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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a300656-编号：a300655
显示找到的9个结果中的1-9个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A000584号 五次幂：a（n）=n^5。
（原名M5231 N2277） 		+10
184
0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, 11881376, 14348907, 17210368, 20511149 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
素数p的a（p）=p^5的全乘序列-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年11月1日
二项式变换产生A059338号。二项式逆变换产生（有限的）0、1、30、150、240、120，第5行A019538年和A131689型. -R.J.马塔尔2013年1月16日
等于n^2*（n-1）+1的奇数之和(A100104号)到n^2*（n+1）-1(A003777号). -布鲁诺·贝塞利2014年3月14日
a（n）mod 10=n mod 10-莱因哈德·祖姆凯勒2014年5月10日
形式a（n）+a（n+1）+…+的数字a（n+k）对于所有n都是非素数，k>=0；这可以通过A256581型. -弗拉基米尔·舍维列夫和彼得·J·C·摩西2015年4月4日
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第255页；第二。编辑，第269页。Worpitzky的身份（6.37）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
富兰克林·T·亚当斯-沃特斯，n=0..500时的n，a（n）表
Brady Haran和Simon Pampena，第五根诡计，数字视频（2014）
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
西蒙·普劳夫，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992
常系数线性递归的索引项，签名（6，-15,20，-15,6，-1）。
公式
通用格式：x*（1+26*x+66*x^2+26*x^3+x^4）/（x-1）^6。[西蒙·普劳夫在他1992年的论文中]
与a（p^e）相乘=p^（5e）-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
例如：exp（x）*（x+15*x ^2+25*x ^3+10*x ^4+x ^5）-杰弗里·克雷策2013年6月12日
a（n）=5*a（n-1）-10*a（n-2）+10*a（n3）-5*a（-n4）+a（n-5）+120-蚂蚁之王2013年9月23日
a（n）=n+和{j=0..n-1}{k=1..4}二项式（5，k）*j^（5-k）-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
发件人科洛索夫石油公司2018年10月22日：（开始）
a（n）=和{k=1..n}2006年6月56日（n，k）。
a（n）=和{k=0..n-1}2006年6月56日（n，k）。（完）
a（n）=和{k=1..5}欧拉（5，k）*二项式（n+5-k，5）=A008292号（5，k），数字1，26，66，26，1，对于n>=0。沃皮茨基的5次方身份。请参阅。例如，Graham等人，等式（6，37）（使用A173018型，行反转版本A123125号). -沃尔夫迪特·朗2019年7月17日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月8日：（开始）
和{n>=1}1/a（n）=zeta（5）(A013663号).
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=15*zeta（5）/16(A267316型). （完）
数学
范围[0，50]^5(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年2月20日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）[n**5代表范围（30）内的n]#零入侵拉霍斯2009年6月3日
（哈斯克尔）
a000584=（^5）--莱因哈德·祖姆凯勒2012年11月11日
（Maxima）标记列表（n^5，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
（PARI）a（n）=n^5\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年7月28日
交叉参考
部分金额给出A000539号.
囊性纤维变性。A000012号,A001477号,A000290型,A000578号,A000583号,A062392号,A022521号（第一个差异），A008292号,A173018型,A123125号.
囊性纤维变性。A013663号,A162624号,A267316型.
关键词
非n,容易的,复数
作者
N.J.A.斯隆
扩展
更多术语来自亨利·博托姆利2001年6月21日
状态
经核准的
A287326号 行读取三角形：T（n，k）=6*k*（n-k）+1；n>=0，0<=k<=n。 +10
15
1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 13, 1, 1, 19, 25, 19, 1, 1, 25, 37, 37, 25, 1, 1, 31, 49, 55, 49, 31, 1, 1, 37, 61, 73, 73, 61, 37, 1, 1, 43, 73, 91, 97, 91, 73, 43, 1, 1, 49, 85, 109, 121, 121, 109, 85, 49, 1, 1, 55, 97, 127, 145, 151, 145, 127, 97, 55, 1, 1, 61, 109, 145, 169, 181, 181, 169, 145, 109, 61, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
评论
发件人科洛索夫石油公司2020年4月12日：（开始）
设A（m，r）=A302971（米，米）/A304042型（m，r）。
设L（m，n，k）=Sum_{r=0..m}A（m，r）*k^r*（n-k）^r。
则T（n，k）=L（1，n，k），即对于m＝1，T（n，k）是L（m，n，k）的部分情况。
T（n，k）是对称的：T（n、k）=T（n和n-k）。
（完）
链接
乔治·菲舍尔，n=0..495时的n，a（n）表[科洛索夫石油公司第0..10和12..30行]
彼得罗·科洛索夫，二项式定理与幂函数离散卷积的联系，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2020年。
彼得罗·科洛索夫，涉及二项式定理和Faulhaber公式的多项式恒等式, 2023.
