^m(a,b)对于n>=1且R_0^0(a,b)=1,R_1^1(a,b)=a,R_1^1(a,b)=1,R_n^m(a,b)=0。

当a=0,b=1时,我们得到第一类Stirling数S1(n,m)=R\u n^m(a=0,b=1)=A0994年(n,m)对于n,m>=0。

对于n>=m>=0,我们有R\n^m(a,b)=和{k=0}^{n-m}(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*S1(n,m+k)。

对于当前序列,a(n)=R{n+4}^4(a=-3,b=-1)表示n>=0。(结束)

参考文献

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

T、 D.不,n=0..100的n,a(n)表

D、 米特里诺维奇,Stirling reliés aux nombres de Stirling的附属名称类别《巴黎科学院院院长会议》,t.252(1961),2354-2356。[引入R_n^m(a,b)数。]

D、 S.米特里诺维奇和R.S.米特里诺维奇,斯特林列名等级表贝格拉德大学。公共。罗特勒恩。法克。爵士。垫子。Fiz.,No.77(1962),1-77[jstor稳定版]。

D、 S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林列名等级表贝格拉德大学。公共。罗特勒恩。法克。爵士。垫子。菲兹。第77号(1962年),第1-77页。

公式

a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n+k)*二项式(k+4,4)*3^k*Stirling1(n+4,k+4)。-Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日

如果我们定义f(n,i,a)=和{k=0..n-i}二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*积{j=0..k-1}(-a-j),那么a(n-4)=| f(n,4,3)| n>=4。[米兰-扬吉奇,2008年12月21日]

彼得罗斯哈吉科斯塔斯2020年6月14日:(开始)

a(n)=[x^4]乘积{r=0}^{n+3}(x+3+r)=(乘积{r=0}^{n+3}(r+3))*和{0<=i<j<k<m<=n+3}1/((3+i)*(3+j)*(3+k)*(3+m))。

E、 g.f.:和{n>=0}a(n)*x^(n+4)/(n+4)!^24(x-1/4)(对数)。

因为a(n)=R{n+4}^4(a=-3,b=-1),A001713号(n) =R{n+3}^3(a=-3,b=-1),A001712号(n) =R{n+2}^2(a=-3,b=-1),和A001711号(n) =R{n+1}^1(a=-3,b=-1),方程R{n+4}^4(a=-3,b=-1)=R{n+3}^3(a=-3,b=-1)+(n+6)*R{n+3}^4(a=-3,b=-1)意味着:

(i) a(n)=A001713号(n) +(n+6)*a(n-1)表示n>=1。

(ii)a(n)=A001712号(n) +(2*n+11)*a(n-1)-(n+5)^2*a(n-2),n>=2。

(iii)a(n)=A001711号(n) +3*(n+5)*a(n-1)-(3*n^2+27*n+61)*a(n-2)+(n+4)^3*a(n-3),n>=3。

(iv)a(n)=(n+2)!/2+2*(2*n+9)*a(n-1)-(6*n^2+48*n+97)*a(n-2)+(2*n+7)*(2*n^2+14*n+25)*a(n-3)-(n+3)^4*a(n-4),n>=4。

(v) 利用差分a(n)-(n+2)*a(n-1),利用上述(iv),得到多项式系数不超过5的五阶线性递归。我们省略了细节。(结束)

数学

nn=24;t=范围[0,nn]!系数列表[Series[Log[1-x]^4/(24*(1-x)^3),{x,0,nn}],x];Drop[t,4](*T、 D.不2012年8月9日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A001711号,A001712号,A001713号,A048994号,邮编:A163931,邮编:A163932.

上下文顺序:A018207号 A264382号 A260854号*A0633年 A001811号 A131279号

相邻序列:A001711号 A001712号 A001713号*A001715号 A001716号 A001717号

关键字

作者

N、 斯隆.

扩展

更多术语来自Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月12日18:03。包含335666个序列。(运行在oeis4上。)