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| A000244号 |
| 3的幂：a（n）=3^n。
（原名M2807 N1129）
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827
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1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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与活塞序列E（1,3）、L（1,3。基本上与活塞序列E（3，9），L（3，九），P（3，九），T（3，九月）相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2n+2，s（0）=1，s（2 n+2）=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
a（1）=1，a（n+1）是使a（n）和a（n+1）之间有一个（n）偶数的最小数。k:1，k，k^2，k^3，k^4，…幂序列的推广。。。在a（n）和a（n+1）之间有一个k-1的（n）倍数-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月28日
其中p（n）是n的整数分区的数目，p（i）是n的第i个分区的部分的数目，d（i）是n的第i个分区的不同部分的数目，m（i，j）是n的第i个分区的第j个部分的重数，Sum_{i=1..p（n）}是i上的和，Product_{j=1.d（i）}是j上的乘积，一个有：a（n）=和{i=1..p（n）}（p（i）/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）*2^（p（i）-1）-托马斯·维德2005年5月18日
a（n-1）是组成成分的数量。通常，（k+1）^（n-1）是k级嵌套成分的数量（例如，4^（n-1）是成分组成的成分数量，等等）。元素之间的每个n-1空格可以是k个级别中的一个中断，也可以根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于每个元素x，P（a）的y，如果x是y的子集，那么a（n）=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论：
参考a（n+1）英寸A028243号如果考虑非空子集，并且x是y的适当子集（End）
如果X_1、X_2。。。，X_n是集合{1，2，…，2*n}划分成大小为2的块，然后，对于n>=1，a（n）等于函数f:{1，2,…，2*n}->{1，2}的数目，这样对于固定的y_1，y_2。。。，在{1,2}中，我们有f（X_i）<>{y_i}，（i=1,2，…，n）-米兰Janjic2007年5月24日
这是对所有正整数k的形式a（n）=[（2^k）-1]^n的所有序列的一般评论。Stanley的“枚举组合数学”的示例1.1.16提供了一个稍有不同的版本。a（n）在函数f:[n]的个数中变成P（[k]）-{}。a（n）也是函数f:[k]到P（[n]）的个数，使得f（i）对[k]中所有i的广义交集是空集。其中[n]={1，2，…，n}，P（[n]）是[n]的幂集，{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^（n+1）=（1，2，2，…）点（1，1，3，9，…，3^n）；例如，3^3=27=（1，2，2）点（1，1，3，9）=（1+2+6+18）-加里·亚当森，2010年5月17日
a（n）是当存在3*2^i不同类型的i（i=1,2，…）时，n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
对于n>=1，a（n-1）是当存在2^（i-1）不同类型的i，（i=1，2，…）时n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
所讨论的序列（“3的幂”）还描述了第k个磁盘解决[红色；蓝色；蓝色]或[红色；红色；蓝色]预先着色的河内磁塔谜题的移动次数（参见。A183111号-183125英镑).
（1+x+x^2）^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a（n）是{0,1,2}中n个元素的组成数；例如，a（2）=9，因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日；由编辑修改。]
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1，a（n）等于n的3色组成数，因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中，因此可能需要添加一个证明。
n精确到k个部分的组成数是二项式（n-1，k-1）。
对于n的p色组合，如果相邻部分没有相同的颜色，则第一部分的颜色正好有p个选择，每个附加部分的颜色有p-1个选择（除前一部分颜色以外的任何颜色）。所以，对于k部分的划分，有p（p-1）^（k-1）个有效的着色。
因此，n精确地分成k个部分，使得没有相邻部分具有相同颜色的p色成分的数量是二项式（n-1，k-1）p（p-1）^（k-1）。
n的p色成分的总数，使得相邻部分没有相同的颜色
和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*p*（p-1）^（k-1）=p^n。
要了解这一点，请注意（（p-1）+1）^（n-1）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）（p-1）^k1^。
（结束）
此外，矩阵的第一个和最小元素[1，sqrt（2）；sqrt，2]^（n+1）-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m（0，n）=m（n，0）=2^n的数组；m（i，j）等于m（i、j）左边的项与m（i和j）上面的项之和，即m。反对角线（n+1）中的项之和=4*a（n）-J.M.贝戈2013年7月10日
定义一个数组，使m（0，k）=2^k和m（n，k）=Sum_{c=0..k-1}m（n、c）+Sum_}r=0..n-1}m（r，k），这是m（n和k）左边的项加上m（n与k）上面的项之和。阵列的n＝0行包括A000079号，列k=0包括A011782号，行n=1包括A001792号数组的反对角线和为a（n）：1=3^0，1+2=3^1，2+3+4=3^2，4+7+8+8=3^3-J.M.贝戈，2013年8月2日
带有零值和o.g.f.x/（1-3*x^2），A（2*k）=0，A（2*k+1）=3^k=A（k），k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho（6）=2*cos（Pi/6）=sqrt（3）的次数为2，最小多项式C（6，x）=x^2-3（参见A187360型，n=6），是较小对角线与六角形中边的长度比。因此，ρ（6）^n=A（n-1）*1+A（n）*rho（6），在二次数域Q（rho（5））的幂基中。还需要A（-1）=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年10月2日
对k进行编号，使σ（3k）=3k+σ（k）-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897号)，因为当n>0时，φ（3^n）=2*3^（n-1），因此求和{i=0..n}φ（3|i）=3^n-阿隆索·德尔·阿特2014年4月20日
3^k以n个连续递减数字结尾的最小数字k>0是由{1，13，93}给出的一个3项序列。连续递增的数字是{3,23,123}。3^k有100个不同的三位数结尾。没有k值，因此3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x，对于x={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…}，“123”运行之前的数字分别是{9，5，1，7，3，9，9，5。因此，我们看到“123”之前的数字永远不会是0。所以没有其他条件了-德里克·奥尔2014年7月3日
A^n的所有元素，其中A=（1，1，1；1，1，1；1，1，1）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月23日