彼得罗·科洛索夫，多项式P_b^m（x）的历史和概述, 2024.
公式
T（n，k）=6*k*（n-k）+1。
k列的G.f:n^k*（1+（6*k-1）*n）/（1-n）^2。
通用公式：（-1+8*y+5*y^2+x*（1-14*y+y^2））/（-1+x）^2*（-1+y）^3）-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月9日
发件人科洛索夫石油公司，2019年6月5日（开始）：
T（n，k）=1/2*T(A294317号（n，k），k）+1/2。
T（n+1，k）=2*T（n，k）-T（n-1，k），对于n>=k。
T（n，k）=6*A077028号（n，k）-5。
T（2n，n）=A227776号（n） ●●●●。
T（2n+1，n）=A003154号（n+1）。
T（2n+3，n）=A166873号（n+1）。
和{k=0..n-1}T（n，k）=和{k=1..n}T（n，k）=A000578号（n） ●●●●。
和{k=1..n-1}T（n，k）=A068601号（n） ●●●●。
（n+1）^3-n^3=T(A000124号（n） ，1）。（完）
例子
三角形开始：
----------------------------------------
k=0 1 2 3 4 5 6 7 8
----------------------------------------
n=0:1；
n=1:1，1；
n=2:1,7,1；
n=3:1、13、13、1；
n=4:1、19、25、19、1；
n=5:1、25、37、37、25、1；
n=6:1、31、49、55、49、31、1；
n=7:1、37、61、73、73、61、37、1；
n=8:1、43、73、91、97、91、73、43、1；
MAPLE公司
温度：=（n，k）->6*k*（n-k）+1：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..11）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月9日
数学
T[n_，k_]：=6 k（n-k）+1；列[表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]，居中](*科洛索夫石油公司2019年6月2日*）
黄体脂酮素
（PARI）t（n，k）=6*k*（n-k）+1
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（t（x，y），“，”））；打印（“”）
/*打印最初的9行三角形，如下所示*/
三角形（9）\\费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2018年1月9日
（GAP）平面（列表（[0..11]，n->列表（[0..n]，k->6*k*（n-k）+1））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月9日
（岩浆）/*作为三角形*/[[6*k*（n-k）+1:k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2018年10月26日
交叉参考
列k=0..6给出A000012号,A016921号,A017533号,A161705型,A103214号,128470英镑,A158065型.
列总和k=0..4给出A000027号,A000567号,A051866号,A051872号,A255185型.
行总和给出A001093号.
L（m，n，k）的各种情况：这个序列（m=1），2006年6月56日（m=2），A300785型（m=3）。参见L（m，n，k）的注释。
立方体n^3的差值为T(A000124号（n） ，1）。
囊性纤维变性。A000578号,A038593号,A294317号,A007318号,A055012号,A077028号,A008458号,A302971,A304042型,A068601号,A166873号,A003154号,A227776号,A000124号,A003215号,A094053号.
关键词
非n,表,容易的
作者
科洛索夫石油公司2017年8月31日
状态
经核准的
A300785型 行读取三角形：T（n，k）=140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1；n>=0，0<=k<=n。 +10
10
1, 1, 1, 1, 127, 1, 1, 1093, 1093, 1, 1, 3739, 8905, 3739, 1, 1, 8905, 30157, 30157, 8905, 1, 1, 17431, 71569, 101935, 71569, 17431, 1, 1, 30157, 139861, 241753, 241753, 139861, 30157, 1, 1, 47923, 241753, 472291, 573217, 472291, 241753, 47923, 1, 1, 71569, 383965, 816229, 1119721, 1119721, 816229, 383965, 71569, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
发件人科洛索夫石油公司2020年4月12日：（开始）
设A（m，r）=A302971（米，米）/A304042型（m，r）。
设L（m，n，k）=Sum_{r=0..m}A（m，r）*k^r*（n-k）^r。
那么T（n，k）=L（3，n，k。
T（n，k）是对称的：T（n、k）=T（n和n-k）。（完）
链接
穆尼鲁·A·阿西鲁，三角形的行数n=0..100，展平.
科洛索夫石油公司，二项式定理与幂函数离散卷积的联系，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2020年。
彼得罗·科洛索夫，涉及二项式定理和Faulhaber公式的多项式恒等式, 2023.
