这个网站是通过捐款来支持的。OEIS基金会.

用户:Geoffrey Critzer

从奥伊斯维基
跳转到:导航搜索

=接触:GCRITITHEL KUEDU


我是勘萨斯大学的研究生。我喜欢理解整数序列通过考虑在组合对象的类上执行的任务和它们的生成函数的形式代数运算(例如和、积、成分、导数)之间的对应关系。正如FrjaLoET和塞奇威克在他们的开创性著作《分析组合论》中所说的那样,在组合枚举问题的解决方案中产生令人惊讶的“令人惊讶的效率”。请随时与我联系在这页上的任何东西。



二元词的一些分解:

(0+1)*二进制字是0或1的序列。.

0 *(10*)*二进制字是一个0的字符串,后面是一个1的序列和0的字符串。.

0*(11×00*)* 1 *二进制字是0的字符串,后面是一系列非空字符串1和0的非空字符串,后面是1的字符串。

利用上面给出的第二个分解,我们有:A078057(X)=A04000(x)/(1—x*)A04000(x)。A000 3688(X)=A000 39 45(x)/(1—x*)A000 39 45(x)。A015444(X)=A000 39 46(x)/(1—x*)A000 39 46(X)。参见Joerg Arndt的评论。

(1 + 00×1)* 0 *二进制字是一个序列(1的或至少一个0,接着是1),随后是0的序列。. 我们可以把前面1个标记为0。囊性纤维变性。A03867.

一个偶数为0的二进制字是空的,或者1个加在这样一个词或01×0的前面。

一个奇数为0的二进制字是0个或011个或1个加在这样一个词或01×0上的一个词。


一个没有连续两个0的二进制字是空的,或者一个0个或1个加在这样一个词或01个词前面的一个词。

没有连续两个0的二进制字是1或10的序列,可能有0个。

一个包含1个和0个相等数的二进制字,这样每个前缀至少包含1个,如0个是空的或1个附加的,0个加在这样一个词上。

一个包含1个和0个相等数的二进制字是两个以上的单词的序列,它们已经加上了一个1,附加了一个0。

每个二进制字包含一个最大前缀,包含1和0的相等数目。其中b(x)定义在上面,g(x)是O.G.F.A0638. 该最大前缀的平均长度为N/2,并给出其分布。A35720.

C(x)=1(/ 1-x/(1-x))是n.c(x)*x/(1-x)*c(x)的组成数的O.G.F.所有n成分C(x)*x^ 2 /*(1-x^ 2)*c(x)的组成部分的数目是n成分c(x)*(x^ 3 +x^ 4)/(1-x^ 2)^ 2×c(x)的所有成分上的水平数是n的所有成分的上升数。


N-SET的最小覆盖是从一组点A的关系,A不是唯一地覆盖到一组块的B,这是唯一覆盖的点的分区,使得A中的每个元素与B.SuMu{{N>=0 }(EXP(x)- 1)^ n/n中的至少2个元素相关;*EXP((2 ^ n-1)x)。

生成函数简洁明了。

通常,生成函数是描述组合类的最简洁和最精确的方式。评Martin J Erickson的优秀评论A1054 76

“A(n)也是使用1和2的n的组成的数目,使得每个类似的数的运行可以任意分组”。一个例子几乎是必不可少的,以了解正在枚举的内容。

+(1)=((+))+(α)+(α+)=(α+ +)+(α+ + +)+(α)=(α)+(α+ +α+)=(α)+(+)+(α)=((+)+ +(α)+ =(α)+(α)+(α)+(α+)=(α+)+(α)=((+)+(α)=(α+)”。例如,A(4)=15,因为4=(1)+(1)+(1)+(1)=(1 + 1)+(1)。

然而,通过快速检查生成函数:1 /(1 -(x/(1-x)+x^ 2 /(1-x ^ 2))),我们立即准确地知道正在计数的内容。

生成函数的代数简化通常遮蔽了通过符号方法推导的简单性。A1054 76当每个偶数部分可以是两种类型时,也是n的组成的数目。1 /(1 -(A+(B-C)/ 2)),其中A=B=1/(1-x)。C=1/(1+x)。

集合集合所列的N集幂集上偏序集上的链与有序集划分具有“典范”对应关系。Cf. the Nelson,施密特参考文献A000 7047. ((Exp(x)- 1)^ 2+2*(EXP(x)- 1)+1)*(1 /(1 -y*(Exp(x)-1)))是二元变量。A038 719.