计算长度为n（开放或闭合）的三角形顶点上的所有行走次数，该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月3日
a（n）计算图G上的行走次数（闭合）（1-顶点；1-循环，1-循环，1-loop）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
2*a（n-2）计算从三角形的顶点开始的长度为（n）的孤立闭合走的所有排列，该三角形在剩余顶点中的每个顶点上包含2个环。此外，C（m，k）=2*（2^m）*B（m+k-2，m）计算包含（m）个循环和（k）个弧的行走的置换-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
使三项式x^（2*n）+x^n+1在GF（2）上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill，2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a（n-1）也是n的组成数，如果这些部分可以是从1到n的任意长度，并且可以包含从1到n的任意整数-格雷戈里·西蒙2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外，还包括n-鸡尾酒会图中的团数（不一定是最大的）-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a（n-1）是n的2-组分数；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日
a（n）是n维超立方体任意维（顶点、边、正方形面等）的面数。例如，0维超立方体是一个点，它的唯一面是它自己。一维超立方体是一条直线，它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个方形，它有四个顶点、四条边和一个正方形面-凯文·朗2023年3月14日
a（n）是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是形式为l_1或…的命题公式。。。或l_m，其中l_1。。。，l_m是{x_1，…，x_n，NOT x_1，..，NOT x_n}中n个变量x_1的不同元素。。。x_n，同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n，析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i，只有x_i或NOT x_ i，所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{，析取从句对应于一个函数f，使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n，其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择（{0}、{1}或{0,1}），我们还发现n个变量的析取子句的数目是3^n。
等价地，a（n）是n个变量的连接子句的数量。（结束）
有限子序列a（2）、a（3）、a⑴、a（5）=9、27、81、243是可以用简单多边形的所有内角（均为整数，以度为单位）形成的仅有的两个几何序列之一。另一个序列是A007283号（请参阅此处的注释）-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Doron Zeilberger，《神奇3^n定理及其更神奇的证明》（由Xavier G.Viennot及其爱科尔·博德莱塞帮派发现），arXiv:1208.22582012。
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链接
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T.Banchoff，计算高维立方体的面《超越第三维度：几何、计算机图形和更高维度》，科学美国图书馆，1996年。
A.Bostan，格路组合的计算机代数S.éminaire de Combinatoire Ph.Flajolet，2013年3月28日。
Peter J.Cameron，由寡态置换群实现的序列，J.集成。序号。第3卷（2000年），第00.1.5号。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多元命题的组合数学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
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配方奶粉
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a（n）=3^n。
a（0）=1；a（n）=3*a（n-1）。
G.f.：1/（1-3*x）。
例如：exp（3*x）。
a（n）=n*和{i+j+k=n，i，j，k>=0}1/（i！*j！*k！）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月1日
a（n）=和{k=0..n}2^k*二项式（n，k），的二项式变换A000079号。
a（n）=2*搅拌S2（n+1,3）+搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a（n）=2*箍筋S2（n+1，3）+箍筋S2（n+2，2）=2x（箍筋S2.（n+1,3）+搅拌S2（n+1，2））+1-罗斯·拉海伊2008年6月9日
和{n>=0}1/a（n）=3/2-加里·亚当森2008年8月29日
如果p（i）=Fibonacci（2i-2），并且如果A是由A（i，j）=p（j-i+1），（i<=j），A（i、j）=-1，（i=j+1）和A（i和j）=0定义的n阶Hessenberg矩阵，否则，对于n>=1，A（n-1）=det A-米兰Janjic2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley，系列总结，多佛，1961]
求和{n>0}Mobius（n）/a（n）=0.181995386702633887827…（参见A238271型). -阿隆索·德尔·阿特2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理学。53（1970）348页。
a（n）=（tan（Pi/3））^（2*n）-伯纳德·肖特2022年5月6日
a（n-1）=二项式（2*n-1，n）+和{k>=1}二项式[2*n，n+3*k）*（-1）^k-格雷格·德累斯顿，2022年10月14日
通用公式：和{k>=0}x^k/（1-2*x）^（k+1）-凯文·朗2023年3月14日
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例子
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G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[1/（1-3 x），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
嵌套列表[3#&，1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
（Maxima）标记列表（3^n，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
（Scala）val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate（1:BigInt）（_*3）
（0到26）.map（功率Of3（_））//阿尔特阿隆索2020年5月3日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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状态
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经核准的
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