搜索： a001353-编号：a001353
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1, 15, 209, 2911, 40545, 564719, 7865521, 109552575, 1525870529, 21252634831, 296011017105, 4122901604639, 57424611447841, 799821658665135, 11140078609864049, 155161278879431551, 2161117825702177665, 30100488280951055759, 419245718107612602961, 5839339565225625385695
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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具有丢番图性质的切比雪夫S序列。
随着n的增加，该序列近似几何，公比r=lim（n->oo，a（n）/a（n-1））=（2+sqrt（3））^2=7+4*sqrt-蚂蚁之王2011年11月15日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第329页。
J.D.E.Konhauser等人，《自行车走哪条路？》？，MAA 1996，第104页。
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链接
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Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。见第13节。
F.V.Waugh和M.W.Maxfield，侧面和对角线数字，数学。Mag.，40（1967），74-83。
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配方奶粉
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当n>1时，a（n）=14*a（n-1）-a（n-2）。
G.f.:x*（1+x）/（1-14*x+x^2）。
a（n）=（ap^（2*n+1）-am^（2%n+1））/（ap-am），其中ap:=2+sqrt（3）和am:=2-sqrt（2）。
a（n+1）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（2*n-k，k）*16^（n-k），n>=0。
a（n）~1/6*sqrt（3）*（2+sqert（3））^（2*n-1）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
定义f（x，s）=s*x+sqrt（（s^2-1）*x^2+1）；f（0，s）=0。a（n）=f（a（n-1），7）+f（a（n-2），7）-马科斯·卡雷拉2006年12月27日
a（n）=1/6*sqrt（3）*（（tan（5*Pi/12））^（2n-1）-（tan。
a（n）=地板（1/6*sqrt（3）*（tan（5*Pi/12））^（2n-1））。
（结束）
例如：1-exp（7*x）*（3*cosh（4*sqrt（3）*x）-2*sqrt（3）*sinh（4*sqlt（3）**）/3-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年12月12日
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MAPLE公司
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seq（系数（级数（（1+x）/（1-14*x+x^2），x，n+1），x、n），n=0..30）#G.C.格鲁贝尔2019年12月6日
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数学
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线性递归[{14，-1}，{1，15}，17](*蚂蚁之王2011年11月15日*）
系数列表[级数[（1+x）/（1-14x+x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2014年6月17日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[（lucas_number2（n，14，1）-lucas_nomber2（n-1，14，l））/12表示（1，18）范围内的n]#零入侵拉霍斯2009年11月10日
（PARI）Vec（（1+x）/（1-14*x+x^2）+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年6月16日
（PARI）isok（n）=异多角形（n^2，8）\\米歇尔·马库斯2017年7月9日
（岩浆）I:=[1,15]；[n le 2选择I[n]else 14*自我（n-1）-自我（n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月6日
（间隙）a:=[1,15]；；对于[3..30]中的n，做a[n]：=14*a[n-1]-a[n-2]；od；a#G.C.格鲁贝尔，2019年12月6日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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扩展
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删除了错误的重复关系蚂蚁之王2011年11月15日
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状态
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经核准的
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0, -1, -4, -15, -56, -209, -780, -2911, -10864, -40545, -151316, -564719, -2107560, -7865521, -29354524, -109552575, -408855776, -1525870529, -5694626340, -21252634831, -79315912984, -296011017105, -1104728155436, -4122901604639, -15386878263120, -57424611447841
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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G.f.:-x/（1-4*x+x^2）。
a（n）=4*a（n-1）-a（n-2）；a（0）=0，a（1）=-1。
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MAPLE公司
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a[0]：=0:a[1]：=-1：对于从2到27的n，执行a[n]：=4*a[n-1]-a[n-2]od:seq（a[n'，n=0..27）；
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数学
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线性递归[{4，-1}，{0，-1}，30](*哈维·P·戴尔2019年11月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（-x/（1-4*x+x^2））\\G.C.格鲁贝尔2018年2月5日
（岩浆）I:=[0，-1]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2018年2月5日
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交叉参考
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关键词
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签名，容易的，较少的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 8, 45, 224, 1045, 4680, 20377, 86912, 364905, 1513160, 6211909, 25290720, 102251773, 410963336, 1643288625, 6541692416, 25939798993, 102503274120, 403800061789, 1586318259680, 6216231359205, 24304019419592, 94826736906697, 369285078314880, 1435615286196025
