搜索： a084773-编号：a084771
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2, 12, 104, 1008, 10272, 107712, 1150592, 12451584, 136053248, 1497664512, 16583583744, 184511361024, 2061074178048, 23100352413696, 259648659554304, 2925683135152128, 33037383972814848, 373774017998094336, 4235888981636022272, 48076611822491271168
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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参考文献
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Andras Kornai，《数学语言学》（Springer-Verlag 2008），第36页。（给出与前五项匹配的序列。）
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链接
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数学
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表[2^（n+1）*LegendreP[n，3]，{n，0，40}](*G.C.格鲁贝尔2023年5月22日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2^（n+1）*评估（勒让德多项式（n），3）：[0..40]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年5月22日
（SageMath）[2^（n+1）*gen_legendre_P（n，0，3）对于范围（41）中的n#G.C.格鲁贝尔2023年5月22日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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埃里克·巴赫（Bach（AT）cs.wisc.edu），2009年10月15日
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扩展
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状态
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经核准的
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A001850号
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| 中部Delannoy数：a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（n+k，k）。
（原名M2942 N1184）
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+10
186
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1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, 1462563, 8097453, 45046719, 251595969, 1409933619, 7923848253, 44642381823, 252055236609, 1425834724419, 8079317057869, 45849429914943, 260543813797441, 1482376214227923, 8443414161166173, 48141245001931263
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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n X n网格中从（0,0）到（n，n）的路径数，仅使用北向、东北向和东向阶梯（即阶梯（1,0）、（1,1）和（0,1））。
此外，对齐长度为n的两个序列（例如核苷酸或氨基酸）的方法的数量，最多插入2*n个间隙（-），因此，尽管不必要的间隙：-aa--是禁止的，但b-和-b都是允许的。（如果只允许后者中的另一个，则顺序A000984号给出了路线的数量。）Dickau给出的网格行走可以很容易地对这组对齐进行双向投影（例如，直线对角线对应于没有间隙的完美对齐）-安蒂·卡图恩2001年10月10日
a（n）是具有2*n个齿的梳状图的n-匹配数。示例：a（2）=13，因为由水平路径ABCD和齿Aa、Bb、Cc、Dd组成的图有13个2-匹配：六个可能的齿对中的任意一个，以及{Aa、BC}、{Aa和CD}、}Bb、CD}，{Cc、AB}、｛Dd，AB}，｝{Dd，BC}，｛AB，CD}-Emeric Deutsch公司2002年7月2日
（（1-x）/（1-2*x））^n的前n个系数之和是a（n-1）-迈克尔·索莫斯2003年9月28日
此外，仅使用步骤U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），从（0,0）到（n，0）的路径数，U可以有2种颜色，H可以有3种颜色-N-E.法西2008年1月27日
n X n框中的过分割数（将第一条注释中的行走类型视为过分割，将NE步骤解释为n，E，由此创建的零件被覆盖）-威廉·基思2017年5月19日
Delannoy范畴中自同态代数End（R^{（n）}）的维数附属于实线保序自双射的寡形群-诺亚·斯奈德2023年3月22日
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参考文献
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Frits Beukers，《Picard-Fuchs方程的算术性质》，巴黎国家科学院，1982-83年，Birkhäuser Boston，Inc。
Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第593页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第81页。
L.Moser和W.Zayachkowski，带对角步长的格路径，Scripta Math。，26 (1961), 223-229.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，沃兹沃思，第2卷，1999年；参见示例6.3.8和问题6.49。
D.B.West，组合数学，剑桥，2021年，第28页。
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链接
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J.-M.Autebert和S.R.Schwer，关于广义Delannoy路，SIAM J.离散数学。，16(2) (2003), 208-223.
