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| A008292号 |
| 行读取的欧拉数T（n，k）三角形（n>=1，1<=k<=n）。 |
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401
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1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 11, 11, 1, 1, 26, 66, 26, 1, 1, 57, 302, 302, 57, 1, 1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1, 1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1, 1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1, 1, 1013, 47840, 455192, 1310354, 1310354, 455192, 47840, 1013, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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欧拉多项式的系数。具有k-1的n个对象的排列数增加。具有n+1个节点和k个叶子的增加根树的数量。
T（n，k）=[n]的排列数，k次。T（n，k）=需要k读数的[n]排列数（参见Knuth参考）。T（n，k）=[n]在其反演表中有k个不同项的置换数-Emeric Deutsch公司2004年6月9日
T（n，k）=写入Coxeter元素的方法数量_{e1}秒_{e1-e2}秒_{e2-e3}s_{e3-e4}。。。s{e_{n-1}-en}类型B_n的反射群，使用s{e_k}和形式s{e_i+e_j}的少量反射，其中i=1，2。。。，n和j尽可能不等于iPramook Khungurn（Pramook（AT）mit.edu），2004年7月7日
T（n，k）/n！也表示被（n-1）维超平面x_1+x_2+。。。x_n=k，x_1+x_2+。。。x_n＝k-1；或者，等价地，它表示均匀分布在0和1之间的n个独立随机变量之和介于k-1和k.之间的概率。-Stefano Zunino，2006年10月25日
[E（.，t）/（1-t）]^n=n*滞后[n，-P（.，t）/（1-t）]和[-P*Lag[n，E（.，t）/（1-t）]本影包括组合拉盖尔变换对，其中E（n，t）是欧拉多项式，P（n，t）是A131758号. -汤姆·科普兰2007年9月30日
G（x，t）=1/（1+（1-exp（x*t））/t）=1+1*x+（2+t）*x^2/2！+（6+6*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A090582号，置换面体的反向f多项式（参见A019538年).
G（x，t-1）=1+1*x+（1+t）*x^2/2！+（1+4*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A008292号，永曲面的h多项式（Postnikov等人）。
G（（t+1）*x，-1/（t+1”）=1+（1+t）*x+（1+3*t+2*t^2）*x^2/2！+。。。给出了行多项式A028246号.
（结束）
[n]上的一个次超函数f是一个映射f:[n]->[n]，其中1<=f（i）<=i代表所有i，1<=i<=n。T（n，k）等于[n]的子超函数f的数目，因此f的图像具有基数k[Mantaci&Rakotondrajao]。例T（3,2）=4：如果我们用单词f（1）f（2）标识一个次超函数f。。。f（n）则[3]上的次超函数是111、112、113、121、122和123，并且其中四个函数具有基数为2的图像集-彼得·巴拉2008年10月21日
n>=1的多项式E（z，n）=分子（和{k>=1}（-1）^（n+1）*k^n*z^（k-1））直接导致欧拉数的三角形-约翰内斯·梅耶尔2009年5月24日
来自Walther Janous（walter.Janous（AT）tirol.com），2009年11月1日：（开始）
（欧拉）多项式e（n，x）=Sum_{k=0..n-1}T（n，k+1）*x^k也是无穷和的闭式表达式的分子：
S（p，x）=和{j>=0}（j+1）^p*x^j，即
当|x|<1且p为正整数时，S（p，x）=e（p，x）/（1-x）^（p+1）。
（注意在列出公式部分的部分中T（n，k）的用法不一致。我默认第一条。）（结束）
如果n是奇数素数，那么第（n-2）-和（n-1）-行的所有数字都在级数k*n+1中-弗拉基米尔·舍维列夫2011年7月1日
欧拉三角形是求和{k=1..n}k^j的第r次连续求和公式中的一个元素，它似乎是求和_{k=1..n}T（j，k-1）*二项式（j-k+n+r，j+r）-加里·德特利夫斯2011年11月11日
