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a(n)=n’=n的算术导数:a(0)=a(1)=0,a(素数)=1,a(m*n)=m*a(n,n)+n*a(m)。 (原名M3196)
+0 1064
0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, 8, 32, 1, 21, 1, 24, 10, 13, 1, 44, 10, 15, 27, 32, 1, 31, 1, 80, 14, 19, 12, 60, 1, 21, 16, 68, 1, 41, 1, 48, 39, 25, 1, 112, 14, 45, 20, 56, 1, 81, 16, 92, 22, 31, 1, 92, 1, 33, 51, 192, 18, 61, 1, 72, 26, 59, 1, 156, 1, 39, 55, 80, 18, 71
评论
通过定义a(-n)=-a(n),可以扩展为负数。
基于函数微分的乘积规则:对于函数f(x)和g(x),(fg)'=f'g+fg'。对于数字,(ab)'=a'b+ab'。这意味着1'=0-凯里·米切尔2004年3月18日
一个数x对素数p的导数为“dx/dp”=(x-x^p)/p,根据费马小定理,这是一个整数Alexandru Buium,2004年3月18日
关系(ab)'=a'b+ab'意味着1'=0,但它并不意味着p'=1表示p是素数。事实上,定义在素数上的任何函数f都可以唯一地扩展为满足此关系的整数上的函数:f(Product_i p_i^e_i)=(Product_ip_i*i*f(p_i)/p_i)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年11月7日
设n是k素数的多集P的乘积。考虑一个k维盒子,它的边是P的元素,那么这个盒子的(k-1)维曲面是2*a(n)。例如,2*a(25)=20,即5 X 5正方形的周长。类似地,2*a(18)=42,即2X3X3盒子的表面积-大卫·W·威尔逊2011年3月11日
1911年6月,西班牙数学家若泽·明戈特·雪莱(JoséMingot Shelly)首次引入了算术导数n’,并在“格拉纳达州国家议会第二次会议”(Tercer Congreso Nacional para el Progreso de las Ciencias,Granada)上发表了“Una cuestión de la teoría de los nümeros”(参见Zentralblatt MATH的摘要链接),以及L.E.Dickson,数字理论史-乔治·巴尔扎罗蒂2013年10月19日
当n是复合的时,似乎a(n)有下界2*sqrt(n),当n是素数的平方时,a(n-丹尼尔·福格斯,2016年6月22日
如果n=p1*p2*p3*。。。其中p1、p2、p3。。。是n的所有素因子(不一定是不同的),h是一个实数(我们假设h非负且<1),n的算术导数等价于n’=lim{h->0}((p1+h)*(p2+h)x(p3+h)*…-(p1*p2*p3*…))/h。也可以得出素数的算术导数是1。我们可以假设h=1/N,其中N是一个整数;然后限制变为{N->oo}。注意n=1不是素数,它起着常数的作用-乔治·巴尔扎罗蒂2023年5月1日
参考文献
G.Balzarotti,P.P.Lava,La derivata aritmetica,编辑U.Hoepli,米兰,2013年。
E.J.Barbeau,加拿大问题。数学。国会笔记,5(1973年4月第8号),6-7。
L.E.Dickson,《数字理论史》,第1卷,第19章,第451页,多佛版,2005年。(原著于1919年出版。)
A.M.Gleason等人,《威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛:1938-1964年的问题和解决方案》,《数学》。《美国协会》,1980年,第295页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Krassimir T.Atanassov,第n素数的一个公式2013年第4期,Tome 66,Comptes rendus de l'Académie bulgare des Sciences。
A.建筑物,推导的算术类比《代数杂志》198(1997),第1期,290-299。
A.建筑物,差分模块形式,J.Reine Angew。数学。520 (2000), 95-167.
Brad Emmons和Xiao Xiao,算术偏导数,arXiv:2201.12453[数学.NT],2022年。
何塞·玛丽亚·格劳和安东尼奥·奥尔勒·马塞恩,Giuga数与算术导数《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.4.1号。
J.Ković,算术导数与反导数《整数序列杂志》15(2012),第12.3.8条。
T.Tossavainen、P.Haukkanen、J.K.Merikoski和M.Mattila,我们也可以区分数字《大学数学杂志》第55期(2024年),第2期,第100-108页。
维克托·乌夫纳罗夫斯基和博奥伦德,如何区分数字,J.整数序列。,2003年第6卷,#03.3.4。
琳达·韦斯特里克,数字导数的研究2003年西门子基金会竞赛和2004年英特尔科学人才搜索。
配方奶粉
如果n=乘积p_i^e_i,a(n)=n*总和(e_i/p_i)。
a(n)=n*Sum_{p|n}v_p(n)/p,其中v_p(n)是素数p除以n的最大幂-韦斯利·伊凡·赫特2015年7月12日
对于n>=2,Sum_{k=2..n}楼层(1/a(k))=π(n)=A000720号(n) (见K.T.Atanassov文章)-伊万·伊纳基耶夫,2019年3月22日
极限{n->oo}(1/n^2)*Sum_{i=1..n}a(i)=A136141号/2.
