%I M2942 N1184#467 2024年2月6日12:12:01

%S 1,3,13,63321168389486392657291462563809745345046719，

%电话2515959691409933619792384825344642381823252055236609，

%电话：14258347244198079317057869458494299149432605438137974411482376214227923844341416617348141245001931263

%N中部Delannoy数：a（N）=和{k=0..N}C（N，k）*C（N+k，k）。

%C n X n网格中从（0,0）到（n，n）的路径数，仅使用向北、东北和东的台阶（即台阶（1,0）、（1,1）和（0,1））。

%C另外，长度为n的两个序列（例如核苷酸或氨基酸）的对齐方式的数量，最多插入2*n个间隙（-），因此，尽管不必要的间隙：-aa--是禁止的，但b-和-b都是允许的。（如果只允许后者中的其他，则序列A000984给出了定线的数量。）Dickau给出的网格行走很容易与此类定线集进行双向投影（例如，直线对角线对应于无间隙的完美定线）_Antti Karttunen，2001年10月10日

%C数组A008288的主对角线也由m（i，1）=m（1，j）=1，m（i、j）=m_Benoit Cloitre_，2002年5月3日

%C因此，作为_Dmitry Zaitsev 2015年12月10日对A008288的评论的特例，a（n）是Z^n中距离任何给定点的L1（曼哈顿）距离<=n的点数。这些项出现在水晶球序列中：a（n）这是n维立方晶格序列中的第n项。有关水晶球序列的列表（A008288的行或列），请参见A008288-_Shel Kaphan，2022年12月26日

%C a（n）是具有2*n个齿的梳状图的n-匹配数。示例：a（2）=13，因为由水平路径ABCD和齿Aa、Bb、Cc、Dd组成的图有13个2-匹配：六个可能的齿对中的任意一个，以及{Aa、BC}、{Aa和CD}、}Bb、CD}，{Cc、AB}、｛Dd，AB}，｝{Dd，BC}，｛AB，CD}_Emeric Deutsch，2002年7月2日

%C具有2*n+1条边的有序树的数目，其根为奇数次，非根节点最多为2次，分支为奇数长度_Emeric Deutsch，2002年8月2日

%C（（1-x）/（1-2*x））^n的前n个系数之和是a（n-1）_迈克尔·索莫斯，2003年9月28日

%C A063007和A105870的行总和。-_保罗·巴里（Paul Barry），2005年4月23日

%C该序列的Hankel变换（定义见A001906）为A036442:1、4、32、512、16384_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2005年7月3日

%C此外，仅使用步骤U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），从（0,0）到（n，0）的路径数，U可以有2种颜色，H可以有3种颜色_N-E.Fahssi，2008年1月27日

%C等于三角形A152250的行和和A109990的INVERT变换：（1，2，8，36，172，852，…）_Gary W.Adamson_，2008年11月30日

%C n X n框中的过分割数（将第一条注释中的行走类型视为过分割，将NE步骤解释为n，E，由此创建的部分被覆盖）_William J.Keith，2017年5月19日

%C有理函数的对角线1/（1-x-y-x*y），1/（1-x-y*z-x*y*z）_Gheorghe Coserea，2018年7月3日

%Delannoy范畴中自同态代数End（R^{（n）}）的C维附属于实线保序自双射的寡形群_诺亚·斯奈德，2023年3月22日

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%H Yi Wang、Sai-Nan Zheng和Xi Chen，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.disc.2019.04.003“>Delannoy数的分析方面</a>，离散数学342.8（2019）：2270-2277。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Delannoy数字.html“>Delannoy编号。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SchmidtsProblem.html“>Schmidt问题。

%H W.-J.Woan，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL4/WOAN/hankel2.html“>Hankel Matrices and Lattice Paths，J.Integer Sequences，4（2001），#01.1.2。

%H E.X.W.Xia和O.X.M.Yao，<a href=“https://doi.org/10.37236/3412“>组合序列对数凸性的一个准则，组合数学电子杂志，20（2013），#P3。

%H Lin Yang、Yu Yuan Zhang和Sheng Liang Yang，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.laa.2023.12.021“>Delannoy矩阵的一半和m-Schröder路径的Chung-Feller性质</a>，线性算法应用（2024）。