线性Diophantine不等式的若干系统

在非负整数中,方程x+y+z=n的解的数目是多少,使得x>=y和x>=z。有2种情况:i)x>=y+z,ii)x<y+z。. 案例二。有O.G.F.. 每种情况都加上O.G.F.A156040.


在非负整数中,方程x+y+z=n的解的数目是多少,使得x+y>=z。有3种情况:I)x和y都是>z。ii)x或y唯一地是>z。Ⅲ。x和y都不是>z。. 囊性纤维变性。A000 1840. 案例二。OGF:2×x ^ 2×1 /(1-x)* 1 /(1-x ^ 3)* 1 /(1-x^ 2)CF。A00 1399. 案例III有O.G.F: x^ 4×1 /(1-x ^ 2)* 1 /(1-x ^ 2)* 1 /(1-x^ 3)CF。A000 831. 加3例A131318.

或者,我们可以用1 /(1-x)* 1(1-x)* 1 /(1-x)枚举所有解,并减去1(/ 1-x ^ 2)* 1 /(1-x^ 2)*x/(1-x)所计数的坏的(x+y<z)。这是A000 0217-A000 8805=A131318.



所有n置换的倒数

所有n置换中倒数的总数是多少?有一个非常优雅的组合证明A00 1809. 但更令人满意的是采用符号方法将组合结构直接翻译成生成函数。在这种情况下,组合类将是置换排列的超集,其排列与特定指定的无序元素对构成。让因子(例如f)x ^ 2/2!选择 一对排列中的元素,然后让1(/ 1-x)的三个因子(例如f)线性顺序在选择的反演对之前、之间和之后的元素。大胆的一面是强调生成函数执行任务(构建结构)。



在所有n置换中增加子序列

在所有n置换中增加子序列的数目等于[n]上部分置换的数目。(部分置换是从[n]的一个子集到另一个子集的双射。

E.F. 1/(1-x)线性地排列或置换一个集合。E.F.X^ I/I!建立一个i集。一个集合是无序的,所以让我们把它看作是它的自然顺序。使用类似于上述倒数枚举的思想,我们看到了产品X^ I/I!*(1/(1-x))^(i+1)是所有n置换中长度i的增加子序列的E. f。对于i=0,1,…,5,我们有A000 0142(我们必须同意,对于每个n置换,长度正好有一个增加的子序列),A000 1563A00 1809A000 1810A000 1811A000 1812. 如果我们对所有i>0的所有序列求和,我们得到1 /(1-x)*EXP(x/(1-x))作为E.F.A000 720其中Neil Sloane已经指出,该序列计数在[n ]的所有排列上增加的子序列的总数。在P. Flajolet和R. Sedgewick的第132页,HTTP//ALGO.IRIA.FR/FLAJOLET/Expulss/Booops.HTML>解析组合数学< /a>,2009;对于部分置换的数目,E.F.有同样的透明推导。两个E.F.是相等的,并且生成的泛函证明是完整的。



具有生成函数的一些构造

函数2x作为E.G.F执行在组合结构中指定(或不)原子的任务。

函数完成标记标记原子的琐碎任务。

建设班级S由标签的物体组成的袋子,其中一些物体已经被特别指定。通过“组合公式”(Miklos Bona,《枚举组合数学导论》,第170页),我们有:


一个2-色图是一个二分图,其中连通部分的“一些”被区分。B(x)=EXP(2 A(x)),其中B(x)是E.FA047 863A(x)是E.F.A000 1832.