极限{n->oo}(1/n)*和{i=1..n}a(i)/i=A136141号.
a(n)=n当且仅当n=p^p,其中p是质数。(结束)
如果n不是素数,那么a(n)>=2*sqrt(n),或者换句话说,对于所有k>=1,其中A002620型(n) +k不是素数,我们有一个(A002620型(n) +k)>n。[参见Ufnarovski和奥伦德,定理9,第(3)点。]
(结束)
例子
6' = (2*3)' = 2'*3 + 2*3' = 1*3 + 2*1 = 5.
请注意,例如,2'+3'=1+1=2,(2+3)'=5'=1。所以'不是线性的。
G.f.=x^2+x^3+4*x^4+x^5+5*x^6+x^7+12*x^8+6*x^9+7*x^10+。。。
MAPLE公司
A003415号:=程序(n)局部B,m,i,t1,t2,t3;B:=1000000000039;如果n<=1,则返回(0);fi;如果是质数(n),则返回(1);fi;t1:=系数(B*n);m:=nops(t1);t2:=0;对于i从1到m做t3:=op(i,t1);如果nops(t3)=1,则t2:=t2+1/op(t2);否则t2:=t2+op(2,t3)/op(op(1,t2));fiod:t2:=t2-1/B;n*t2;结束;
局部a,f;
a:=0;
对于ifactors(n)[2]中的f do
a:=a+op(2,f)/op(1,f);
结束do;
不适用;
数学
a[n_]:=如果[Abs@n<2,0,n总计[#2/#1&@@@FactorInteger[Abs@n]];(*迈克尔·索莫斯,2011年4月12日*)
dn[0]=0;dn[1]=0;dn[n_?阴性]:=-dn[-n];dn[n_]:=模[{f=Transpose[FactorInteger[n]]},如果[PrimeQ[n],1,Total[n*f[[2]]/f[[1]]]];表[dn[n],{n,0,100}](*T.D.诺伊2012年9月28日*)
黄体脂酮素
(PARI)A003415号(n) ={局部(fac);如果(n<1,0,fac=因子(n);和(i=1,矩阵大小(fac,[1],n*fac[i,2]/fac[i,1]))}/*迈克尔·波特2009年11月25日*/
(PARI)适用(A003415号(n) =向量([n/f[1]*f[2]|f<-因子(n+!n)~]),[0..99])\\M.F.哈斯勒,2013年9月25日,2019年11月27日更新
(哈斯克尔)
a003415 0=0
a003415 n=ad n a000040_list,其中
ad 1=0
ad n ps'@(p:ps)
|n<p*p=1
|r>0=ad n ps
|否则=n’+p*ad n’ps’,其中
(n’,r)=divMod n p
(Magma)Ad:=func<h|h*(&+[分解(h)[i][2]/分解(h;[n le 1在[0..80]]中选择0 else Ad(n):n//布鲁诺·贝塞利2013年10月22日
(Python)
来自sympy导入因子
如果n>1,则返回sum([int(n*e/p)for p,e in factorint(n).items()]),否则为0
(鼠尾草)
F=[],如果n==0,其他系数(n)
返回n*sum(f为g/f,f为g)
(间隙)
(APL,Dyalog方言)A003415号← { ⍺←(0 1 2) ⋄ ⍵≤1:⊃⍺ ⋄ 0=(3⊃⍺)|⍵:((⊃⍺+(2⊃⍺)×(⍵÷3⊃⍺)) ((2⊃⍺)×(3⊃⍺)) (3⊃⍺)) ∇ ⍵÷3⊃⍺ ⋄ ((⊃⍺) (2⊃⍺) (1+(3⊃⍺))) ∇ ⍵} ⍝安蒂·卡图恩2024年2月18日
交叉参考
囊性纤维变性。A328235型(最小k>0,使得对于某些自然数u,(n+k)'=u*n')。
囊性纤维变性。A328236型(最小m>1,使得对于某些自然数u,(m*n)'=u*n')。
囊性纤维变性。A328251型(对于任何k>=0,k次算术导数都不是平方自由的)。
囊性纤维变性。A328383(至少k使得n的k阶导数是n的倍数或除数,但不是两者都是)。
囊性纤维变性。A038554号(另一个序列名称中使用了“导数”,但涉及n的二进制展开)。
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