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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在x=2时计算的第一类切比雪夫多项式的导数。
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链接
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里戈伯托·弗洛雷斯（Rigoberto Flórez）、罗宾逊·希吉塔（Robinson Higuita）和安塔拉·穆克吉（Antara Mukherjee），类Hosoya多项式三角形中的大卫之星和其他模式《整数序列杂志》，第21卷（2018年），第18.4.6条。
R.Flórez、N.McAnally和A.Mukherjees，广义斐波那契多项式的恒等式《整数》，18B（2018），论文编号A2。
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配方奶粉
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通用格式：x*（1-x）*（1+x）/（1-4*x+x^2）^2。
a（n）=（（（-（2-sqrt（3）））^n+（2+sqrt。
当n>4时，a（n）=8*a（n-1）-18*a（n-2）+8*a（n3）-a（n-4）。
（结束）
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数学
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表[D[ChebyshevT[n，x]，x]/。x->2，{n，25}]
系数列表[级数[-x（x^2-1）/（x^2-4x+1）^2，{x，0，24}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年8月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x*（1-x）*（1+x）/（1-4*x+x^2）^2+O（x^40））\\科林·巴克2018年7月28日
（PARI）a（n）=子集（导数（polchebyshev（n）），x，2）\\米歇尔·马库斯2018年7月29日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1,1
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评论
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这个商和它所基于的Lucas序列U（4，1）都没有一个通用名称；但其基本判别式3将其置于基于Pell序列U（2，-1）的商与判别式2之间(A000129号)以及基于斐波那契序列U（1，-1）的判别式5(A000045号). p值除以Pell商可在下找到238736英镑而对于斐波那契商，已知没有这样的p<9.7*10^14。
对这一系列数论商数的兴趣来自H.C.Williams，“关于实二次域基本单位的一些公式”，第440页，它证明了一个将当前商数与费马商数基数2联系起来的公式(A007663号)，费马商基数3(A146211号)，以及谐波数H（地板（p/12））（参见下面的公式部分）。众所周知，每个费马商的消失都是费马大定理第一种情况失败的必要条件（参见下面的讨论A001220号和A014127号); Dilcher和Skula证明了关于这类调和数的相应结果。因此，基于U（4，1）的商的消失模p也是费马最后定理第一种情况失败的必要条件。
这一商数的先驱计算似乎是Elsenhans和Jahnel的计算，“斐波那契序列模p^2”，第5页，他们报告103是a（n）<10^9的唯一值。将搜索范围扩大到p<2.5*10^10，只找到了一个进一步的解决方案，即2297860813。
让卢卡斯商（p）=A001353号（p-（3/p））/p，q_2=（2^（p-1）-1）/p=A007663号（p） 是基2的相应费马商，q_3=（3^（p-1）-1）/p=A146211号（p） 是基3的相应费马商，H（floor（p/12））是调和数。然后Williams（1991）证明了6*（3/p）*Lucas商（p）==-6*q_2-3*q_3-2*H（floor（p/12））（mod p）。
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链接
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例子
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卢卡斯商（103）=103*851367555454046677501642274766916900879231854719584128208。
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数学
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以下标准是等效的：
初级Q[p]&&
Mod[（矩阵幂[{{1，2}，{1，3}}，p-JacobiSymbol[3，p]-1].{{1}，}}）[[2，1]]，p^2]==0
PrimeQ[p]和Mod[Last[LinearRecurrence[{4，-1}，{0，1}，p-JacobiSymbol[3，p]+1]]，p^2]==0
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黄体脂酮素
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（PARI）isprime（p）&&（Mod（[2，2；1，0]，p^2）^（p-kronecker（3，p）））[2，1]==0\\这个用于寻找该序列第二个成员的测试是基于A238736型设计人查尔斯·格里特豪斯四世
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交叉参考
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关键词
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非n，坚硬的，更多，布雷夫
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 2, 3, 6, 4, 4, 9, 6, 5, 6, 6, 4, 3, 8, 9, 18, 5, 6, 12, 10, 11, 12, 15, 6, 27, 4, 15, 6, 16, 16, 15, 18, 12, 18, 18, 10, 6, 12, 7, 12, 11, 10, 9, 22, 23, 24, 28, 30, 9, 6, 9, 54, 15, 4, 15, 30, 29, 6, 30, 16, 36, 32, 6, 30, 17, 18, 33, 12, 7, 36, 18, 18, 15
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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Pell方程x^2-3*（n*y）^2=1的基本解是满足y==0（mod n）的x^2-3*y^2=1的最小解。
对于素数p>2，2^p-1是梅森素数当且仅当a（2^p-1）=2^（p-1）。例如，a（7）=4，a（31）=16，a（127）=64，但a（2047）=495<1024-宋嘉宁2022年6月2日
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参考文献
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迈克尔·雅各布森（Michael J.Jacobson，Jr.）和休·C·威廉姆斯（Hugh C.Williams），《求解佩尔方程》，斯普林格出版社，2009年，第1-17页。
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链接
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H.W.Lenstra Jr。，求解Pell方程，AMS公告，第49卷，第2号，2002年2月，第182-192页。
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配方奶粉
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a（n）<=n。
如果n | m，则a（n）| a（m）。
当m>=0时，a（3^m）=3^m，a（2*3^m。
一般来说：如果p是素数且p==3（mod 4），则：a（n）=n iff n=p^m或n=2*p^m，对于m>=0。
a（p^e）=a（p）*p^（e-r）表示e>=r，其中r是最大的数，因此a（p*r）=a。r可以大于1，p=2，103，2297860813（参考。A238490型).