让我们在N-1节点上选择一个简单的标记图的节点,然后在选定的节点和标记N的节点之间加上一个边。我们在N个节点上构造了一个简单的标记图,并且我们得到了函数方程:G′(x)=G(2x),其中,x(x)是E.F.。A000 6125.

例如F。列举将N个标签对象放入袋子中的方法,并特别指定至少一个。

通过在标记的有向循环中指定至少一个节点来构造标记章鱼:. 指定的节点成为章鱼的身体,它们之间的节点成为触角。所以其中a(x)为E.F.A029 767.


在{1,2,…,n}上构造一个集合分区,然后指向(区分)其中一个元素。x′b′(x),其中B′(x)=EXP(EXP(x)- 1)。通过首先选择{1,2,…,n}的非空子集S,然后指向S的一个元素,然后分割S.x*EXP(x)*b(x)的补码,完成相同的任务。所以,我们有:B(x)*EXP(x)=B’(x)。



指向(区分){1,2,…,n}置换中的元素。x*p′(x),其中p(x)=1(/ 1×x),现在将点“{”指向{1,2,…,n}排列中的一个元素,在指定元素的右边放置一个分隔条。我们构造了{1,2,…,n}的非空子集的置换和它的补码的置换。x*p(x)*p(x)。因此我们有p′(x)=p(x)^ 2。



通过以所有可能的方式执行下面的过程,构造a= {01,1,2,…,n-1 }的所有排列集合。将包含元素0的子集S标记为某些框,将元素S放入框中,从每个框中的元素进行循环。* x*(x+ 1)*(x+1)**(x+n-1)=SuMu{{k=1,.n}斯特林2(n,k)x^ n。


将{1,2,…,N}的所有集合的集合构造成恰好的K块:将N+K未标记的对象放置到标记为1到k的框中,每个框中至少有一个对象。建立所有函数fyk:[[M] -> [k],使得f(1)=k,其中m是每个框中的对象数。x/(1-x)*x/(1-2x)**x/(1-kx)= SuMu{{N>=0 }斯特林2(n,k)x^ n

前序是一些元素块的偏序。A(Exp(x)- 1),其中A(x)是E.F.A000 1035传递关系是元素的某些块或一些非自反点的偏序。a(x+EXP(x)- 1)。


???????????????????????????有一个组合论证来解释同一性:D′(x)=D(x)*x/(1-x),其中d(x)是E.F.A000 0166为什么是E.F.用于奇数排列的数目和奇错乱数X ^ 2/2!/(1-x)和x^ 2/2!EXP(-x)/(1-x)。囊性纤维变性。A000 0166???????????????????????????


考虑以下映射:将所有字母n、{1、2、…、m }的n个字母单词集合转换成所有n个排列的集合:从左到右扫描单词,并以最小至最大的顺序记录字母的位置。例如,将单词(2,3,1,2)映射到排列(3,1,4,2)。A038 675. 映射到身份置换的n个字的数目等于将最多N-1个不可区分的球放置到N个可区分的盒子中的方法的数量。参见第一个注释A000 1700. 在普通生成函数方面,这是3个因子(O.G.F)的乘积:x* 1 /(1-x)* 1 /(1-x)^ n。通过相同的推理,我们看到被映射到具有k下降的排列的n个字的数目是将最多n个1-k个球放置到n个容器中的方法的数目。这样的词是一个非递减序列(虽然在置换顺序),且至少有k个严格的增加。转化为O.G.F.S的因子:x^(k+ 1)* 1 /(1-x)* 1 /(1-x)^ n。因此,n次幂的O.G.F.是x/(1-x)^(n+1)*SuMu{{k=0…n-1,}(n,k)x^ k,其中E(n,k)是k下降的排列数。见公式节A000 053.