%F a（n）=P_n（3），其中P_n是第n个勒让德多项式。

%总面积：1/sqrt（1-6*x+x^2）。

%F a（n）=a（n-1）+2*A002002（n）=和{j}A063007（n，j）_Henry Bottomley，2001年7月2日

%F渐近展开中的主导项是二项式（2*n，n）/2^（1/4）*（（sqrt（2）+1）/2）^（2*n+1）*（1+c_1/n+c_2/n^2+…）_迈克尔·戴维·赫施霍恩_

%F a（n）=总和{i=0..n}（A000079（i）*A008459（n，i））=总和_{i=0..n}（2^i*C（n，i）^2）.-Antti Karttunen，2001年10月10日

%F a（n）=和{k=0..n}C（n+k，n-k）*C（2*k，k）.-_Benoit Cloitre_，2003年2月13日

%F a（n）=和{k=0..n}C（n，k）^2*2^k.-Michael Somos_，2003年10月8日

%F a（n-1）=A120588（x）^n中x ^n的系数，如果n>=0.-_Michael Somos，2012年4月11日

%a（n-1）的F G.F.=1/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/）））_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月11日

%F INVERT转换为A109980。二进制转换为A080609。A006139的二进制转换。PSUM转换为A089165。PSUMSIGN转换为A026933。第一个向后差是A110170_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月11日

%例如：exp（3*x）*BesselI（0,2*sqrt（2）*x）_Vladeta Jovovic_，2004年3月21日

%Fa（n）=Sum_{k=0..n}C（2*n-k，n）*C（n，k）.-_Paul Barry_，2005年4月23日

%F a（n）=和{k>=n}二项式（k，n）^2/2^（k+1）_Vladeta Jovovic_，2006年8月25日

%2006年9月23日，Z.-Michael Somos_中所有n的F a（n）=a（-1-n）

%带递归的F D-有限：a（-1）=a（0）=1；n*a（n）=3*（2*n-1）*a（n-1）-（n-1。JIS 9（2006）#06.2.7中_T.D.Noe_的文章中的等式（4）。

%F通过（i，j>0）定义一般Delannoy数：d（i，0）=d（0，j）=1=：d（0,0）和d。则a（k）=和{j>=0}d（k，j）^2+d（k-1，j）*2=A026933（n）+A026932（n-1）。这是一般Delannoy数的以下公式的特例：d（k，j）=和{i>=0，p=0..n}d（p，i）*d（n-p，j-i）+d（p-1，i）*d（n-p-1，j-i-1）_Peter E John，2006年10月19日

%F（1+3*x+2*x^2）^n.-n-E.Fahssi_中的x^n系数，2008年1月11日

%F a（n）=A008288（A046092（n））_Philippe Deléham，2009年4月8日

%F G.F.：1/（1-x-2*x/（1-x-x/（1-x-x/（1-x-x/（1-…（续分数））_保罗·巴里，2009年5月28日

%F G.F.：d/dx日志（1/（1-x*A001003（x）））_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2011年4月19日

%F G.F.：1/（2*Q（0）+x-1），其中Q（k）=1+k*（1-x）-x-x*（k+1）*（k+2）/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年3月14日

%F a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（n+k，k）.-_Joerg Arndt_，2013年5月11日

%F G.F.:G（0），其中G（k）=1+x*（6-x）*（4*k+1）/（4*k+2-2*x*（6x）*；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年6月22日

%F G.F:2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（6-x）*（2*k-1）/（x*（6-x）*；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年7月16日

%F G.F.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（6-x）*（2*k+1）/（x*（6-x）*；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年7月17日

%F a（n）^2=和{k=0..n}2^k*C（2*k，k）^2*C（n+k，n-k）=A243949（n）.-_Paul D.Hanna，2014年8月17日