Li和Wong证明T（n，k）计算了具有n+1个顶点和角度之和（2*k-n-1）*Pi的组合不等星多边形。一个等价的公式是：定义对称群S_n中置换p的总符号变化S（p）等于和{i=1..n}符号（p（i）-p（i+1）），其中取p（n+1）=p（1）。T（n，k）给出了q（1）=1且S（q）=2*k-n-1的S_（n+1）中置换数q。例如，T（3,2）=4，因为在S_4中，置换（1243）、（1324）、（1342）和（1423）的总符号变化为0-彼得·巴拉2011年12月27日
Xiong、Hall和Tsao提到Riordan，并提到传统的欧拉数a（n，k）是（1，2…n）具有k弱超越的置换数-苏珊·维南德2014年8月25日
与代数几何/拓扑和特征类的联系在Buchstaber和Bunkova、Copeland、Hirzebruch、Lenart和Zainoulline、Losev和Manin以及Sheppard联系中进行了讨论；科普兰的格拉斯曼人、法伯人和波斯尼科夫人、谢泼德人和威廉姆斯人；以及合成反演和微分算子，在科普兰和帕克链接中-汤姆·科普兰2015年10月20日
公式中提到的双变量例如f.与Aluffi-Marcolli链接中讨论的某些图中的乘法边有关。见第42页-汤姆·科普兰2016年12月18日
行多项式P（n，x）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x^k出现在o.g.f.g（n，x）=Sum _{m>=0}S（n，m）*x ^m的分子中，对于n>=1，S（n、m）=Sum _}j=0..m}j^n，作为g（n、x）=Sum_}k=1..n}P（n、x）/（1-x）^（n+2）对于n>=0（0^0=1）。另请参见三角形A131689型2017年3月31日，对改写后的表格发表评论。例如，f见A028246号2017年3月13日发表评论-沃尔夫迪特·朗2017年3月31日
有关埃尔哈特多项式、多面体体积、多对数、托德算子和其他特殊函数、多项式和序列的关系，请参见A131758号以及其中的参考文献-汤姆·科普兰2017年6月20日
超单体的归一化体积，归于拉普拉斯。（参见De Loera等人的参考文献，第327页。）-汤姆·科普兰，2018年6月25日
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参考文献
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配方奶粉
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T（n，k）=k*T（n-1，k）+（n-k+1）*T（n-1，k-1），T（1，1）=1。
T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j）。
例如，A（x，q）=和{n>0}（和{k=1..n}T（n，k）*q^k）*x^n/n！=q*（e^（q*x）-e^x）/（q*e^x-e^（q*x））满足dA/dx=（A+1）*（A+q）-迈克尔·索莫斯2011年3月17日
对于列列表，第n项：T（c，n）=c^（n+c-1）+Sum_{i=1..c-1}（-1）^i/i*（c-i）^（n+c-1）*产品{j=1..i}（n+c+1-j）-Randall L Rathbun公司2002年1月23日
来自John Robertson（jpr2718（AT）aol.com），2002年9月2日：（开始）
欧拉数T（i，n）的四个特征：
1.当n>=1时，T（0，n）=1；当i>=1，T（i，1）=0。
2.T（i，n）=和{j=0..i}（-1）^j*二项式（n+1，j）*（i-j+1）^n，对于n>=1，i>=0。
3.设C_n是R^n中具有顶点（e_1，e_2，…，e_n）的单位立方体，其中每个e_i为0或1，并使用所有2^n组合。那么T（i，n）/n！是超平面x_1+x_2+…+之间C_n的体积x_n=i和x_1+x_2+…+x_n=i+1。因此T（i，n）/n！是i<=X_1+X_2+…+的概率X_n＜i+1，其中X_j是独立的均匀[0，1]分布。-参见Ehrenborg&Readdy参考。
4.设f（i，n）=T（i，n）/n！。f（i，n）是唯一系数，因此当n>=1且abs（r）>1时，（1/（r-1）^（n+1））Sum_{i=0..n-1}f（i、n）r^{i+1}=Sum_}j>=0}（j^n）/（r^j）。（结束）
第n行的O.g.f.：（1-x）^（n+1）*polylog（-n，x）/x-弗拉德塔·乔沃维奇2002年9月2日
三角形T（n，k），n>0和k>0，按行读取；由[0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6，…]DELTA[1,0,2,0,3,1,4,0，5,0，6，…]（散布着0的正整数）给出，其中DELTA是在A084938号.