彼得罗·科洛索夫，多项式P_b^m（x）的历史和概述, 2024.
公式
发件人科洛索夫石油公司2020年4月12日：（开始）
T（n，k）=140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1。
T（n，k）=140*A094053号（n，k）^3+0*A094053号（n，k）^2-14*A094053号（n，k）^1+1。
T（n+3，k）=4*T（n+2，k。
和{k=1..n}T（n，k）=A001015元（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）=A258806型（n） ●●●●。
和{k=0..n-1}T（n，k）=A001015号（n） ●●●●。
和{k=1..n-1}T（n，k）=A258808型（n） ●●●●。
和{k=1..n-1}T（n，k）=-A024005号（n） ●●●●。
和{k=1..r}T（n，k）=-A316387型（3，r，0）*n^0+A316387型（3，r，1）*n^1-A316387型（3，r，2）*n^2+A316387型（3，r，3）*n^3。（完）
例子
三角形开始：
--------------------------------------------------------------------
k=0 1 2 3 4 5 6 7 8
--------------------------------------------------------------------
n=0:1；
n=1:1，1；
n=2:1127,1；
n=3:11093，1093，1；
n=4:13739890537391；
n=5:18905301573015789051；
n=6:174317156910193571569174311；
n=7：1，30157，139861，241753，241753，139861，30157，1；
n=8:1，47923，241753，472291，573217，47229124175347923，1；
MAPLE公司
T： =（n，k）->140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1:seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月14日
数学
T[n，k_]：=140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1；列[
表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]，中心]（*来自科洛索夫石油公司2020年4月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）t（n，k）=140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1
三角线（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（t（x，y），“，”））；打印（“”）
/*打印最初的9行三角形，如下*/trianglerows（9）
（岩浆）/*作为三角形*/[[140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1:k in[0..n]]：n in[0..10]]//布鲁诺·贝塞利2018年3月21日
（鼠尾草）[[140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1表示范围（n+1）中的k]表示范围（12）中的n]#G.C.格鲁贝尔2018年12月14日
（间隙）T:=平面（列表（[0..9]，n->列表（[0..n]，k->140*k^3*（n-k）^3-14*k*（n-k）+1））#G.C.格鲁贝尔2018年12月14日
交叉参考
L（m，n，k）的各种情况：A287326号（m=1），2006年6月56日（m=2），该序列（m=3）。见L（m，n，k）的注释。
行总和给出A258806型.
囊性纤维变性。A000584号,A287326号,A007318号,A077028号,A294317号,A068236号,2006年6月56日,A302971,A304042型,A001015号,A094053号,A258808型,A024005号,A316387型.
关键词
非n,表,容易的
作者
科洛索夫石油公司2018年3月12日
状态
经核准的
A302971 行读取三角形：T（n，k）是R（n，k）的分子，由恒等式Sum_{i=0..l-1}Sum__{j=0..m}R（m，j）*（l-i）^j*i^j=l^（2*m+1）隐式定义，适用于所有l，m>=0。 +10
9
1, 1, 6, 1, 0, 30, 1, -14, 0, 140, 1, -120, 0, 0, 630, 1, -1386, 660, 0, 0, 2772, 1, -21840, 18018, 0, 0, 0, 12012, 1, -450054, 491400, -60060, 0, 0, 0, 51480, 1, -11880960, 15506040, -3712800, 0, 0, 0, 0, 218790, 1, -394788954, 581981400, -196409840, 8817900, 0, 0, 0, 0, 923780, 1, -16172552880, 26003271294, -10863652800, 1031151660, 0, 0, 0, 0, 0, 3879876 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
链接
n，a（n）的表，n=0..65。
P.-Y.Huang、S.-C.Liu和Y.-N.Yeh，某些生成函数中系数的有限和的同余《组合数学电子杂志》，21（2014），#P2.45。
C.约旦，有限差分法布达佩斯，Röttig和Romwalter，1939年。【仅对第448-450页进行注释扫描】
彼得罗·科洛索夫，二项式定理与幂函数离散卷积的联系，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2020年。
彼得罗·科洛索夫，定义和数值表.
彼得罗·科洛索夫，怪人的独特身份，arXiv:2101.00227[math.GM]，2021。
彼得罗·科洛索夫，涉及二项式定理和Faulhaber公式的多项式恒等式, 2023.
彼得罗·科洛索夫，多项式P_b^m（x）的历史和概述, 2024.
数学溢出，这些系数的讨论, 2018.