Cyril Banderier和Sylviane Schwer，为什么是Delannoy数字？，arXiv:math/0411128[math.CO]，2004年。
Cyril Banderier和Sylviane Schwer，为什么是Delannoy数字？《统计规划与推断杂志》，135（1）（2005），40-54。
托马斯·巴鲁切尔（Thomas Baruchel）和C.埃尔斯纳（C.Elsner），关于具有分裂分母的有理逼近形成的误差和，arXiv:1602.06445[math.NT]，2016年。
H.贝特曼，势理论中的几个问题，Messenger数学。，52 (1922), 71-78. [带注释的扫描副本]
雷蒙德·博瑞德（Raymond A.Beauregad）和弗拉基米尔·多布什金（Vladimir A.Dobrushkin），一类生成函数的幂，《数学杂志》，89（5）（2016），359-363。
哈塞内·贝尔巴赫尔和阿卜杜勒加尼·梅多伊，二项系数平方和的递推关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。
T.多斯利克，对数凸的七条格路径《应用学报》。马塞姆。110(3) (2010), 1373-1392.
Tomislav Došlic和Darko Veljan，一些组合序列的对数行为，离散数学。308(11) (2008), 2182-2212. MR2404544（2009j:05019）-N.J.A.斯隆2012年5月1日
Rui Duarte和António Guedes de Oliveira，格点路径的生成函数波尔图大学（葡萄牙，2023年）。
詹姆斯·伊斯特和尼古拉斯·哈姆，Z^2的格路和子幺半群，arXiv:1811.05735[math.CO]，2018年。
卢卡·费拉里和伊曼纽尔·穆纳里尼，一些路径格中边的计数，arXiv:1203.6792[math.CO]，2012年。
卢卡·费拉里和伊曼纽尔·穆纳里尼，一些路径格中边的计数，J.国际顺序。17 (2014), #14.1.5.
S.Garrabrant和I.Pak，用不合理的瓷砖计数，arXiv:1407.8222[math.CO]，2014年。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
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Huyile Liang、Jeffrey Remmel和Sainan Zheng，多项式的Stieltjes矩序列，arXiv:1710.05795[math.CO]，2017年，见第18页。
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J.B.Slowinski，多条路线的数量《分子系统发育与进化》，10（2）（1998），264-266。
J.B.Slowinski，多条路线的数量《分子系统发育与进化》，10（2）（1998），264-266。
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配方奶粉
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a（n）=P_n（3），其中P_n是第n个勒让德多项式。
总面积：1/sqrt（1-6*x+x^2）。
渐近展开中的主导项是二项式（2*n，n）/2^（1/4）*（（sqrt（2）+1）/2）^（2*n+1）*（1+c1/n+c2/n^2+…）-迈克尔·戴维·赫施霍恩
a（n）=和{i=0..n}(A000079号（i）*A008459号（n，i））=和{i=0..n}（2^i*C（n，i）^2）Antti Karttunen，2001年10月10日
a（n）=和{k=0..n}C（n+k，n-k）*C（2*k，k）-贝诺伊特·克洛伊特2003年2月13日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）^2*2^k-迈克尔·索莫斯2003年10月8日
a（n-1）的G.f.=1/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/）））-迈克尔·索莫斯2012年5月11日
例如：exp（3*x）*BesselI（0，2*sqrt（2）*x）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月21日
a（n）=和{k=0..n}C（2*n-k，n）*C（n，k）-保罗·巴里2005年4月23日
a（n）=和{k>=n}二项式（k，n）^2/2^（k+1）-弗拉德塔·乔沃维奇2006年8月25日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-1-n）-迈克尔·索莫斯2006年9月23日
递归D-有限：a（-1）=a（0）=1；n*a（n）=3*（2*n-1）*a（n-1）-（n-1。等式（4）inT.D.诺伊JIS 9（2006）#06.2.7中的文章。
通过（i，j>0）定义一般Delannoy数：d（i，0）=d（0，j）=1=：d（0,0）和d。则a（k）=和{j>=0}d（k，j）^2+d（k-1，j）=A026933号（n）+A026933号（n-1）。这是一般Delannoy数的以下公式的特例：d（k，j）=和{i>=0，p=0..n}d（p，i）*d（n-p，j-i）+d（p-1，i）*d（n-p-1，j-i-1）-彼得·E·约翰，2006年10月19日
（1+3*x+2*x^2）^n中的x^n系数-N-E.法西2008年1月11日
G.f.：1/（1-x-2*x/（1-x-x/（1-x-x/-保罗·巴里2009年5月28日
G.f.：1/（2*Q（0）+x-1），其中Q（k）=1+k*（1-x）-x-x*（k+1）*（k+2）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（n+k，k）-乔格·阿恩特2013年5月11日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+x*（6-x）*（4*k+1）/（4*k+2-2*x*（6x）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月22日
G.f.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（6-x）*（2*k-1）/（x*（6-x）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年7月16日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（6-x）*（2*k+1）/（x*（6-x）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月17日
a（n）^2=和{k=0..n}2^k*C（2*k，k）^2*C（n+k，n-k）=A243949型（n） ●●●●-保罗·D·汉纳2014年8月17日
a（n）=表层（[-n，-n]，[1]，2）-彼得·卢什尼2014年11月19日
a（n）=和{k=0..n/2}C（n-k，k）*3^（n-2*k）*2^k*C（n，k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年6月29日
a（n）~c*（3+2*sqrt（2））^n/sqrt（n），其中c=1/sqrt-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月7日
a（n+1）=3*a（n）+2*Sum_{l=1..n}A006318号（l） *a（n-l）。【齐世国（2016）式（1.16）】