所有对合的反演

对于所有长度n的翻转的总倒数的E.F.是:

(1×Z ^ 2/2!+ 2×Z ^ 3/3!+ 6×z ^ 4/4!*(EXP(Z+Z ^ 2/2)),在这里,我把第一个因素放在它的非简化形式中,使解释更加透明。

从计算离散数学,SkyiNA和PimMARAJU,剑桥大学出版社,2003,第69页,我们有一个定义:“置换p中的一对元素(p(i),p(j))表示如果i>j和p(i)<p(j)的倒数。

因此,我将把每一个倒数关联成一个无序的对,它的两个成员是无序的长度n的复数元素。这可能发生三种(独立的和详尽的)方式:I)两个成员处于相同的2个周期。一个成员是一个固定点,OHER处于2个周期。两个成员处于两个周期。对于I。很明显,只有1个这样的无序对。案例二。有2个这样的无序对。我通过写出在对合(1)(23)、(2)(13)和(3)(12)中发现的无序对,并计算其中一个成员是固定点而另一个处于2个周期中的数目,从而使自己确信这一点。对于情况III,有6个这样的无序对。计算对合(12)(34)、(13)(24)和(14)(23)中的适当无序对。

利用E.G.F的乘积和乘积法则,得到了理想的结果。



内生函数的多元生成函数

这里是一个指数多元生成函数,它计算所有函数的类f:{1,2,…,n}-> {1,2,…,n}。

A(x,v,w,y,z)=(1 -z xEXP(w t(x,v))^ -y,其中t(x,v)=SuMu{{n>=1 } n^(n-1)(v x)^ n/n!

变量x标记的大小(被映射的元素的数目=n),y标记周期的数目,Z标记递归元素的数目,w标记映射到递归元素的非递归元素的数目,并且V标记非递归元素的数目。



设F是从{1,2,…}中随机选择的(均匀分布)函数为{1,2,…}。f正好有k个大小n的循环的概率是1 /(Exp(1/n)*n^ k*k!)(这与{1,2,…}的随机排列)相同。检查分布为n变大(泊松(1/N)),我们期望存在大小为n或更小的H(n)循环(特别是如果我们忽略小循环),其中H(n)是谐波数。


简单标记图的多元生成函数

这里是一个生成函数,在4个变量中计数简单标记的图。

A(x,w,y,z)=EXP(Z*x)^ y*EXP(x)^(-y)*(SuMu{{n>=0 }(1 +w)^二项式(n,2)x^ n/n!!)^ y

系数(乘以n!)之后y ^ k z ^ j w ^ m x^ n是n个节点上具有k连通分量、j孤立节点和m边的简单标记图的个数。

整数分区

这里有3个生成函数,将n个整数分区的数目分成不同的部分。

G.f.:乘积{m>1 }(1+x^ m)=1 /乘积{m>=0 }(1-x^(2m+1))=SuMu{{K>=0 }乘积{{i=1…k} x^ i/(1-x^ i)。

分割成不同部分的数目=分割成奇数部分的数目。n的分割数正好等于k个不同的部分=具有至少1个、2个、…一K



一些概率问题

这里有两个概率问题,可以用生成函数和计算机代数系统如Mathematica或Maple方便地回答。

三个普通骰子被卷起,他们的脸的总和被发现是K。然后K公平硬币被抛掷,然后计数头数。10个头出现的概率是多少?195973/9437184。a(b(x))^ 3中的x^ 10的系数,其中a(x)=(x x^ 7)/(6(1-x))和b(x)=(1 +x)/2。


在骰子游戏中,如果骰子的面值为25,你就赢了。允许你每次滚动骰子的每一个正整数。当然要卷25个,你至少需要5个骰子,滚动超过25个骰子不会对你有帮助。首先,你先掷5骰子,然后掷骰子六次,…最后(如果你还没有赢),你会绝望地尝试25个王牌。你赢的概率是多少?811968658079008320 /28 43028 8029 929 701376。这是1(/(a)(x))中的x^ 25的系数,其中a(x)=(x-x^ 7)/(6(1×x))。

一些变换

如果A(x)是序列{a(n)}n>0的E.F.则序列{n^ k*a(n)}n=0的E.F.是:

B(x)=Suthi{{j=1,..,k}斯特林2(k,j)*x^ j*a^ j(x),其中a ^ j(x)是a(x)的JTH导数。这可以通过将解析组合学中的指向参数扩展到组合对象的多个(但不一定是不同的)元素(原子)来实现。在这里,我们考虑了原子“指向”(指定)的顺序。换句话说,B(x)是用于选择由a(x)计数的组合对象的方法的数目的f,然后选择其标记的原子的k k元组。

如果我们允许A(x)是自由的有标签树和E= F=2,那么我们就生成了“双根”自由标记树与{{1,2,…,n}-> {1,2,…,n}之间的双射函数的生成函数解。《枚举组合数学入门》,Miklos Bona,第267页。


如果A(x)是序列{a(n)}n>0的E.F.那么序列{C(n+k-1,k)*a(n)}n=0的E.F.是:

B(x)=Suthi{{j=0,…k-1 } C(k-1,j)*x^(j+1)/(j+ 1)!* a^(j+1)(x)。再一次,我们指向组合对象的原子(不一定是不同的)原子。这一次,我们不考虑指向的顺序是重要的。换句话说,B(x)是用于选择由A(x)计数的组合对象的方法的数目,然后选择其经标记的原子的大小k多集。

如果我们允许A(x)为自由标记树和k=2,则遵循除上述根的次序之外的上述双射图中的映射,我们看到“无序双根”树与{{1,2,…,n}-> {1,2,…,n}之间的双射,使得所有递归元素中的最小值总是映射到最大值。囊性纤维变性。A052182.


如果A(x)是序列{a(n)}n>0的E.F.那么序列{C(n,k)*a(n)}n=0的E.F.是:

B(x)=x^ k/k!* a^ k(x)。换句话说,B(x)是用于选择由A(x)计数的组合对象的方法的数目,然后选择其原子的大小k子集。

如果A(x)是序列{a(n)}n>0的E.F.那么序列{ k的E.F.*a(n)}> 0=:

B(x)=x^ k*a^ k(x)。换句话说,B(x)是用于选择由A(x)计数的组合对象的方法的数目,然后选择其原子的k置换。


如果A(x)是序列{a(n)}n>0的E.F.那么序列{k^ n*a(n)}n=0的E.F.是:

B(x)=a(k*x)。例如,让k=2和A(x)是循环排列的E.F.:log(1/(1-x)),那么我们有A032 179.


康托尔定理的类推

从任何集合到它的幂集合不存在一个超射函数。

一家摄影公司(希望在一所非常大的学校销售更多的照片)决定拍摄每一组学生的照片。他们把每个学生的照片,每一个学生与其他学生配对,每组三个学生,等等。他们甚至拿一张没有人的照片和一张照片。一点也不奇怪,如果学校的学生数量有限,那么学生的照片就比学生多。

如果有无限数量的学生怎么办?我们可能认为照片的数量和学生的数量是一样的,因为两者都是无限的。我们尝试通过向每个学生传递一张照片来证明这一点,希望我们能够分发每一张照片。但这是不可能的,因为无论我们如何分发照片,总会有至少一张照片没有被遗漏。

这就是为什么:在分发照片(以任何可能的方式)之后,指导每个学生看他们收到的照片,并观察他们是否在照片中被描绘出来。然后告诉学生“如果你在你收到的照片中被画,然后排队在学校的东边。”如果你不在给你的照片上,然后排在学校的西侧。“现在,摄影公司肯定在学校西侧的学生小组照了一张照片。但是没有学生可能有那张照片。学校东侧的学生都没有照片,因为他们在照片中拍照,但他们不在西侧。学校西侧的学生不能拿着这张照片,因为他们在西边的子群里,但是他们持有的照片并不代表他们。

盒装产品

两个E.F.的盒装产品。

如果我们取一个E.F.A(X)的导数,新的E.F.A(x)在{1,2,…,n}上建立一个结构,但是它有一个额外的(秘密的)原子来构建的优点。我们可以想象额外的秘密原子是元素1。


设B(x),C(x)是生成B结构的方法的数目的E.F.s,在一组标记对象上的C-结构。设A(x)是将{1,2,…,n}划分为两个不相交子集S,T的方法,例如,S结合t= {1,2,…,n}和1是S的一个元素,然后我们得到:a′(x)=b′(x)*c(x)。例如,让B(x)=x*EXP(x)和c(x)=EXP(x)。积分B′(x)*c(x)*dx是关于包含元素1的{1,2,…,n}的所有子集的元素总数的E.F.囊性纤维变性A000 1792.