公式
循环次数由马克斯·阿列克谢耶夫（请参阅MathOverflow链接）：
如果k<0或k>n，R（n，k）=0。
R（n，k）=（2k+1）*二项式（2k，k），如果k=n。
R（n，k）=（2k+1）*二项式（2k，k）*求和{j=2k+1…n}R（n、j）*二项式（j，2k+1）*（-1）^（j-1）/（j-k）*伯努利（2j-2k），否则。
T（n，k）=分子（R（n，k））。
例子
三角形开始：
------------------------------------------------------------------------
k=0 1 2 3 4 5 6 7 8
------------------------------------------------------------------------
n=0:1；
n=1:1,6；
n=2:1,0,30；
n=3:1，-14,0140；
n=4:1、-120、0、0和630；
n=5:1，-1386，660，0，02772；
n=6:1，-21840，18018，0，0，12012；
n=7:1、-450054、491400、-60060、0、0和51480；
n=8:1、-11880960、15506040、-3712800、0、0，0、218790；
MAPLE公司
R：=proc（n，k），如果k<0或k>n，则返回0 fi；（2*k+1）*二项式（2*k，k）；
如果n=k，则%else-%*加上（（-1）^j*R（n，j）*二项式（j，2*k+1）*
伯努利（2*j-2*k）/（j-k），j=2*k+1..n）fi结束：T:=（n，k）->numer（R（n，k））：
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..n）），n=0..12）；
#数值检查S（m，n）=n^（2*m+1）：
S:=（m，n）->加（加（R（m，j）*（n-k）^j*k^j，j=0..m），k=0..n-1）：
seq（seq（S（m，n）-n^（2*m+1），n=0..12），m=0..12）#彼得·卢什尼2018年4月30日
数学
R[n_，k_]：=0
R[n_，k_]：=（2k+1）*二项式[2k，k]*
总和[R[n，j]*二项式[j，2k+1]*（-1）^（j-1）/（j-k）*
贝努利B[2j-2k]，{j，2k+1，n}]/；2 k+1<=n
R[n_，k_]：=（2n+1）*二项式[2n，n]/；k==n；
T[n_，k_]：=分子[R[n，k]]；
（*打印十五个三角形的初始行A302971*)
列[表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，n}]，居中]
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=如果（n>k）||（n<0），0，如果（k==n，（2*n+1）*二项式2*j-2*n））；
tabl（nn）=for（n=0，nn，for（k=0，n，print1（分子（T（k，n）），“，”）；打印）\\米歇尔·马库斯2018年4月27日
交叉参考
第二行的项目是定义中的系数A287326号.
第三行的项目是定义中的系数2006年6月56日.
第四行的项目是定义中的系数A300785型.
T（n，n）给出A002457号（n） ●●●●。
R（n，k）的分母如所示A304042型.
行总和返回A000079号（2n+1）-1。
囊性纤维变性。A007318号,A027641号,A027642号,A055012号,A077028号,A000146号,A002882号,A003245号,127187英镑,A127188号,A074909号,A164555号.
关键词
签名,表,容易的,压裂
作者
科洛索夫石油公司2018年4月16日
状态
经核准的
A304042型 行读取三角形：T（n，k）是R（n，k）的分母，由恒等式和{i=0..l-1}和{j=0..m}R（m，j）*（l-i）^j*i^j=l^（2*m+1）隐式定义，适用于所有l，m>=0。 +10
9
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,68
链接
Antti Karttunen，n，a（n）的表，n=0..10439（三角形的前144行）
P.-Y.Huang、S.-C.Liu和Y.-N.Yeh，某些生成函数中系数的有限和的同余《组合数学电子杂志》，21（2014），#P2.45。
C.约旦，有限差分法布达佩斯，1939年。[仅第448-450页的注释扫描]
彼得罗·科洛索夫，二项式定理与幂函数离散卷积的联系，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2020年。
彼得罗·科洛索夫，定义和数值表.
彼得罗·科洛索夫，怪人的独特身份，arXiv:2101.00227[math.GM]，2021。
彼得罗·科洛索夫，涉及二项式定理和Faulhaber公式的多项式恒等式, 2023.
彼得罗·科洛索夫，多项式P_b^m（x）的历史和概述, 2024.
数学溢出，这些系数的讨论, 2018.
