搜索： a174824-编号：a174825
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1, 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 2, 2, 10, 1, 12, 3, 4, 1, 16, 1, 18, 1, 2, 5, 22, 1, 4, 6, 2, 3, 28, 2, 30, 1, 10, 8, 12, 1, 36, 9, 4, 1, 40, 1, 42, 5, 4, 11, 46, 1, 6, 2, 16, 3, 52, 1, 4, 3, 6, 14, 58, 1, 60, 15, 2, 1, 12, 5, 66, 4, 22, 6, 70, 1, 72, 18, 4, 9, 30, 2, 78, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1]猫[Lcm（n，CarmichaelLambda（n））/n:n in[2..100]]：//2016年2月3日
（PARI）a（n）=我的（ps）；ps=因子（n）[，1]~；m=n；对于（k=1，#ps，m=lcm（m，ps[k]-1））；m/n号\\米歇尔·马库斯2016年2月21日
（PARI）适用（{A268336型（n） =lcm（lcm（[p-1|p<-因子（n）[，1]]），n）/n}，[1..99]）\\[…]=znstar（n）[2]，但速度快3倍-M.F.哈斯勒2019年11月13日
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非n,容易的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果n>1被分解为Product_{i=1..m}（p_i）^（e_i），那么{k^k mod n:k>e}是纯周期的，e=max_{i=1..m}（p2）*floor（（e_i-1）/（p_i））。对于n>1，{k^kmodn:k>0}是纯周期的，当e_i<=p_i，1<=i<=m。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=k^k mod n iff：设p是k的任意素因子，则n不能被p^（k+1）整除。
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例子
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表格开始
n=1:0，
n=2:0，1，
n=3:0,1,1,0,1,2，
n=4:0，1，0，3，
n=5:0，1，4，2，1，0，1，
n=6:0，1，4，3，4，5，
n=7:0，1，4，6，4，3，1，0，1，
n=8:0、1、0、3、0、5、0、7、，
n=9:0，1，4，0，4，2，0，7，1，0，1，
n=10:0、1、4、7、6、5、6、3、6、9、0、1，6、3，6、6、7、4、9、，
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=我的（s=lcm（n，lcm（znstar（n）[2]））；升程（Mod（k+s，n）^（k+s））
tabf（nn）=对于（n=1，nn，对于（k=0，lcm（n，lcm（znstar（n）[2]））-1，print1（T（n，k），“，”）；打印）；
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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经核准的
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A000312号
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| a（n）=n ^n；从n点到自身的标记映射数（内函数）。
（原名M3619 N1469）
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+10
572
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1, 1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000, 285311670611, 8916100448256, 302875106592253, 11112006825558016, 437893890380859375, 18446744073709551616, 827240261886336764177, 39346408075296537575424, 1978419655660313589123979
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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还有n个节点上标记的尖根树（或脊椎动物）的数量。
对于n>=1，a（n）也是n X n（0,1）矩阵的数量，其中每行正好包含一个等于1的条目Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年4月21日
此外，（n+1）节点上标记的根树的数量，使得根低于其子节点。此外，（n+1）节点上交替标记的根有序树的数量，使得根低于其子节点塞德里克·乔夫（Chauve（AT）lacim.uqam.ca），2002年3月27日
其中p（n）=n的整数分区的数量，p（i）=n的第i个分区的部分的数量，d（i）=n的第i个分区的不同部分的数量，p（j，i）=n的第i个分区的第j个部分，m（i，j）=n的第i个分区的第j个部分的多重性，有：a（n）=Sum_｛i=1..p（n）｝（n！/（Product_｛j=1..p（i）｝p（i，j）！））*（（n！/（n-p（i）））/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
a（n）是以0为根的{0,1,2，…，n}上所有（n+1）^（n-1）棵树的叶子总数。例如，如果边指向远离根的方向，则{0,1,2}上的树是{0->1,0->2}、{0->1->2}、{0->2->1}，并且总共包含（2）=4个叶子-大卫·卡伦2007年2月1日
极限{n->infinity}A000169号（n+1）/a（n）=经验（1）。收敛速度较慢，例如，需要n>74才能得到一个小数位的正确值，并且需要n>163才能得到其中的两个-阿隆索·德尔·阿特，2011年6月20日
也是最小的k，使得二项式（k，n）可以被n^（n-1）整除，n>0-米歇尔·拉格诺2013年7月29日
对于n>=2，a（n）以n为基数表示为“1后面跟着n个零”-R.J.卡诺2014年8月22日
n个字母的字母表中长度为n的单词的数量-乔格·阿恩特2015年5月15日
满足本福德定律【Miller，2015年】-N.J.A.斯隆2017年2月12日
除了第一项（1，-4，-27，256，3125，-46656，…）之外，这个序列的有符号版本具有以下性质：对于每个素数p==1（mod 2n），（-1）^（n（n-1）/2）*n^n=A057077号（n） *a（n）总是模p的第2次幂剩余-宋嘉宁2018年9月5日
n^n都是和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）
和和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）*i。
前者是一次投掷n个n边骰子的常见二项式分布，根据所需边出现的次数，从0到n。后者是相同的，但每个项都乘以其数量。这意味着，如果银行为每一个拥有所选方的骰子支付玩家1个令牌，那么如果玩家支付1个令牌进入，这总是一场公平的游戏——银行和玩家平均都不会赢。
示例：
双面骰子（2枚硬币）：4=1+2+1=1*0+2*1*2（从现在开始省略0）；
三面骰子（3个长三角棱镜）：27=8+12+6+1=12*1+6*2+1*3；
四边骰子（4个长方形棱镜或4个四面体）：256=81+108+54+12+1=108*1+54*2+12*3+1*4；
五边形骰子（5个长五边形棱镜）：3125=1024+1280+640+160+20+1=1280*1+640*2+160*3+20*4+1*5；
六面骰子（6个方块）：46656=15625+18750+9375+2500+375+30+1=18750*1+9375*2+2500*3+375*4+30*5+1*6。
（结束）
对于每个n>=1，在一个（n）顶点上有一个图，其最大独立集的大小为n，其独立集序列是常数（具体来说，对于每个k=1,2，…，n，该图有n^n个大小为k的独立集）。没有具有此特性的小阶图（Ball等人2019）-大卫·加尔文2019年6月13日
对于n>=2和1<=k<=n，a（n）*（n+1）/4+a（n。。。长度为n的w（n）在以下数量的字母{1，2，…，n}上：和{i=1..w（k）}w（i）。灵感来自AMM中的问题12432（参见链接）-塞拉·弗里德2023年12月10日