a（n）~（1+平方（2））^（2*n+1）/（2^（5/4）*sqrt（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年1月9日
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例子
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G.f.=1+3*x+13*x ^2+63*x ^3+321*x ^4+1683*x ^5+8989*x ^6+。。。
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MAPLE公司
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seq（加（多项式（n+k，n-k，k，k），k=0..n），n=0..20）#零入侵拉霍斯，2006年10月18日
seq（矫形[P]（n，3），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年11月3日
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数学
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f[n]：=和[二项式[n，k]二项式[n+k，k]，{k，0，n}]；数组[f，21，0]（*或*）
a[0]=1；a[1]=3；a[n]：=a[n]=（3（2 n-1）a[n-1]-（n-1）a[n-2]）/n；数组[a，21，0]（*或*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-6x+x^2]，{x，0，20}]，x](*罗伯特·威尔逊v*)
a[n_]：=与[{m=如果[n<0，-1-n，n]}，级数系数[（1-6x+x^2）^（-1/2），{x，0，m}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年6月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；polceoff（1/sqrt（1-6*x+x^2+x*O（x^n）），n）}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/
（PARI）{a（n）=if（n＜0，n＝-1-n）；subst（pollegendre（n），x，3）}/*迈克尔·索莫斯，2006年9月23日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；n++；subst（Pol（（1-x）/（1-2*x）+O（x^n））^n），x，1）；}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+3*x+2*x^2）^n，n））\\保罗·巴里2007年8月22日
步骤=[1，0]，[0，1]，[1，1]]/*乔格·阿恩特，2011年6月30日*/
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）*二项式\\乔格·阿恩特2013年5月11日
（PARI）x='x+O（'x^100）；Vec（1/sqrt（1-6*x+x^2））\\阿尔图格·阿尔坎2015年10月17日
（Python）#来自Nick Hobson。
定义f（a，b）：
如果a==0或b==0：
返回1
返回f（a，b-1）+f（a-1，b）+f
[范围（7）中n的f（n，n）]
（Python）
从gmpy2导入divexact
对于范围（2，10**3）中的n：
（最大值）a（n）：=系数（展开（（1+3*x+2*x^2）^n），x，n）；
（鼠尾草）
a=λn：超几何（[-n，-n]，[1]，2）
[对范围（23）中的n简化（a（n））]#彼得·卢什尼，2014年11月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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新名称和参考1995年9月15日
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状态
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经核准的
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A052141号
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| 从（0,0）到（n，n）的路径数，这些路径始终靠近（n，n）（并且不通过（n，m）和回溯）。 |
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+10
10
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1, 3, 26, 252, 2568, 26928, 287648, 3112896, 34013312, 374416128, 4145895936, 46127840256, 515268544512, 5775088103424, 64912164888576, 731420783788032, 8259345993203712, 93443504499523584, 1058972245409005568, 12019152955622817792, 136599995048232747008
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n）是Robeva和Sun（2020）中定义的2xn网格的细分数量。我们有一个（n）=A059576号（n-1，n-1）对于n>=1，如果后者被视为正方形数组（而不是三角形）。
一般来说，A059576号（m-1，n-1）是顶行有m个点，底行有n个点的两行网格的细分数。（结束）
标题条件不清楚：路径（0,0）->（0，n）->（n，n-1）->（n，n）可以证明满足标题条件，但不允许，因为禁止使用负斜率的步骤。台阶必须向东移动（坡度0）或具有有限的正坡度或向北移动（坡度无限）。另一方面，对于仅受路径上每个连续点比其前一个更接近终点的条件约束的晶格路径，请参阅mathoverflow网站上的问题“为什么数字计数为“越来越接近”的晶格路径如此圆？”-大卫·卡伦2021年11月21日
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参考文献
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R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见示例6.3.9。
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链接
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Elina Robeva和Melinda Sun，平面上点配置的双单调细分，arXiv:2007.00877[math.CO]，2020年。见表3（第10页）中的A（2，n）列。
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配方奶粉