Bell_n（x）=求和{j=0..n}S2（n，j）*x^j=Sum_{j=0..n}E（n，j）*滞后（n，-x，j-n）=Sum_{j=0-.n}（E（n、j）/n！）*（n！*Lag（n，-x，j-n））=Sum_{j=0..n}E（n，j）*二项式（Bell.（x）+j，n），其中Bell_n（x）是Bell/Touchard/指数多项式；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。
对于x=0，方程给出了求和{j=0..n}E（n，j）*二项式（j，n）=1表示n=0，0表示所有其他n*二项式（y，n），对于方程中的x，得到了Worpitzky恒等式；y^n=Sum_{j=0..n}E（n，j）*二项式（y+j，n）。
注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（和{k=0..n}E（n、k））。同样（n！*Lag（n，-1，j-n））是A086885号对座位安排进行了简单的组合解释，对x=1的方程进行了组合解释；不*铃声_n（1）=n*和{j=0..n}S2（n，j）=和{j=0..n}E（n，j）*（n！*滞后（n，-1，j-n））。
（2020年9月16日附页）有关伯努利数的连接、扩展、证明以及上述恒等式中涉及的数字数组的清晰表示，请参阅我的《后互惠与巫术》。（结束）
G.f:1/（1-x/（1-x*y/1-2*x/（1-2*x*y/（1-3*x/-保罗·巴里2010年3月24日
如果n是奇数素数，那么下面连续的2*n+1项是1模n：a（（n-1）*（n-2）/2+i），i=0..2*n。这个项链在上一项和下一项都不是1模n的意义上是最大的
对于k=0,1,2，。。。放G（k，x，t）：=x-。。。。然后，G（k，x，t）关于x的级数倒转给出了当k=0时当前表的一个例子f，以及对于A008517号当k=1时。
例如，f.B（x，t）：=g（0，x，t（1+4*t+t^2）*x^3/3！+。。。满足自治微分方程dB/dx=（1+B）*（1+t*B）=1+（1+t）*B+t*B^2。
应用[Bergeron等人，定理1]给出了欧拉多项式的组合解释：a（n，t）计算n个顶点上的平面增树，其中每个顶点的超度数<=2，超度数1的顶点为1+t颜色，超度值2的顶点为t颜色。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A008517号应用[Dominici，定理4.1]给出了计算欧拉多项式的以下方法：设f（x，t）=（1+x）*（1+t*x），设D是算子f（x、t）*D/dx。然后A（n+1，t）=D^n（f（x，t））在x=0处求值。
（结束）
在科普兰2008年的评论中，例如f.A（x，t）=g[x，（t-1）]-1，组成逆函数为Ainv（x，t）=log（t-（t-1-汤姆·科普兰2011年10月11日
T（2*n+1，n+1）=（2*n+2）*T（2*n，n）。（例如，66=6*11，2416=8*302，…）-加里·德特利夫斯2011年11月11日
例如：（1-y）/（1-y*exp（1-y，*x））-杰弗里·克雷策2012年11月10日
设{A（n，x）}n>=1表示以[1，1+x，1+4*x+x^2，…]开头的欧拉多项式序列。给定两个复数a和b，由R（n，x）：=（x+b）^n*a（n+1，（x+a）/（x+b））定义的多项式序列，n>=0，满足递推方程R（n+1，x）=d/dx（（x+a）*（x+b）*R（n、x））。这些多项式给出了数据库中几个三角形的行生成多项式，包括A019538年（a=0，b=1），A156992号（a=1，b=1），A185421号（a＝（1+i）/2、b＝（1-i）/2），A185423号（a=exp（i*Pi/3），b=expA185896号（a=i，b=-i）。
（结束）
例如：1+x/（T（0）-x*y），其中T（k）=1+x*（y-1）/（1+（k+1）/T（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月7日
A） 双变量例如，f.A（x，A，b）=（e^（ax）-e^（bx））/（A*e^（a^2+4ab+b^2）*x^3/3！+（a^3+11a^2b+11ab^2+b^3）x^4/4！+。。。
B） B（x，a，B）=对数（（1+ax）/（1+bx））/（a-B）=x-（a+B）x^2/2+（a^2+ab+B^2）x^3/3-（a^3+a^2b+ab^2+B^3）x^4/4+…=log（1+u.*x），其中（u.）^n=u_n=h（n-1）（a，b）是一个完整的齐次多项式，是a（x，a，b。
C） A（x）满足dA/dx=（1+A*A）（1+b*A），可以用Weierstrass椭圆函数表示（见Buchstaber&Bunkova）。
D） 二元欧拉行多项式由在x=0时计算的迭代导数（（1+ax）（1+bx）D/dx）^n x生成（参见A145271号).