公式
循环次数由马克斯·阿列克谢耶夫（请参阅MathOverflow链接）：
如果k<0或k>n，R（n，k）=0。
R（n，k）=（2k+1）*二项式（2k，k），如果k=n。
R（n，k）=（2k+1）*二项式（2k，k）*求和{j=2k+1…n}R（n、j）*二项式（j，2k+1）*（-1）^（j-1）/（j-k）*伯努利（2j-2k），否则。
T（n，k）=分母（R（n，k））。
例子
三角形开始：
-----------------------------------------------------
k=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-----------------------------------------------------
n=0:1；
n=1:1，1；
n=2:1,1；
n=3:1,1,1；
n=4:1、1、1和1；
n=5:1，1，1、1、1，1；
n=6:1，1，1；
n=7:1，1，1；
n=8:1，1，1；
n=9:1，1，1；
n=10:1，1，1；
n=11:1,5,1,1,1,5,1,1,1,1,1,1；
n=12:1，3，1，3，1,1,1,1,1；
n=13:1，1，1；
n=14:1，1，1；
n=15:1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1；
数学
R[n_，k_]：=0
R[n_，k_]：=（2k+1）*二项式[2k，k]*
总和[R[n，j]*二项式[j，2k+1]*（-1）^（j-1）/（j-k）*
贝努利B[2j-2k]，{j，2k+1，n}]/；2 k+1<=n
R[n_，k_]：=（2n+1）*二项式[2n，n]/；k==n；
T[n_，k_]：=分母[R[n，k]]；
（*打印十五个三角形的初始行A304042型*)
列[表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，n}]，居中]
黄体脂酮素
（PARI）
向上=1274；\\=二项式（50+1，2）-1
A304042aux（n，k）=if（（k<0）||（k>n），0，（k+k+1）*二项式（2*k，k）*if；
A304042tr（n，k）=分母（A304042辅助（n，k））；
A304042list（up_to）={my（v=向量（up_tto），i=0）；对于（n=0，oo，对于（k=0，n，如果（i++>up_to，返回（v））；v[i]=A304042 tr（n，k））；（v）；}；
v304042=A304042列表（1+up_to）；
A304042型（n） =v304042[1+n]\\安蒂·卡图恩2018年11月7日
交叉参考
分子如所示A302971.
囊性纤维变性。A287326号,2006年6月56日,A300785型,A007318号,A027641号,A027642号,A055012号,A077028号,A000146号,A002882号,A003245号,A127187号,A127188号,A074909号,A164555号.
关键词
非n,表,压裂
作者
科洛索夫石油公司2018年5月5日
状态
经核准的
A258807型 a（n）=n^5-1。 +10
7
0, 31, 242, 1023, 3124, 7775, 16806, 32767, 59048, 99999, 161050, 248831, 371292, 537823, 759374, 1048575, 1419856, 1889567, 2476098, 3199999, 4084100, 5153631, 6436342, 7962623, 9765624, 11881375, 14348906, 17210367, 20511148, 24299999, 28629150, 33554431 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
链接
穆尼鲁·A·阿西鲁，n=1..5000时的n，a（n）表
常系数线性递归的索引项，签名（6，-15,20，-15,6，-1）。
公式
通用格式：x^2*（31+56*x+36*x^2-4*x^3+x^4）/（1-x）^6。
a（n）=6*a（n-1）-15*a（n-2）+20*a（n3）-15*a（n-4）+6*a（-n5）-a（n-6）。
a（n）=-A024003号（n） ●●●●-布鲁诺·贝塞利2015年6月11日
求和{n>=2}1/a（n）=求和{n>=1}（zeta（5*n）-1）=0.0379539032-阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月6日
MAPLE公司
seq（n^5-1，n=1..35）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月28日
数学
表[n^5-1，{n，1，50}]（*或*）线性递归[{6，-15，20，-15、6，-1}，{0，31，242，1023，3124，7775}，50]
黄体脂酮素
（岩浆）[1..50]]；/*或*/I:=[0，31，242，1023，3124，7775]；[n le 6在[1..50]]中选择I[n]else 6*Self（n-1）-15*Self（n-2）+20*Self（n-3）-15*Self（n-4）+6*Self（n-5）-Self（n-6）:n；
（鼠尾草）[n^5-1代表n in（1..50）]#布鲁诺·贝塞利2015年6月11日
（PARI）a（n）=n^5-1\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年6月11日
（GAP）列表（[1..35]，n->n^5-1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月28日
（Python）对于范围（1,50）中的n：打印（n**5-1，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月28日
交叉参考
的后续A181124号.
囊性纤维变性。A024003号,A024049号,2006年6月56日.