如果gcd（m，n）=1，则a（m*n）=lcm（a（m），a（n））。（结束）
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数学
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使用[{s=Array[ChebyshevU[-1+#，2]&，75]}，Table[FirstPosition[s，k_/；Divisible[k，n]][[1]，{n，Length@s}]](*迈克尔·德弗利格2018年1月15日之后埃里克·韦斯特因在A001353号*)
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黄体脂酮素
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（Python）
xf，yf=2，1
x、 n=2*xf，0
当n<20000时：
n=n+1
y1，y0，i=0，yf，1
而y0%n！=0:
y1，y0，i=y0，x*y0-y1，i+1
打印（n，i）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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35, 65, 91, 209, 455, 533, 595, 629, 679, 901, 923, 989, 1001, 1241, 1295, 1495, 1547, 1729, 1769, 1855, 1961, 1991, 2015, 2345, 2431, 2509, 2555, 2639, 2701, 2795, 2911, 3007, 3059, 3367, 3439, 3535, 3869, 3977, 4277, 4823, 5249, 5291, 5551, 5719, 5777
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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对于a，b整数，广义Lucas序列由关系U（n+2）=a*U（n+1）-b*U（n）和U（0）=0，U（1）=1定义。
对于p素数和b=1，-1，这个序列满足关系U（p）^2==1。
具有这种性质的复合数可以称为参数a和参数b的弱广义Lucas伪素数。
当前序列是为a＝4和b＝1定义的。
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参考文献
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D.Andrica和O.Bagdasar，递归序列：关键结果、应用和问题。施普林格（2020）。
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链接
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数学
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选择[Range[3，6000，2]，CompositeQ[#]&Divisible[ChebyshevU[#-1，2]*ChebyshevU[#-1、2]-1、#]&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 14, 161, 1792, 19809, 218638, 2412353, 26614784, 293628097, 3239445006, 35739069409, 394290020096, 4349990523425, 47991114171406, 529460241815169, 5841251080892416, 64443392518654337, 710969410782059534
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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由R.Guy于2009年3月28日在seqfan列表中提出。
偏移量为1时，该序列是Williams和Guy发现的4阶线性可除序列的3参数族中的P1=14、P2=32、Q=1的情况-彼得·巴拉2014年4月27日
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链接
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H.C.Williams和R.K.Guy，一些四阶线性可除序列，《国际数论》7（5）（2011）1255-1277。
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配方奶粉
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a（n）=14*a（n-1）-34*a。
通用格式：（1-x^2）/（1-14*x+34*x^2-14*x*^3+x^4）。
以下备注假定偏移量为1。
a（n）=（1/sqrt（17））*（T（n，（7+sqrt（17））/2）-T（n，（7-sqrt（17））/2）），其中T（n，x）是第一类切比雪夫多项式。
a（n）=2X2矩阵T（n，M）的左下方条目，其中M是2X2阵[0，-8；1，7]。
a（n）=U（n-1,1/2*（4+sqrt（2）））*U（n-1.1/2*（4-sqrt）），其中U（n，x）是第二类切比雪夫多项式。
请参阅中的备注A100047号第一类切比雪夫多项式与四阶线性可除序列之间的一般联系。（结束）
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MAPLE公司
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seq（简化（切比雪夫U（n，（4+sqrt（2））/2）*ChebyshevU。。20); #G.C.格鲁贝尔2019年12月24日
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数学
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系数列表[级数[（1-x^2）/（1-14x+34x^2-14x^3+x^4），{x，0，20}]，x](*文森佐·利班迪2014年4月28日*）
表[简化[ChebyshevU[n，（4+Sqrt[2]）/2]*ChebyshevU[n，（4-Sqrt[2]）/2]]，{n，0，20}](*G.C.格鲁贝尔2019年12月24日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I：=[1,141611792]；[n le 4选择I[n]else 14*自我（n-1）-34*自我（n-2）+14*自我，n-3）-自我（n-4）：[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2014年4月28日
（PARI）向量（21，n，round（polchebyshev（n-1，2，（4+sqrt（2））/2）*polchebyshev（n-1，2（4-sqrt\\G.C.格鲁贝尔2019年12月24日
（鼠尾草）[圆形（切比雪夫_U（n，（4+sqrt（2））/2）*chebyshev_U（n，（4-sqrt，2）/2））用于n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月24日
（间隙）a:=[1,141611792]；；对于[5..20]中的n，做a[n]：=14*a[n-1]-34*a[2]+14*a[3]-a[n-4]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年12月24日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A337778飞机