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总面积：（1/2）*（1+1/sqrt（1-12*x+4*x^2））。
a（n）=2^（n-1）*A001850号（n） .-Jon Stadler（jstadler（AT）capital.edu），2003年4月30日
带递归的D-有限：n*a（n）=6*（2*n-1）*a（n-1）-4*（n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月8日
a（n）~平方（8+6*sqrt（2））*（6+4*sqert（2），^n/（8*sqort（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月8日
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数学
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表[2^（n-1）*LegendreP[n，3]+Boole[n==0]/2，{n，0，40}](*G.C.格鲁贝尔2023年5月21日*）
系数列表[级数[（1+1/Sqrt[1-12x+4x^2]）/2，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2024年3月10日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n eq 0 select 1 else 2^（n-1）*Evaluate（勒让德多项式（n），3）：n in[0..40]]//G.C.格鲁贝尔2023年5月21日
（SageMath）
定义A052141号（n） ：返回2^（n-1）*gen_legendre_P（n，0，3）+int（n==0）/2
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,步行
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作者
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状态
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经核准的
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A098270型
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| a（n）=2^n*P_n（5），2^n乘以5处n阶勒让德多项式。 |
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+10
6
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1, 10, 148, 2440, 42256, 752800, 13660480, 251113600, 4660568320, 87140108800, 1638884021248, 30970912737280, 587599919386624, 11185644310405120, 213540626285805568, 4086692369433395200, 78378887309200261120
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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（1+10*x+24*x^2）^n.2^n*LegendreP（n，k）的中心系数产生（1+2*k*x+（k^2-1）*x^ 2）^n的中心系数，其中g.f.1/sqrt（1-4*k*x+4*x^1）。
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链接
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哈塞内·贝尔巴赫尔和阿卜杜勒加尼·梅多伊，二项系数平方和的递推关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。
Hacène Belbachir、Abdelghani Mehdaoui和LászlóSzalay，帕斯卡金字塔中的对角线和，II：应用，J.国际顺序。，第22卷（2019年），第19.3.5条。
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配方奶粉
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总面积：1/sqrt（1-20*x+4*x^2）。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}（-1）^k*二项式（n，k）*二项法（2*（n-k），n）*5^（n-2*k）。
递归D-有限：n*a（n）+10*（1-2*n）*a（n-1）+4*（n-1-R.J.马塔尔2012年9月26日
a（n）~平方（72+30*sqrt（6））*（10+4*sqert（6），^n/（12*sqort（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日
a（n）=（1/3）*Sum_{k>=n}二项式（k，n）^2*（2/3）^k。
a（n）=（4^n）*和{k=0..n}二项式（n，k）^2*（3/2）^k。
a（n）=（1/3）*（2/3）^n*超几何2F1（[n+1，n+1，[1]，2/3）。
a（n）=（4^n）*超几何2F1（[-n，-n]，[1]，3/2）
a（n）=[x^n]（（2*x-2）*（3-2*x））^n。
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数学
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表[级数系数[1/Sqrt[1-20*x+4*x^2]，{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日*）
表[2^n*LegendreP[n，5]，{n，0，40}](*G.C.格鲁贝尔2023年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
定义A098270型（n） ：返回2^n*gen_legendre_P（n，0，5）
（岩浆）[2^n*评估（勒让德多项式（n），5）：[0..40]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年5月21日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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A059474号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是按00，10，01，20，11，02，…顺序读取的z^n*w^k在1/（1-2*z-2*w+2*z*w）中的系数。。。 |
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+10
4