设B(x)=C(x)=EXP(x)- 1。积分(积分B′(x)*c′(x)*dx)*dx是{1,2,…,n}上的集合分区的数目正好为两个块,使得元素1和n不在同一块中。同样地,积分(b′(x)*c′(x)*EXP(Exp(x)- 1)*dx)*x是{1,2,…,n}的集合分区的数目到任意数量的块,使得元素1和n不在同一块中。囊性纤维变性A000 54Andrey Goder评论。




N*SqRT(2)的小数部分上升到第N个功率发散

对于实数x,{x}表示x的小数部分。

我想证明序列A(n)={N*SqRT(2)}^ n发散。我将检查A(n)的两个子序列,并示出一个,B(n)收敛到0,而另一个,C(n)收敛到EXP(- 1 /(2×SqRT(2))。

K={1,1,2,…}的指数,在SqRT(2)的连分式表示中的有理收敛序列。设P(k)是KTH收敛的分子,Q(k)是KTH收敛的分母。

p(k)=((1 -qRT(2))^ k+(1+qRT(2))^ k)/2 q(k)=((1 +qRT(2))-(1 -qRT(2)))/(2×qRT(2)),这些公式是在SoANE OEIS中给出的。A131333A000 0129.

定义序列b(n)=b(2k-1)={q(2k-1)*qRT(2)}^ q(2k-1)。换言之,B(n)由a(n)中的项组成,其中n是第一、第三、第五、…中的分母。奇怪的位置…收敛的顺序。这正是<qRT(2)的收敛项。关键的观察是

{Q(2K-1)*SqRT(2)}=Q(2K-1)*SqRT(2)-p(2K-1)。


例如,前10个收敛项是:

1/1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70、239/169、577/408、1393/985、3363/2378

考虑第九收敛1393/985。985×SqRT(2)的小数部分是985×平方RT(2)-1393。

用P(k)、q(k)的公式和关键的观察,我们看到

b(n)=b(2k-1)=[(1 -qRT(2))^(2k)*(1 +qRT(2))^ q(2k-1),收敛到0。

定义序列C(n)=C(2k)={q(2k)*qRT(2)}^ q(2k)。换言之,C(n)由a(n)中的项组成,其中n在第二、第四、第六、…甚至位置中的分母中…收敛的顺序。这正是QSRT(2)的收敛点。关键的观察是

{Q(2K)*SqRT(2)}=Q(2K)*SqRT(2)-p(2K)+ 1。

例如,考虑第十收敛,3363/2378。

2378×SqRT(2)的小数部分为2378×平方RT(2)-3363±1。

用P(k)、q(k)的公式和关键的观察,我们看到

C(n)=C(2k)=〔1(1 -qRT(2))^(2k)〕^((1 +qRT(2))^(2k)-(1-qRT(2))^(2k))/(2×qRT(2))

C(n)收敛到EXP(- 1 /(2×SqRT(2)))。


如果你给我一个等于SqRT(2)的有理数P/Q,我会使Q步(我的步长正好是SqRT(2)单位)在人行道上,它的裂缝正好是1个单位。我将完全在PTH裂缝上。如果你给我一个比SqRT(2)稍微大一些的有理数P/Q,我将采取Q步,但我不会很好地达到PTH裂纹。


假设我们在区间(0,1)中有一个可数无穷集的实数,1是A的极限点,我们从A中的元素序列,并将第n个项提升到第n个幂。我们可以按照我们想要的顺序排列A的元素,我们可以把每一个任期提高到更高的权力。我们不允许复制A中的元素,也就是说,我们必须把A的每个元素都放在序列的一个位置。

一个例子是序列A(n)={N*SqRT(2)}^ n,其中{x}表示X的小数部分。另一个例子是序列A(n)=(1—1/n)^ n。

是否有可能构造这样一个收敛到0的序列?

