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Delannoy编号

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Delannoy数D（a，b）是来自的晶格路径数(0,0)到（b、a）其中只有东部（1,0）、北部（0,1）和东北部允许（1，1）步。，->,^、和->). 它们由重现关系

D（a，b）=D（a-1，b）+D（a、b-1）+D，
(1)

具有D（0,0）=1.也由总和给出

D（n，k）=总和（d=0）^（n）（k；d）（n+k-d；k）
（2）
=总和（d=0）^（n）2^d（k；d）（n；d）
(3)
=（n+k；k）2F_1（-n，-k；-（k+n））-1),
（4）

哪里_2F_1（a，b；c；z）是一个超几何函数.

Delannoy数的值表如下所示

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...; 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ...; 1 5 13 25 41 61 85 113 145 ...; 1 7 25 63 129 231 377 575 833。。。；1 9 41 129 321 681 1289 2241 3649。。。；1 11 61 231 681 1683 3653 7183 13073。。。
(5)

（组织环境信息系统A008288号)的m=0, 1, ... 从左到右递增n=0, 1, ... 从上到下递增。

他们有生成函数

sum_（p，q=1）^inftyD（p，q）x^py^q=（1-x-y-xy）^（-1）
(6)

（Comtet 1974，第81页）。

德拉诺编号

拿n=a=b给出了中心Delannoy数D（n，n），是从这个(0,0)一个角n×n与右上角成直角（n，n）。这些由给出

D（n，n）=P_n（3），
(7)

哪里P_n（x）是一个勒让德多项式（莫瑟1955；康泰特1974年，第81页；瓦尔迪，1991年）。另一个表达式是

D（n）=D（n，n）
(8)
=总和（k=0）^（n）（n；k）（n+k；k）
(9)
=_2F_1（-n，n+1；1，-1），
(10)

哪里（a；b）是一个二项式系数和_2F_1（a，b；c；z）是一个超几何的功能这些数字与康托设置（E.W.Weisstein，2006年4月9日）。

他们还满足了递推方程

D（n）=（3（2n-1）D（n-1）-（n-1）D（n-2））/n。
(11)

它们具有生成函数

G（x）=1/（平方米（1-6x+x^2））
(12)
=1+3x+13x^2+63x^3+321x^4+。。。。
(13)

的值D（n）对于n=1,2, ... 是3、13、63、321、1683、8989、48639。。。（组织环境信息系统A001850号).十进制数字D（10^n，10^n）对于n=0, 1, ... 是1、7、76、764、7654、76553、765549、7655510、，…（OEIS）A114470型)，其中数字接近那些log_（10）（3+2sqrt（2））=0.765551。。。（组织环境信息系统A114491号).

前几个素数Delannoy数是3，13，265729。。。（组织环境信息系统A092830号)，对应指数1、2、8。。。，没有其他人n<1.1×10^5（Weisstein，2004年3月8日）。

这个薛定谔数与Delannoy数具有相同的关系加泰罗尼亚数字执行二项式系数.

令人惊讶的是Cholesky分解平方数组的D（a，b）,转座，并将其乘以对角矩阵 诊断（2^（-0/2），2^给出了平方矩阵（即。，下三角形)的版本帕斯卡三角形（G.赫尔姆斯，pers.comm.，2005年8月29日）。

Delannoy数字阵列

美丽的分形图案可以通过绘图获得D（a，b）（修订版米)（小E.Pegg，pers.comm.，2005年8月29日）。在特别是m=3case对应于类似于希尔皮恩斯基地毯.

另请参阅

二项式系数,康托函数,加泰罗尼亚语编号,整数序列素数,莫茨金数,施密特的问题,薛定谔数

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Banderier，C.和Schwer，S.“为什么是Delannoy数字？”J.统计规划推断.http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delanue2004.ps.Comtet公司，L。高级组合数学：有限和无限扩展的艺术，英文版。预计起飞时间。多德雷赫特，荷兰：Reidel，第80-811974页。迪考·R·M·。“德拉诺伊和莫茨金数字。"http://www.prairienet.org/~pops/delanue.html.古德曼，E.和Narayana，T.V。“带对角线台阶的格子路径。”加拿大。数学。牛市。 12, 847-855, 1969.Moser，L.“国王之路”在棋盘上。"数学。加兹。 39, 54, 1955.莫瑟，L.和Zayachkowski，H.S。“带对角线台阶的格子路径。”脚本数学。 26，1963年22月22日至29日。新泽西州斯隆。答：。序列A001850号/M2942中，A008288号,A092830号,A114470型,和A114491号在线百科全书整数序列的。"D.R.股票。Jr.“晶格路径在里面电子^3带对角线台阶。"加拿大。数学。牛市。 10, 653-658, 1967.瓦尔迪，一、。计算型数学娱乐。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1991年。

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Delannoy编号

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Delannoy编号。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DelannoyNumber.html

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