%F a（n）=超几何（[-n，-n]，[1]，2）.-_Peter Luschny_，2014年11月19日

%F a（n）=和{k=0..n/2}C（n-k，k）*3^（n-2*k）*2^k*C（n，k）.-_Vladimir Kruchinin，2015年6月29日

%F a（n）=A049600（n，n-1）。

%F a（n）=和{0<=j，k<=n}（-1）^（n+j）*C（n，k）*C。参见A126086和A274668_Peter Bala_，2020年1月15日

%F a（n）~c*（3+2*sqrt（2））^n/sqrt（n），其中c=1/sqrt（4*Pi*（3*sqrt（2）-4））=0.572681…（Banderier和Schwer，2005）。-_Amiram Eldar，2020年6月7日

%F a（n+1）=3*a（n）+2*Sum_{l=1..n}A006318（l）*a（n-l）。【齐世国（2016）式（1.16）】

%F a（n）~（1+平方（2））^（2*n+1）/（2^（5/4）*sqrt（Pi*n））_Vaclav Kotesovec_，2023年1月9日

%总长度=1+3*x+13*x ^2+63*x ^3+321*x ^4+1683*x ^5+8989*x ^6+。。。

%p seq（加（多项式（n+k，n-k，k，k），k=0..n），n=0..20）；#_Zerinvary Lajos，2006年10月18日

%p seq（矫形[p]（n，3），n=0..100）；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年11月3日

%t f[n_]：=和[二项式[n，k]二项式[n+k，k]，{k，0，n}]；数组[f，21，0]（*或*）

%ta[0]=1；a[1]=3；a[n]：=a[n]=（3（2 n-1）a[n-1]-（n-1）a[n-2]）/n；数组[a，21，0]（*或*）

%t系数列表[系列[1/Sqrt[1-6x+x^2]，{x，0，20}]，x]（*_Robert G.Wilson v_*）

%t表[LegendreP[n，3]，{n，0，22}]（*_Jean-François Alcover_，2012年7月16日，来自第一个公式*）

%t a[n_]：=超几何2F1[-n，n+1，1，-1]；表[a[n]，{n，0，22}]（*Jean-François Alcover_，2013年2月26日*）

%t a[n_]：=与[{m=如果[n<0，-1-n，n]}，级数系数[（1-6x+x^2）^（-1/2），{x，0，m}]]；（*迈克尔·索莫斯，2015年6月10日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；polceoff（1/sqrt（1-6*x+x^2+x*o（x^n）），n）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年9月23日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；子集（pollegendre（n），x，3）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年9月23日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；n++；subst（Pol（（1-x）/（1-2*x）+o（x^n））^n），x，1）；}/*_Michael Somos_，2006年9月23日*/

%o（PARI）a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+3*x+2*x^2）^n，n））

%o（PARI）/*与A092566中相同，但使用*/

%o步数=[[1,0]，[0,1]，[1,1]]；/*_Joerg Arndt_，2011年6月30日*/

%o（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）*二项式_Joerg Arndt_，2013年5月11日

%o（PARI）x='x+o（'x^100）；Vec（1/sqrt（1-6*x+x^2））\\阿尔图加·阿尔坎，2015年10月17日

%o（Python）#来自Nick Hobson。

%o定义f（a，b）：

%o如果a==0或b==0：

%o返回1

%o返回f（a，b-1）+f（a-1，b）+f（a-1，b-1）

%o[f（n，n）代表范围（7）中的n]

%o（Python）

%o从gmpy2导入divect

%o A001850=[1,3]

%o表示范围（2,10**3）内的n：

%o A001850.追加（精确（A001850[-1]*（6*n-3）-（n-1）*A001850[-2]，n））

%o#_Chai Wah Wu_，2014年9月1日

%o（极大值）a（n）：=系数（展开（（1+3*x+2*x^2）^n），x，n）；

%o名单（a（n），n，0,12）；/*_伊曼纽尔·穆纳里尼（Emanuele Munarini），2011年3月2日*/

%o（鼠尾草）

%o a=λn：超几何（[-n，-n]，[1]，2）

%o[简化范围（23）内n的（a（n））]#_Peter Luschny_，2014年11月19日

%Y参见A008288，A026003、A027618、A047665、A052141、A084773、A152250、A109980、A000129、A078057、A243949的二等分。

%Y A064861的主对角线。

%A262809和A263159的Y列k=2。

%不，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E新名称和参考1995年9月15日

%E公式和更多参考资料摘自_Don Knuth_1996年5月15日