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A000326号
五角数:a(n)=n*(3*n-1)/2。
(原名M3818 N1562)
555
0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151
抵消
0,3
评论
第一个n(n>0)个五边形数的平均值是第n个三角形数。-马里奥·卡塔拉尼(Mario Catalani),2003年4月10日
a(n)是从n开始的n个整数的和,即1、2+3、3+4+5、4+5+6+7等。 -乔恩·佩里2004年1月15日
1、4、7、10、13、16、的部分和。..(1模3),a(2k)=k(6k-1),a。 -乔恩·佩里2004年9月10日
从偏移量1开始=[1,4,3,0,0,…]的二项式变换。也,A004736号* [1, 3, 3, 3, ...]. -加里·亚当森2007年10月25日
如果Y是n个集合X的3个子集,那么对于n>=4,a(n-3)是X的4个子集的数量,其中至少有两个元素与Y相同-米兰Janjic2007年11月23日
通过指数对(n,k)=(5,7),(5577,7887),(6435661,9101399)等给出了重复公式2*a(n)=a(k)的解。指数是方程2(6n-1)^2=1+y^2,k=(1+y)/6的整数解,因此这些n可以从数的子集[1+A001653号(i) ]/6,任意i,其中这些是整数,仅限于关联k=[1的情况+A002315号(i) ]/6也是整数。 -R.J.马塔尔2008年2月1日
a(n)是二项式系数C(n,4)(A000332号)当且仅当n是广义五边形数(A001318号).另请参见A145920号. -马修·范德马斯特2008年10月28日
偶数八角数除以8。 -奥马尔·波尔2011年8月18日
从0中读取直线,沿0、5、方向找到序列。..和从1开始的直线,在方向1、12、。..,在顶点为广义五边形数的方形螺旋中A001318号. -奥马尔·波尔2011年9月8日
具有n条边的星形树的超维纳指数(请参见A196060型,示例)。 -Emeric Deutsch公司2011年9月30日
更一般地,第n个k角数等于n+(k-2)*A000217号(n-1),n>=1,k>=3。在这种情况下,k=5。 -奥马尔·波尔2013年4月6日
请注意,欧拉关于配位数的五边形定理和欧拉关于除数和的五边形定理更准确地指的是广义五边形数,而不是这个序列。有关更多信息,请参阅A001318号,A175003号,A238442号. -奥马尔·波尔2014年3月1日
Fuss-Catalan数为Cat(d,k)=[1/(k*(d-1)+1)]*二项式(k*d,k”),并枚举a(k*”d-1”+2”-gon的(d+1)-gon分区数(参见Schuetz和Whieldon链接)。a(n)=Cat(n,3),因此枚举a(3*(n-1)+2)-gon的(n+1)-go分区数。类似序列为A100157号(k=4)和A234043型(k=5)。 -汤姆·科普兰2014年10月5日
(0,1,3,0,0,0,…)的二项式变换(A169585号偏移量为1),第二部分和为(0,1,3,3,…)。 -加里·亚当森2015年10月5日
对于n>0,a(n)是n+8到n个部分(避开第2部分和第3部分)的组合数。 -米兰Janjic2016年1月7日
a(n)也是完整图K[n]的Mycielskian中的边数。实际上,K[n]有n个顶点和n(n-1)/2条边。那么它的Mycielskian有n+3n(n-1)/2=n(3n-1)/2。见西方参考第205页。 -Emeric Deutsch公司,2016年11月4日
从n到2n-1的数字之和。 -韦斯利·伊万·赫特2016年12月3日
同时也给出了n-Andrásfai图中最大团的个数。 -埃里克·韦斯特因2017年12月1日
超几何级数恒等式1-5*(x-1)/(2*x+1)+12*。..=0,对Re(x)>1有效。囊性纤维变性。A002412号A002418号第2列,共列A103450号. -彼得·巴拉2019年3月14日
2003年4月10日的评论概括如下。(k-3)*A000292号(n-2)加上第一个n(2k-1)正方数的平均值即为第n个k正方数。 -查理·马里恩2020年11月1日
a(n+1)是大小为(3,3n+1)的Dyck路径数;即,从(0,0)到(3,3n+1)的NE晶格路径数,这些路径位于连接这些点的线上方。 -哈里·里奇曼2021年7月13日
a(n)是n个正整数x1的最大和。..,x_n,使得x_i|x_(i+1)+1对于每个1<=i<=n,其中x_(n+1)=x_1。 -谢一凡2025年2月21日
a(n)是所有整数三元组(a,b,c)的数量,其中0<=a<n,0<b,c<n和a+b<n。它是游戏风险或安全中新游戏情况的数量(请参见A387260型). -鲁迪格·杰恩2025年9月18日
参考文献
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埃里克·魏斯坦的数学世界,五角数.