类型为n^k-1的序列：A132411号（k=2），A068601号（k=3），A123865型（k=4），该序列（k=5），A123866号（k=6），A258808型（k=7），A258809型（k=8），A258810型（k=9），A123867号（k=10），A258812型（k=11），A123868号（k=12）。
关键词
非n,容易的
作者
文森佐·利班迪2015年6月11日
状态
经核准的
A316349型 考虑由恒等式和{k=1..L}和{j=0..m}定义的系数U（m，L，k）A302971（米，j）/A304042型（m，j）*k^j*（T-k）^j=Sum_{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，L，k）*T^k适用于所有正整数L，m，T。该序列给出了按行读取的三列表，其中第n行列出了k=0，1，2的系数U（2，n，k）；n>=1。 +10
7
31, 60, 30, 512, 540, 150, 2943, 2160, 420, 10624, 6000, 900, 29375, 13500, 1650, 68256, 26460, 2730, 140287, 47040, 4200, 263168, 77760, 6120, 459999, 121500, 8550, 760000, 181500, 11550, 1199231, 261360, 15180, 1821312, 365040, 19500, 2678143, 496860, 24570, 3830624, 661500, 30450 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
对于L=T，恒等式的形式为T^（2m+1）=Sum_{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，T，k）*T^k，它适用于所有正整数T和m。
链接
n=1..42时的n，a（n）表。
马克斯·阿列克塞耶夫，U（m，n，k）通式的推导，MathOverflow，2018。
彼得罗·科洛索夫，幂函数的级数表示，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2018年。
彼得罗·科洛索夫，关于当前序列推导的更多细节.
彼得罗·科洛索夫，Mathematica程序，验证单位T^（2m+1）=和{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，T，k）*T^k对于m=0,1，。。。，12
Petro Kolosov，多项式P_b^m（x）的历史和概述, 2024.
公式
U（2，n，0）=6*n^5+15*n^4+10*n^3；U（2，n，1）=15*n^4+30*n^3+15*n^2；U（2，n，2）=10*n^3+15*n^2+5*n-马克斯·阿列克谢耶夫2018年9月6日
发件人科林·巴克2018年7月6日：（开始）
总尺寸：x*（31+60*x+30*x^2+326*x^3+180*x^4-30*x^5+336*x^6-180*x*7-30*x^8+26*x^9-60*x^10+30*x^11+x^12）/（1-x）^6*（1+x+x^2）^6）。
当n>18时，a（n）=6*a（n-3）-15*a（n-6）+20*a（n9）-15*a（n-12）+6*a（n-15）-a（n-18）。
（完）
U（m，L，t）=（-1）^m*和{k=1..L}和{j=t.m}二项式（j，t）*R（m，j）*k^{2j-t}*（-1）=A302971（米，j）/A304042型（m，j）；之后马克斯·阿列克谢耶夫，请参阅链接。
例子
柱-柱-柱
L k=0 k=1 k=2
-- ------- ------- ------
1 31 60 30
2 512 540 150
3 2943 2160 420
4 10624 6000 900
5 29375 13500 1650
6 68256 26460 2730
7 140287 47040 4200
8 263168 77760 6120
9 459999 121500 8550
10 760000 181500 11550
11 1199231 261360 15180
12 1821312 365040 19500
...
数学
（*定义R[n，k]：=A302971（米，j）/A304042型（m，j）*）
R[n_，k_]：=0
R[n_，k_]：=（2k+1）*二项式[2k，k]*
总和[R[n，j]*二项式[j，2k+1]*（-1）^（j-1）/（j-k）*
贝努利B[2j-2k]，{j，2k+1，n}]/；2 k+1<=n
R[n_，k_]：=（2n+1）*二项式[2n，n]/；k==n；
（*定义U（m，l，t）系数*）
U[m_，l_，t_]：=（-1）^m求和[Sum[二项式[j，t]R[m，j]k^（2j-t）（-1）|j，{j，t，m}]，{k，1，l}]；
（*定义变量“m”的值，对于A316349型*)
m=2；
（*打印l上的前10行U（m，l，t）系数：1<=l<=10*）
列[表[U[m，l，t]，{l，1，10}，{t，0，m}]]
交叉参考
m=1的情况是A320047飞机.
m=3的情况是A316387型.
列k=0为A316457型.
列k=1为A316458型.
列k=2为A316459型.
囊性纤维变性。A302971,A304042型,A287326号,2006年6月56日,A300785型.