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1, 2, 2, 4, 6, 4, 8, 16, 16, 8, 16, 40, 52, 40, 16, 32, 96, 152, 152, 96, 32, 64, 224, 416, 504, 416, 224, 64, 128, 512, 1088, 1536, 1536, 1088, 512, 128, 256, 1152, 2752, 4416, 5136, 4416, 2752, 1152, 256, 512, 2560, 6784, 12160, 16032, 16032, 12160, 6784, 2560, 512
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Pascal-like三角形：从顶部的1开始；接下来的每一项都是你上面所有东西的总和加1。
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链接
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配方奶粉
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镀锌：1/（1-2*z-2*w+2*z*w）。
T（n，k）=和{j=0..n}（-1）^j*2^（n+k-j）*C（n，j）*C（n+k-j，n）。
T（n，k）=2^n*二项式（n，k）*超几何（[-k，k-n]，[-n]，1/2）-彼得·卢什尼2021年11月26日
T（n，n-k）=T（n、k）。
和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）=A077957号（n） ●●●●。
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例子
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三角形开头为：
n\k[0][1][2][3][4][5][6]。。。
[0] 1;
[1] 2, 2;
[2] 4, 6, 4;
[3] 8, 16, 16, 8;
[4] 16, 40, 52, 40, 16;
[5] 32, 96, 152, 152, 96, 32;
[6] 64, 224, 416, 504, 416, 224, 64;
...
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MAPLE公司
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读取转换；序列2（1/（1-2*z-2*w+2*z*w），x，y，12）：序列2统计量（%，x，y，12）；
#备选方案
T:=（n，k）->2^n*二项式（n，k）*超几何（[-k，-n+k]，[-n]，1/2）：
对于从0到10的n，执行seq（简化（T（n，k）），k=0。。n） 结束do#彼得·卢什尼2021年11月26日
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数学
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表[（-1）^k*2^n*JacobiP[k，-n-1，0，0]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔，2017年10月4日；2023年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）
A059474号：=func<n，k|（&+[（-1）^j*2^（n-j）*二项式（n-k，j）*二项式（n-j，n-k）：[0..n-k]]中的j）>；
（SageMath）
定义A059474号（n，k）：返回2^n*二项式（n，k）*简化（超几何（[-k，k-n]，[-n]，1/2））
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A098269号
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| a（n）=2^n*P_n（4），2^n乘以4处n阶勒让德多项式。 |
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+10
4
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1, 8, 94, 1232, 16966, 240368, 3468844, 50712992, 748553926, 11131168688, 166498969924, 2502416381792, 37759888297756, 571681667171168, 8679980422677784, 132116085646644032, 2015249400937940806
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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（1+8x+15x^2）^n.2^n*LegendreP（n，k）的中心系数产生了（1+2kx+（k^2-1）x^2。
2^n*LegendreP（n，-4）=（-1）^n的第16次二项式变换*A098269号（n） ●●●●-保罗·巴里2004年9月3日
有理函数的对角线1/（1+x+3*y+x*z-2*x*y*z），1/（1-x+y+3*x*z-2-x*y**z），1/1（1-x-x*y-3*y*z-2*x*y**z）-Gheorghe Coserea公司2018年7月3日
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链接
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Hacène Belbachir和Abdelghani Mehdaoui，二项系数平方和的递推关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。
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配方奶粉
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总面积：1/sqrt（1-16x+4x^2）。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}（-1）^k*二项式（n，k）*二项法（2（n-k），n）*4^（n-2k）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*3^k*5^（n-k）-保罗·D·汉纳，2012年9月29日
带递归的D-有限：n*a（n）=8*（2*n-1）*a（n-1）-4*（n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日
a（n）~sqrt（450+120*sqrt（15））*（8+2*sqrt（15））^n/（30*sqrt（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日
a（n）=3^n*超几何（[-n，-n]，[1]，5/3）=5^n*超几何（[-n，-n，[1]，3/5）-Detlef Meya酒店2024年5月21日
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数学
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表[级数系数[1/Sqrt[1-16*x+4*x^2]，{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日*）