维基百科,迈基尔斯基安.
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配方奶粉
产品{m>0}(1-q^m)=和{k}(-1)^k*x^a(k)。 -保罗·巴里2003年7月20日
通用格式:x*(1+2*x)/(1-x)^3。 -西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如:exp(x)*(x+3*x^2/2)。
a(n)=n*(3*n-1)/2。
a(-n)=A005449号(n) ●●●●。
a(n)=二项式(3*n,2)/3。 -保罗·巴里2003年7月20日
a(n)=A000290型(n)+A000217号(n-1)。 -Lekraj Beedassy公司2004年6月7日
a(0)=0,a(1)=1;对于n>=2,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+3。 -米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=和{k=1..n}(2*n-k)。 -保罗·巴里2005年8月19日
a(n)=3*A000217号(n) -2个-Lekraj Beedassy公司2006年9月26日
a(n)=A126890型(n,n-1)对于n>0。 -莱因哈德·祖姆克勒2006年12月30日
a(n)=A049452号(n)-A022266号(n)=A033991号(n)-A005476号(n) ●●●●。 -零入侵拉霍斯2007年6月12日
等于A034856号(n) +(n-1)^2。也等于A051340号* [1,2,3,...]. -加里·亚当森2007年7月27日
a(n)=二项式(n+1,2)+2*二项式。
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n2)+a(n-3),a(0)=0,a(1)=1,a(2)=5。 -杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a(n)=a(n-1)+3*n-2,n>0,a(0)=0。 -文森佐·利班迪2010年11月20日
a(n)=A000217号(n) +2个*A000217号(n-1)。 -文森佐·利班迪2010年11月20日
a(n)=A014642号(n) /8。 -奥马尔·波尔2011年8月18日
a(n)=A142150型(n)+A191967号(n) ●●●●。 -莱因哈德·祖姆克勒2012年7月7日
a(n)=(A000290型(n)+A000384号(n) )/2=(A000217号(n)+A000566号(n) )/2=A049450型(n) /2。 -奥马尔·E·波尔2013年1月11日
a(n)=n*A000217号(n) -(n-1)*A000217号(n-1)。 -布鲁诺·贝塞利2013年1月18日
a(n)=A005449号(n) -编号-菲利普·德莱汉2013年3月30日
发件人奥斯卡·威兰德2013年4月10日:(开始)
a(n)=a(n+1)-A016777号(n) ,
a(n)=a(n+2)-A016969号(n) ,
a(n)=a(n+3)-A016777号(n) *3=a(n+3)-A017197号(n) ,
a(n)=a(n+4)-A016969号(n) *2=a(n+4)-A017641号(n) ,
a(n)=a(n+5)-A016777号(n) *5,
a(n)=a(n+6)-A016969(n) *3,
a(n)=a(n+7)-A016777号(n) *7,
a(n)=a(n+8)-A016969号(n) *4,
a(n)=a(n+9)-A016777号(n) *9。(结束)
a(n)=A000217号(2n-1)-A000217号(n-1),对于n>0。 -伊万·伊纳基耶夫2013年4月17日
a(n)=A002411号(n)-A002411号(n-1)。 -J.M.贝戈2013年6月12日
求和{n>=1}a(n)/n!=2.5*经验(1)。 -理查德·福伯格2013年7月15日
a(n)=楼层(n/(exp(2/(3*n))-1)),对于n>0。 -理查德·福伯格2013年7月27日
发件人弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日:(开始)
a(3*a(n)+4*n+1)=a(3*1(n)+4*n)+a(3*n+1)。
概括。设{G_k(n)}_(n>=0)是k正方数序列(k>=3)。则以下等式成立:G_k((k-2)*G_k(n)+c(k-3)*n+1)=G_k(=A000124号.(结束)
A242357号当n>0时,(a(n))=1。 -莱因哈德·祖姆克勒2014年5月11日
求和{n>=1}1/a(n)=(1/3)*(9*log(3)-sqrt(3)*Pi)。 -恩里克·佩雷斯·埃雷罗2014年12月2日。见十进制扩展A244641号.