一种可能是将一组适当的分数排列成它们的“规范顺序”:(1/2)^ 1,(1/3)^ 2,(2/3)^ 3,(1/4)^ 4,(3/4)^ 5,(1/5)^ 6,(6)^,,((^)^ ^,,(^)^,,(…)^,……………………看起来好像词条越来越小,但是我们能证明收敛到一个么?”

也许一个更容易解决的问题是:如果我们规定1是A的唯一极限点呢?是的!如果1是唯一的极限点,我们考虑A(n)=(1—1/n^ p)^ n的任何序列,其中p在(0,1)中。


Xin(x)CoS(x)/x=乘积{{k>=1 }(1-x/(k*pi/2))(1 +x/(k*PI/2))中的x^ 2的系数给出了SuMu{{K>=0 } 1 /(2k+1)^ 2=π^ 2/8。

Cayley定理

具有n+2个节点的所有树(自由、未标记)的不同度序列数等于函数f:{1,2,…,n}-> {1,2,…,n+2 }的数目。

具有n+2个节点的树的度序列是正整数d(1)、d(2)、…、d(n+2)的序列,使得d(1)> d(2)>=…>=D(n+2)和d(1)+d(2)+…+d(n+2)=2×n+2。

让我调用函数f:{1,2,…,n}-> {1,2,…,n+2 }的正整数序列j(1),j(2),…,j(k),使得j(1)>j(2)>…> J(K)和J(1)+J(2)+…+j(k)=n,每个j(i)是函数f下的Co图像集的大小(基数)。

(这里我指的是共用映像集是函数诱导的域的集合分区的块。)

我们看到图像序列是整数N的分区。

如果我们在图像序列中对每个j(i)加1,然后追加必要的1个,使图像序列和2×n+2,则我们具有n+2个节点的树的度序列。

Cayley定理表明,函数序列F({1,2,…,n}-> f:{1,2,…,n+2 }的序列与图像序列j(1),j(2),…,j(n)的数目等于在上述对应关系下具有度序列D(1),D(2),…,D(n+2)的标记树的数目。

例如:6个节点上的“星形”图具有5、1、1、1、1、1度序列。“星图”有六个标号,有六个函数f{1,2,3,4}>{1,2,3,4,5,6},它们有图像序列4。(每个元素映射到协域中的单个元素)。

另一个例子(在另一个方向):图像序列1,1,1,1(内射函数)有360个函数f:{1,2,3,4}-{{1,2,3,4/5},6}。6个节点具有360、2、2、2、1、1度序列的“路径”图有三个标号。



Dirichlet生成函数

我们可以用d~d’定义整数n的除数集合上的等价关系~(f),其中最大的完美平方除以d等于等于d’的最大完美平方。Sume{{N>=1 } 2 ^(小ω(n))/n^ s*zeta(2s)=zeta(s)^ 2。C.F.A253196.

更一般地说,我们可以把n的除数用最大的k次幂除以它们。Suthi{{N>=1 } theta ak(n)/n^ s*zeta(k*s)=zeta(s)^ 2,其中theta ak(n)是n的kth-幂除数的个数。

每一个整数都可以唯一地分解成一个完美平方和一个平方自由整数的乘积。SuMu{{N>=1 }μ(n)/ n^ s*zeta(2s)=zeta(s)。一般来说,每个整数都可以唯一地分解成完美的k幂和一个无k幂整数的乘积。SUM{{N>=1 } f(n)/n^ s*zeta(k*s)=ζ(s),其中f(n)是k个幂无整数的特征函数。

n元集合的奇数子集的数目等于偶数大小子集的数目。具有奇数素数的n的无平方因子数与素数偶数的n的无平方因子数相等。SuMu{{N>=1 }亩(n)/n^ s*zeta(s)=1。