a[n]：=3^n*超几何PFQ[{-n，-n}，{1}，5/3]；扁平[表[a[n]，{n，0，16}]](*Detlef Meya酒店2024年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）^2*3^k*5^（n-k））}\\保罗·D·汉纳2012年9月29日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, -2, 2, 1, 0, 4, 4, 1, 6, 8, 22, 6, 1, 0, 16, 136, 52, 8, 1, -20, 32, 886, 504, 94, 10, 1, 0, 64, 5944, 5136, 1232, 148, 12, 1, 70, 128, 40636, 53856, 16966, 2440, 214, 14, 1, 0, 256, 281488, 575296, 240368, 42256, 4248, 292, 16, 1, -252, 512, 1968934, 6225792, 3468844, 752800, 88566, 6776, 382, 18, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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数字三角形T（n，k）=2^（n-k）*LegendreP（n-k，k）；T（n，k）=总和{j=0..楼层（（n-k）/2），（-1）^j*C（n-k，j）C（2n-2k-2j，n-k）k^（n-k-2j）}。
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例子
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行开始
1;
0,1;
-2,2,1;
0,4,4,1;
6,8,22,6,1;
0,16,136,62,8,1;
-20,32,886,504,94,10,1;
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黄体脂酮素
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 17, 49, 481, 2081, 16241, 85457, 600769, 3489601, 23391697, 143000177, 938797729, 5897385313, 38397492017, 244866166289, 1590355308929, 10231490804353, 66456634775441, 429898281869489, 2795449543782241, 18150017431150241, 118194927388259057, 769438418283309649
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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（1+x+8x^2）^n的中心系数。2^n*LegendreP（n，-3）的第7个二项式变换（A084773号).
此外，使用步骤U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），从（0,0）到（n，0）的路径数，U步骤可以有8种颜色-N-E.法西2008年3月31日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..层（n/2），二项式（n-k，k）*二项式的（n，k）*8^k}。
例如：exp（x）*BesselI（0，4*sqrt（2）*x）
递归：n*a（n）=（2*n-1）*a（n-1）+31*（n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日
a（n）~平方（8+sqrt（2））*（1+4*sqrt-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日
a（n）=表层（[1/2-n/2，-n/2]，[1]，32）-彼得·卢什尼2018年3月18日
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数学
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表[级数系数[1/Sqrt[1-2*x-31*x^2]，{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-2x-31x^2]，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2017年5月14日*）
a[n]：=超几何2F1[1/2-n/2，-n/2，1，32]；
表[a[n]，{n，0，23}](*彼得·卢什尼2018年3月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（1/（1-2*x-31*x^2）^（1/2））\\乔格·阿恩特2013年5月11日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A100631号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=2*（T（n-1，k-1）-T（n-2，k-1。 |
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2
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 8, 12, 8, 1, 1, 16, 32, 32, 16, 1, 1, 32, 80, 104, 80, 32, 1, 1, 64, 192, 304, 304, 192, 64, 1, 1, 128, 448, 832, 1008, 832, 448, 128, 1, 1, 256, 1024, 2176, 3072, 3072, 2176, 1024, 256, 1, 1, 512, 2304, 5504, 8832, 10272, 8832, 5504, 2304, 512, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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对于n，k>=0，通过R（n，k）=T（n+k，k）给出了这个对称三角形阵列（T（n，k）：0<=k<=n）的矩形形式（R（n、k）:n，k>=0）。相反，T（n，k）=R（n-k，k）对于0<=k<=n。
注意，[R的o.g.f]（x，y）=[T的o.g.f]（x，y/x）和[T的o.g.f'（x，y）=[R的o.g.f'（x，x*y）。（结束）
下面所有的猜想都是正确的，因为我们只需要证明其中一个，其余的都是从被证明的猜想中得出的。
作为彼得·卢什尼指出，对于n，k>0，只需证明函数S（n，k）=2^n*超几何（[-k+1，n]，[1]，-1）满足递归S（n、k）=2*（S（n）-S（n-1，k-1）+S（n-1、k））和初始条件S（n；0）=S（0，n）=1。
这很容易实现，因为对于n>=0和k>=1，S（n，k）=2^n*Sum_{S=0}^{k-1}二项式（k-1，S）*Binominal（n+S-1，S。递归的证明依赖于恒等式二项式（m，n）=二项式。
注意，如果没有公式R（n，k）=2^n*超几何（[-k+1，n]，[1]，-1）中的2^n，我们基本上得到数组A049600型.