E） A（x，A，b）=-（E ^（-ax）-E ^（-bx））/（A*E ^。
F） FGL（x，y）=A（B（x，A，B）+B（y，A，B），A，B=（x+y+（A+B）xy）/（1-ab*xy）被称为双曲形式群定律，与Lenart和Zainoulline的广义上同调理论有关。（结束）
对于x>1，n阶欧拉多项式A（n，x）=（x-1）^n*log（x）*Integral_{u>=0}（上限（u））^n*x^（-u）du-彼得·巴拉2015年2月6日
求和{j>=0}j^n/e^j，当n>=0时，等于求和{k=1..n}T（n，k）e^k/（e-1）^（n+1），这是变量“e”中的有理函数，其近似值为n！当e=A001113号= 2.71828... -理查德·福伯格，2015年2月15日
对于固定k，T（n，k）~k^n，通过归纳法证明-冉·潘2015年10月12日
发件人A145271号，将下三角Pascal矩阵的第n条对角线（主对角线n=0）乘以在x=0时计算的g_n=（d/dx）^n（1+a*x）*（1+b*x），即g_0=1，g_1=（a+b），g_2=2ab，否则g_n=0，得到VP（n，k）=二项式（n，k）g_（n-k）的三对角矩阵VP。则该条目的第m个二元行多项式为P（m，a，b）=（1，0，0，…）[VP*S]^（m-1）（1，a+b，2ab，0，..）^T，其中S是移位矩阵A129185号，表示除权基数x^n/n！中的微分！。另外，P（m，a，b）=（1，0，0，…）[VP*S]^m（0，1，0…）^T-汤姆·科普兰2016年8月2日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
1: 1
2: 1 1
3: 1 4 1
4: 1 11 11 1
5: 1 26 66 26 1
6:1 57 302 302 57 1
7: 1 120 1191 2416 1191 120 1
8: 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1
9: 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1
10: 1 1013 47840 455192 1310354 1310354 455192 47840 1013 1
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例如f.=（y）*x^1/1！+（y+y^2）*x^2/2！+（y+4*y^2+y^3）*x^3/3！+-迈克尔·索莫斯2011年3月17日
设n=7。那么以下2*7+1=15个连续项是1（mod 7）：a（15+i），i=0..14-弗拉基米尔·舍维列夫2011年7月1日
第3行：在3个顶点上增加0-1-2树的平面（彩色顶点的数量显示在顶点的右侧）为
.
.1 o（1+t）1 o t 1 o t
. | / \ / \
. | / \ / \
.2o（1+t）2o3o3o2o
. |
. |
0.3个
.
树的总数是（1+t）^2+t+t=1+4*t+t^2。
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MAPLE公司
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A008292号：=proc（n，k）选项记住；如果k<1或k>n，则为0；elif k=1或k=n，则为1；否则k*进程名（n-1，k）+（n-k+1）*进程名；结束if；结束进程：
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数学
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t[n_，k_]=和[（-1）^j*（k-j）^n*二项式[n+1，j]，{j，0，k}]；
压扁[表[系数列表[（1-x）^（k+1）*PolyLog[-k，x]/x，x]，{k，1，10}]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月27日*）
表[计数[
计数[#，x_/；x>0]&/@（差异/@
排列[范围[n]]）][[；；，2]]，{n，10}](*李涵2020年10月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<1|k>n，0，如果（n==1，1，k*T（n-1，k）+（n-k+1）*T（n-1，k-1））}/*迈克尔·索莫斯，1999年7月19日*/
（PARI）{T（n，k）=和（j=0，k，（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j））}/*迈克尔·索莫斯1999年7月19日*/
{A008292号（c，n）=c^（n+c-1）+和（i=1，c-1，（-1）^i/i*（c-i）^（n+c-1）*prod（j=1，i，n+c+1-j））}
（哈斯克尔）
导入数据。列表（genericLength）
a008292 n k=a008292_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a008292_row n=a008292_tabl！！（n-1）
a008292_tabl=迭代f[1]，其中
f xs=zipWith（+）
（zipWith（*）（[0]++xs）（反向ks））
其中ks=[1..1+genericLength xs]
（Python）
从症状导入二项式
def T（n，k）：返回和（[（-1）**j*（k-j）**n*二项式（n+1，j），对于范围（k+1）中的j）]）
对于范围（1,11）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（1，n+1）中的k）]）#印地瑞尼Ghosh2017年11月8日
（右）
T<-函数（n，k）{
S<-numeric（）
对于（j in 0:k）S<-c（S，（-1）^j*（k-j）^n*选择（n+1，j））
返回（总和（S））
}
对于（1:10中的n）{
用于（k in 1:n）打印（T（n，k））
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[1..n]，k->求和（[0..k]，j->（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j））））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年6月29日
（Sage）[[sum（（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k-j）^n for j in（0..k））for k in（1..n）]for n in（1..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年2月23日
（岩浆）欧拉系：=func<n，k|（&+[（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k-j+1）^n:j in[0..k+1]]）>；[[欧拉（n，k）：[0..n-1]中的k：[1..10]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年4月15日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A019538年,A028246号,A048993号,A048994美元,A049019号,A086885号,A090582号,A129185号,A131758号,A139605型,A173018型.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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![[4]置换的超越图](https://translate.baiducontent.com/transpage?cb=translateCallback&ie=utf8&source=url&query=https%3A%2F%2Foeis.org%2Fwiki%2FFile%3AExceedances_4.png&from=en&to=zh&token=&monLang=zh){kind=link}