a(n)=(A000292号(6*n+k-1)-A000292号(k) )/(6*n-1)-A000217号(3*n+k),对于任何k>=0。 -曼弗雷德·阿伦斯,2015年4月26日[小修自沃尔夫迪特·朗2015年5月10日]
a(n)=A258708型(3*n-1,1),对于n>0。 -莱因哈德·祖姆克勒2015年6月23日
a(n)=A007584号(n)-A245301型(n-1),对于n>0。 -曼弗雷德·阿伦斯2016年1月31日
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=2*(sqrt(3)*Pi-6*log(2))/3=0.85501000622865446-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月28日
a(m+n)=a(m)+a(n)+3*m*n-艾蒂安·杜普伊斯2017年2月16日
一般来说,设P(k,n)是第n个k次方数。那么P(k,m+n)=P(k、m)+(k-2)mn+P(k)n。 -查理·马里恩2017年4月16日
a(n)=A023855号(2*n-1)-A023855号(2*n-2)。 -卢克·卢梭2018年2月24日
a(n)=二项式(n,2)+n^2。 -佩德罗·卡塞雷斯2019年7月28日
产品{n>=2}(1-1/a(n))=3/5。 -阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月21日
(n+1)*(a(n^2)+a(n*2+1)+。..+a(n^2+n))=n*(a(n*2+n+1)+。..+a(n^2+2n))。 -查理·马里恩2024年4月28日
a(n)=和{k=0..3*n}(-1)^(n+k+1)*二项式(k,2)*二项式(3*n+k-1,2*k)。 -彼得·巴拉2024年11月4日
例子
初始术语说明:
.
.o型
.o o(零)
.o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.
. 1 5 12 22 35
-菲利普·德莱汉2013年3月30日
MAPLE公司
A000326号:=n->n*(3*n-1)/2:seq(A000326号(n) ,n=0..100);
isA000326:=进程(n)
如果issqr(1+24*n)和modp(1+sqrt(1+24*n),6)=0,则
真;
elif n=0,则
真;
其他的
结束条件:;
结束进程:#R.J.马塔尔2025年9月26日
数学
表[n(3n-1)/2,{n,0,60}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月1日*)
数组[#(3#-1)/2&,47,0](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,5},61](*哈维·P·戴尔2011年12月27日*)
pentQ[n_]:=整数Q[(1+Sqrt[24n+1])/6];pentQ[0]=真;选择[Range[0,3200],pentQ@#&](*罗伯特·威尔逊v2014年3月31日*)
连接[{0},累加[Range[1,312,3]]](*哈维·P·戴尔2016年3月26日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[PolygonalNumber[RegularPolygon[5],n],{n,0,46}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*)
系数列表[系列[x(-1-2 x)/(-1+x)^3,{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
多边形编号[5,范围[0,20]](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=n*(3*n-1)/2
(PARI)向量(100,n,n--;二项式(3*n,2)/3)\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
(PARI)is_a000326(n)=我的;n==0||(问题(24*n+1,&s)&s%6==5); \\雨果·普福尔特纳2023年8月3日
(哈斯克尔)
a000326 n=n*(3*n-1)`div`2--莱因哈德·祖姆克勒2012年7月7日
(岩浆)[0..100]]中的[n*(3*n-1)/2:n; //韦斯利·伊万·赫特2015年10月15日
(GAP)列表([0..50],n->n*(3*n-1)/2); #穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月18日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是孤立项。
定义代理():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+3,y+3
A000326号=代理()
打印([下一页(A000326号)对于范围(47)内的i)#彼得·卢什尼,2019年8月4日
交叉参考
囊性纤维变性。A001318号(广义五边形数),A049452号,A033570型,A010815号,A034856,A051340号,A004736号,A033568号,A049453号,A002411号(部分金额),A033579号.
请参见A220083型对于形式为n*P(s,n)-(n-1)*P(s,n-1)的数字列表,其中P(s、n)是具有s条边的第n个多边形数。
囊性纤维变性。A240137型:从n^3开始的n个连续多维数据集的总和。
参考中列出的类似序列A022288号.
的部分总和A016777号.
关键词
核心,非n,容易的,美好的
作者
扩展
删除了错误示例乔格·阿恩特2010年3月11日
状态
经核准的