此外，注意，如果没有公式T（n，k+1）=2^（n-k-1）*超几何（[-k，n-k+1]，[1]，-1）中的2^（n-k-1），我们基本上得到A208341型（没有第一列和T的主对角线）。（结束）
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链接
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配方奶粉
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三角形数组的公式（T（n，k）：0<=k<=n）：
T（n，k）=0≤k≤n时的T（n、n-k）。
T（n，1）=T（n，n-1）=2^（n-1）=A000079号（n-1）对于n>=1。
T（n，2）=T（n，n-2）=（n-1）*2^（n-2）=A001787号（n-1）对于n>=2。
T（n，3）=T（n，n-3）=（n^2-n-4）*2^（n-4）=A100312号（n-3）对于n>=3。
二元o.g.f.：和{n，k>=0}T（n，k）*x^n*y^k=（3*x^2*y-2*x*y-2*1）/（1-x）*（-x*y+1）*（2*x^2%y-2*x-y+2*x+1））。
推测基于彼得·卢什尼其他序列中的公式：T（n，k）=2^（n-k）*超几何（[-k+1，n-k]，[1]，-1）=2^k*超几何。
矩形阵列的公式（R（n，k）：n，k>=0）：
R（n，k）=2*（R（n、k-1）-R（n-1，k-1）+R（n-1、k））对于n，k>0，R（n）=R（0，n）=1对于n>=0。
R（n，k）=R（k，n）对于n，k>=0。
R（3，n）=R（n，3）=（n^2+5*n+2）*2^（n-1）=A100312号（n） ●●●●。
二元o.g.f.：和{n，k>=0}R（n，k）*x^n*y^k=（3*x*y-2*x-2*y-1）/（（1-x）*（1-y）*（2*x*y-2*y-1*y））。
推测基于彼得·卢什尼在其他序列中的公式：R（n，k）=2^n*超几何（[-k+1，n]，[1]，-1）=2^k*超几何。（结束）
上述推测是正确的（见评论）。
R（n，k）=2^k*Sum_{s=0}^{n-1}二项式（n-1，s）*Binominal（k+s-1，s。
为了得到T（n，k）的两个二项式公式，对于1<=k<=n使用方程T（n、k）=R（n-k，k），对于R（n，k）使用上述公式。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）（行n>=0，列0<=k<=n）开始于：
1,
1, 1,
1, 2, 1,
1, 4, 4, 1,
1, 8, 12, 8, 1,
1, 16, 32, 32, 16, 1,
1, 32, 80, 104, 80, 32, 1,
1, 64, 192, 304, 304, 192, 64, 1,
1, 128, 448, 832, 1008, 832, 448, 128, 1,
1, 256, 1024, 2176, 3072, 3072, 2176, 1024, 256, 1,
...
矩形数组R（n，k）（行n>=0，列k>=0）开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, ...
1, 8, 32, 104, 304, 832, 2176, 5504, ...
1, 16, 80, 304, 1008, 3072, 8832, 24320, ...
1, 32, 192, 832, 3072, 10272, 32064, 95104, ...
1, 64, 448, 2176, 8832, 32064, 107712, 341504, ...
1, 128, 1024, 5504, 24320, 95104, 341504, 1150592, ...
…（结束）
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数学
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T[_，0]=T[n_，n]=1；
温度[n_，k_]/；0<k<n：=T[n，k]=2（T[n-1，k-1]-T[n-2，k-1]+T[n-1，k]）；
T[_，_]=0；
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 12, 32, 104, 304, 1008, 3072, 10272, 32064, 107712, 341504, 1150592, 3688192, 12451584, 40239104, 136053248, 442442752, 1497664512, 4894728192, 16583583744, 54419632128, 184511361024, 607524225024, 2061074178048, 6805625192448, 23100352413696, 76462341095424, 259648659554304
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={my（m=矩阵（n+1，n+1）2）\ 2]；}\\米歇尔·马库斯2021年2月10日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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