关键词
非n,标签
作者
科洛索夫石油公司，2018年6月29日
扩展
编辑人马克斯·阿列克谢耶夫2018年9月6日
状态
经核准的
A316387型 考虑由恒等式和{k=1..L}和{j=0..m}定义的系数U（m，L，k）A302971（米，j）/A304042型（m，j）*k^j*（T-k）^j=Sum_{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，L，k）*T^k，适用于所有正整数L，m，T。该序列给出了按行读取的4列表，其中第n行列出了k=0，1，2，3时的系数U（3，n，k）；n>=1。 +10
7
125, 406, 420, 140, 9028, 13818, 7140, 1260, 110961, 115836, 41160, 5040, 684176, 545860, 148680, 14000, 2871325, 1858290, 411180, 31500, 9402660, 5124126, 955500, 61740, 25872833, 12182968, 1963920, 109760, 62572096, 25945416, 3684240, 181440, 136972701, 50745870, 6439860, 283500, 276971300, 92745730, 10639860, 423500 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
对于T=L，恒等式的形式为T^（2m+1）=Sum_{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，T，k）*T^k，它适用于所有正整数T和m。
链接
n=1..40时的n，a（n）表。
马克斯·阿列克塞耶夫，U（m，n，k）通式的推导，MathOverflow，2018年。
彼得罗·科洛索夫，涉及二项式定理和Faulhaber公式的另一个幂恒等式，arXiv:1603.02468[math.NT]，2018年。
Petro Kolosov，关于当前序列推导的更多细节.
彼得罗·科洛索夫，Mathematica程序，验证单位T^（2m+1）=和{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，T，k）*T^k对于m=0,1，。。。，12
彼得罗·科洛索夫，多项式P_b^m（x）的历史和概述, 2024.
公式
U（3，n，0）=20*n^7+70*n^6+70*n ^5-28*n ^3-7*n ^2；U（3，n，1）=70*n^6+210*n^5+175*n^4-42*n^2-7*n；U（3，n，2）=84*n^5+210*n^4+140*n^3-14*n；U（3，n，3）=35*n^4+70*n^3+35*n^2-马克斯·阿列克谢耶夫2018年9月6日
发件人科林·巴克2018年7月9日；已由更正马克斯·阿列克谢耶夫2018年9月6日：（开始）
总尺寸：x*（125+406*x+420*x^2+140*x^3+8028*x^4+10570*x^5+3780*x^6+140*x^7+42237*x^8+16660*x^9-4200*x^10-1120*x`11+42272*x^12-16660*x*^13-4200*x^14+1120*x^15+8007*x^16-10570*x*x^17+3780*x^18-140*x*19+132*x^20-406*x^21+420*x^22-140*x^23-x^24）/（（1-x）^8*（1+x）^8*（1+x^2）^8）。
当n>32时，a（n）=8*a（n-4）-28*a。
（完）
U（m，L，t）=（-1）^m*Sum_{k=1..L}Sum_{j=t.m}二项式（j，t）*R（m，j）*k^{2j-t}*（-1）^j，其中m=1，L>=1和R（m，j）=A302971（米，j）/A304042型（m，j）；之后马克斯·阿列克谢耶夫，请参阅链接-科洛索夫石油公司2018年10月4日
例子
柱柱柱
L k=0 k=1 k=2 k=3
-- ------------ ---------- ---------- -------
1 125 406 420 140
2 9028 13818 7140 1260
3 110961 115836 41160 5040
4 684176 545860 148680 14000
5 2871325 1858290 411180 31500
6 9402660 5124126 955500 61740
7 25872833 12182968 1963920 109760
8 62572096 25945416 3684240 181440
9 136972701 50745870 6439860 283500
10 276971300 92745730 10639860 423500
11 524988145 160386996 16789080 609840
12 943023888 264896268 25498200 851760
13 1618774781 420839146 37493820 1159340
14 2672907076 646725030 53628540 1543500
15 4267591425 965662320 74891040 2016000
16 6616398080 1406064016 102416160 2589440
17 9995653693 2002403718 137494980 3277260
18 14757360516 2796022026 181584900 4093740
19 21343778801 3835983340 236319720 5054000
20 30303773200 5179983060 303519720 6174000
...
数学
（*定义R[n，k]：=A302971（米，j）/A304042型（m，j）*）
R[n_，k_]：=0
R[n_，k_]：=（2k+1）*二项式[2k，k]*
总和[R[n，j]*二项式[j，2k+1]*（-1）^（j-1）/（j-k）*
贝努利B[2j-2k]，{j，2k+1，n}]/；2 k+1<=n
R[n_，k_]：=（2n+1）*二项式[2n，n]/；k==n；
（*定义U（m，l，t）系数*）
U[m_，l_，t_]：=（-1）^m求和[Sum[二项式[j，t]R[m，j]k^（2j-t）（-1）|j，{j，t，m}]，{k，1，l}]；
（*定义变量“m”的值*）
m=3；
（*打印上面定义的“m”的前10行U（m，l，t）系数*）
列[表[U[m，l，t]，{l，1，10}，{t，0，m}]]
交叉参考
m=1的情况是A320047飞机.
m=2的情况是A316349型.