如果我们将整数看作其素因子的多集M,那么M的子集的个数是N的除数(σ(n))的数目,有一个多个子集与M具有相同的基数,即M本身。我们可以以一种非常乏味的方式来达到这个明显的结果。从M的所有子子集开始,使用包含/排除的原理来抛出“坏”集合。(1)SuMu{{N} MU(D)*sigma(N/D)。

在多集方面,上面第二段所表达的思想可以表述为:有一种方法将多集划分成两个子集A和B,使得A的每个元素的多样性被K整除,B的每个元素的多重性严格小于K。

只有一种方法来划分多个集合,其中元素都具有偶数个多样性,其中两个子多子集A、B使得A中的每个元素都具有多重性,并且B中的每个元素具有可除四的多重性。SUMU{{N>=1 }A227(n)/n^ s*zeta(4×s)=zeta(2×s)。推广,让Dyk(n)=μMU(n(1/k)),如果n是k次幂,则为0。SuMu{{N>=1 } Dyk(n)/n^ s*zeta(2×k*s)=ζ(k*s)。


{a^ m(1),b^ m(2),…,n^ m(n)}的偶数个子集D(e)的数目等于奇数大小的多个子集d(o)的数目,当且仅当存在至少一个i时,m(i)为奇数。否则D(E)=D(O)+ 1。SuMu{{N>=1 }λ(n)/n^ s*zeta(s)=zeta(2*s)。


我们可以用A~B IFF GCD(A,N)=GCD(B,N)定义{1,2,…,n}上的等价关系。SuMu{{N>=1 }φ(n)/n^ s*zeta(s)=zeta(s-1)。


设F(n)是一个特征函数,即f(n)=1,如果n具有某些所需性质,否则f(n)=0。设F(S)是序列F(n)的Dirichlet g.f.。关于行n中整数个数的Dirichlet g.f.A05083具有所需性质的是ζ(s-1)/zeta(s)*f(s)。上面的平移是一个特殊的实例,其中期望的性质只有N是正整数。

更一般地,zeta(s-1)/zeta(s)*f(s)是Suzi{{j=1…n} f(GCD(n,j))的Dirichlet G. F。例如,如果f(n)=n,则f(s)=zeta(s-1),并且我们看到zeta(s-1)/zeta(s)*f(s)是行n中的条目的和。A05083这是由A018804.

n的无k除数的和是Dirichlet卷积,所有的1的序列和由{ n=0定义的序列{ann}n>1,如果n是由大于1的k次幂和1的a(n)=1除除的话。后者的Dirichlet g.f.是Zeta(S-1)/Zeta(K*S- K)。证明:为{Ann}的前几个项写出Dirichlet级数,然后用Zeta(k*s- k)的前几个项乘以它们。

N/D为无k幂的除数D之和是A(n)=n的Dirichlet卷积和K无幂数的特征函数。因此,Dirichlet g.f.是:ζ(S - 1)*ζ(S)/ζ(k*s)




正在施工中




带间隙(W)的字W=G。

对于字W,间隙g(w)是W的最小和最大元素之间缺失的部分的数目。

公式

E.g.f.:(Exp(x)- 1)^ 2。一般来说,对于字母{1,2,…,m},g(w)=g>0,E.F.是:SuMu{{k= G+ 2…m}(m- k+ 1)*二项式((k- 2),g)*(EXP(x)-1)^(k- g)。

例子

A(3)=6,因为我们有:113, 131, 133,311, 313, 331。


长度为n的二进制字的数目恰好出现k的thh和j出现的Hthh。

求解[a==VA(z ^ 4+aqa+b cBA)& & b==VB(z ^ 4+ab +bcbh),{a,b}〕/(1—2 z -a- b)/ ab ab=va>>U-1,VB-> Y-1}={CAAH-> Z^ 2,CAB-> 0,CBA -Z+Z^ 3,CBBH-> Z^ 3 }系列[S// vSu/·,{z,0,10} ] ab=

传递对称关系的数目EXP[2x] EXP[Exp[X] -X-1]。SUMIK K=0…NA124323(n,k)* 2 ^ k