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| 奇数复合整数m，其中U（m）^2==1（mod m），V（m）==4（mod m），其中U=A001353号（m） 和V（m）=A003500型（m） 分别是参数a=4和b=1的第m个广义Lucas数和Pell-Lucas数。 |
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+20
三
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209, 455, 901, 923, 989, 1295, 1729, 1855, 2015, 2345, 2639, 2701, 2795, 2911, 3007, 3439, 3535, 4823, 5291, 5719, 6061, 6767, 6989, 7421, 8569, 9503, 9869, 10439, 10609, 11041, 11395, 11951, 13133, 13529, 13735, 13871, 14701, 14839, 15505, 15841, 17119, 17815
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于a，b整数，定义了以下序列：
U（n+2）=a*U（n+1）-b*U（n）和U（0）=0，U（1）=1的广义Lucas序列，
将Pell-Lucas序列推广为V（n+2）=a*V（n+1）-b*V（n）和V（0）=2，V（1）=a。
这些满足p素数和b=1，-1的恒等式U（p）^2==1和V（p）==a（mod p）。
这些数字可以称为参数a和b的弱广义Lucas Bruckner伪素数。当前序列定义为a=4和b=1。
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链接
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数学
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选择[Range[3，10000，2]，CompositeQ[#]&&Divisible[2*ChebyshevT[#，2]-4，#]&&Divisibe[ChebyshevU[#-1，2]*ChebysevU[#1，2]-1，#]&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 13, 172, 2356, 32661, 454329, 6325816, 88099144, 1227032521, 17090245381, 238035989412, 3315412063548, 46177727142301, 643172746439665, 8958240642814960, 124772195953666576, 1737852501591502353, 24205162822158610557, 337134426993071036956, 4695676815022772628676, 65402340983109050660389
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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对于Lucas序列U（k，1），前n项的立方体的和可被前n项的和整除。该序列对应于k=4的情况。
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链接
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配方奶粉
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当n>5时，a（n）=19*a（n-1）-76*a（n-2）+76*a（n3）-19*a（-n4）+a（n-5）。
通用格式：x*（1-6*x+x^2）/（（1-x）*（1-14*x+x^2）*（1-4*x+x^2。
（结束）
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数学
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系数列表[级数[（1-6x+x^2）/（1-x）（1-14x+x*2）（1-4x+x^2）），{x，0，33}]，x](*文森佐·利班迪2015年12月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x*（1-6*x+x^2）/（（1-x）*（1-14*x+x^2）*（1-4*x+x^2”）+O（x^30））\\科林·巴克2015年12月8日
（岩浆）I：=[1，13，172，2356，32661]；[n le 5选择I[n]else 19*自我（n-1）-76*自我（n-2）+76*自我（n-3）-19*自我（n-4）+自我（n-5）：[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2015年12月9日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 15, 14, 209, 13, 2911, 194, 2703, 181, 564719, 193, 7865521, 2521, 34945, 37634, 1525870529, 2701, 21252634831, 37441, 6779137, 489061, 4122901604639, 37633, 274758906449, 6811741, 19726764303, 7263361, 11140078609864049, 40321, 155161278879431551
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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如果没有其他素数q，使得1/q的周期长度等于1/p的周期长度，则素数p称为基b中的唯一周期素数。如果q=A（2p）=A001353号（2*p）/（4*A001353号（p） ）=（（2+sqrt（3））^p+（2-sqrt，3）^p）/4是素数（p=3，5，7，11，13，17，19，79，151，199，233，251，317，…），其中p是奇数素数，那么q是基b=（sqrt 6）。例如，a（6）=13是素数，所以13是倒数在22进制中周期长度为3的唯一素数，也是倒数在23进制中周期长为6的唯一素数。比较：如果q=A000129号（p）=A008555号（p） 则q是以b=sqrt（2*q^2-1）为基数的唯一周期素数（1/q的周期长度为4）。
通过Lucas Lehmer检验，p是Mersenne素数>3，当且仅当p除a（k）的最小k为k=（p-1）/2。
对于素数p，当且仅当p=2或p在A238490型如果p>2，k的唯一可能值是（p-勒让德（3，p））/2的除数（例如，103^2除以a（52）=53028360515521=103^2*4998431569）。
推测一定有无穷多个素数p，使得a（p）是素数，但这样的p是未知的。
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链接
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配方奶粉
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例子
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黄体脂酮素
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（PARI）b（n）=如果（n==1，[1]，my（v=向量（n））；v[1]=1；v[2]=4；对于（i=3，n，v[i]=4*v[i-1]-v[i-2]）；v）
a（n）=my（d=除数（n））；触头（i=1，#d，（b（n）[d[i]]）^莫比乌斯（n/d[i]））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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