列k=0为A317981型.
列k=1为A317982型.
列k=2为17983年.
列k=3为A317984型.
囊性纤维变性。A287326号,2006年6月56日,A300785型,A302971,A304042型.
关键词
非n,标签
作者
科洛索夫石油公司2018年7月1日
扩展
编辑人马克斯·阿列克谢耶夫2018年9月6日
状态
经核准的
A320047飞机 考虑由恒等式和{k=1..l}和{j=0..m}定义的系数U（m，l，k）A302971（米，j）/A304042型（m，j）*k^j*（T-k）^j=Sum_{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，l，k）*T^k适用于所有正整数l，m，T。此序列给出了按行读取的2列表，其中第n行列出了k=0，1和n>=1的系数U（1，n，k）。 +10
5
5, 6, 28, 18, 81, 36, 176, 60, 325, 90, 540, 126, 833, 168, 1216, 216, 1701, 270, 2300, 330, 3025, 396, 3888, 468, 4901, 546, 6076, 630, 7425, 720, 8960, 816, 10693, 918, 12636, 1026, 14801, 1140, 17200, 1260, 19845, 1386, 22748, 1518, 25921, 1656 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
对于l=T，恒等式的形式为T^（2m+1）=Sum_{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，T，k）*T^k，它适用于所有正整数T和m。
链接
n，a（n）的表，n=1..46。
马克斯·阿列克塞耶夫，U（m，n，k）通式的推导，MathOverflow，2018年。
彼得罗·科洛索夫，涉及二项式定理和Faulhaber公式的另一个幂恒等式，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2018年。
彼得罗·科洛索夫，关于当前序列推导的更多细节.
彼得罗·科洛索夫，Mathematica程序，验证单位T^（2m+1）=和{k=0..m}（-1）^（m-k）*U（m，T，k）*T^k对于m=0,1，。。。，12
彼得罗·科洛索夫，多项式P_b^m（x）的历史和概述, 2024.
公式
U（m，l，t）=（-1）^m*和{k=1..l}和{j=t.m}二项式（j，t）*R（m，j）*k^{2j-t}*（-1）=A302971（m，j）/A304042型（m，j）；之后马克斯·阿列克谢耶夫，请参阅链接。
推测来自科林·巴克2019年8月3日：（开始）
通用格式：x*（5+6*x+8*x^2-6*x^3-x^4）/（1-x）^4*（1+x）^4）。
a（n）=（4-4*（-1）^n-3*（-5+（-1））^n）*n-3*。
当n>8时，a（n）=4*a（n-2）-6*a（n-4）+4*a（n6）-a（n-8）。
（完）
例子
立柱
l k=0 k=1
--- ------ ------
1 5 6
2 28 18
3 81 36
4 176 60
5 325 90
6 540 126
7 833 168
8 1216 216
9 1701 270
10 2300 330
11 3025 396
12 3888 468
...
数学
（*定义R[n，k]：=A302971（n，k）/A304042型（n，k）*）
R[n_，k_]：=0
R[n_，k]：=（2k+1）*二项式[2k，k]*
总和[R[n，j]*二项式[j，2k+1]*（-1）^（j-1）/（j-k）*
贝努利B[2j-2k]，{j，2k+1，n}]/；2 k+1<=n
R[n_，k_]：=（2n+1）*二项式[2n，n]/；k==n；
（*定义U（m，l，t）系数*）
U[m_，l_，t_]：=（-1）^m求和[Sum[二项式[j，t]R[m，j]k^（2j-t）（-1）|j，{j，t，m}]，{k，1，l}]；
（*将变量“m”的值定义为m=1A320047飞机*)
m=1；
（*打印上面定义的“m”的前10行U（m，l，t）系数*）
列[表[U[m，l，t]，{l，1，10}，{t，0，m}]]
交叉参考
m=2的情况是A316349型.
m=3的情况是A316387型.
列k=0为A275709型.
列k=1为A028896号.
囊性纤维变性。A302971,A304042型,A287326号,2006年6月56日,A300785型.
关键词
非n,标签
作者
科洛索夫石油公司2018年10月4日
状态
经核准的
第页1

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