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参考文献
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F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，《组合物种和树状结构》，剑桥，1998年，第62、63、87页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第173页，第39页。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992，等式（4.2.2.37）
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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泰勒·鲍尔（Taylor Ball）、大卫·加尔文（David Galvin）、凯蒂·海瑞（Katie Hyry）和凯尔·温加特纳（Kyle Weingartner），独立集与匹配排列，arXiv:1901.06579[math.CO]，2019年。
H.J.Brothers和J.A.Knox，对数常数e的新闭式逼近《数学智能》，第20卷（4），1998年，第25-29页。（序列如公式（8）所示）
C.Chauve、S.Dulucq和O.Guibert，一些标记树的枚举《FPSAC/SFCA 2000会议录》（莫斯科），施普林格出版社，第146-157页。
E.Vigren（投标人），问题12432阿默尔。数学。《月刊》第130期（2023年），第953页。
迪米特里·茨万金，幂级数代数。。。，arXiv:math/0403092[math.AG]，2004年。
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配方奶粉
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a（n-1）=-和{i=1..n}（-1）^i*i*n^（n-1-i）*二项式（n，i）.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月28日
例如：1/（1+W（-x）），W（x）=兰伯特函数的主分支。
关于分母为a（n）的幂级数的注记：设f（x）=1+Sum_{n>=1}x^n/n^n。然后作为x->infinity，f（x）~exp（x/e）*sqrt（2*Pi*x/e）-菲利普·弗拉乔莱，2008年9月11日
例如：1-exp（W（-x）），偏移量为1，其中W（x）=Lambert函数的主分支-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年9月15日
偏移量为1时，例如f.是组成逆（（x-1）*log（1-x））^（-1）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+27*x^4/4！+-彼得·巴拉2011年12月9日
a（n）=（n-1）^（n-1）*（2*n）+Sum_{i=1..n-2}二项式（n，i）*（i^i*（n-i-1）^（n-i-1）），n>1，a（0）=1，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年11月28日
log（a（n））=lim{k->infinity}k*（n^（1+1/k）-n）-理查德·福伯格2015年2月4日
Sum_｛n>=1｝1/a（n）^2=1.063887103=A086648号.
Limit_{n->oo}（a（n+1）/a（n）-a（n）/a（n-1））=e（请参阅Brothers/Knox链接）-哈兰·J·兄弟2021年10月24日
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+27*x^3+256*x^4+3125*x^5+46656*x^6+823543*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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表[Sum[StirlingS2[n，i]i！二项式[n，i]，{i，0，n}]，{n，0，20}](*杰弗里·克雷策2009年3月17日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，n^n]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[1/（1+LambertW[-x]），{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[Nest[1/（1-x/（1-积分[#，x]））&，1+O[x]，n]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=n+1}，m！SeriesCoefficient[Inverse Series[级数[（x-1）Log[1-x]，{x，0，m}]]，m]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n^n}；
（PARI）是（n）=我的（b，k=功率（n，&b））；如果（k，对于（e=1，估值（k，b），如果（k/b^e==e，返回（1）））；n==1\\查尔斯·R·Greathouse IV2013年1月14日
（PARI）{a（n）=my（a=1+O（x））；如果（n<0，0，for（k=1，n，a=1/（1-x/（1-intformal（a）））；n！*polcoeff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*/
（哈斯克尔）
a000312 n=n ^n
a000312_list=zipWith（^）[0..][0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月7日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000107美元,A000169号,A000272号,A001372号,A007778号,A007830号,A008785号-A008791号,A019538年,A048993号,A008279号,A085741号,A062206型,A212333型.
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关键字
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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经核准的
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1, 2, 6, 4, 20, 6, 42, 8, 18, 20, 110, 12, 156, 42, 120, 16, 272, 18, 342, 40, 84, 110, 506, 24, 100, 156, 54, 84, 812, 120, 930, 32, 660, 272, 840, 36, 1332, 342, 312, 80, 1640, 84, 1806, 220, 360, 506, 2162, 48, 294, 100, 1632, 312, 2756, 54, 440, 168, 684, 812, 3422
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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MAPLE公司
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数学
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表[LCM[n，EulerPhi[n]]，{n，100}](*韦斯利·伊万·赫特2014年1月29日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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非n
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经核准的
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1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 50, 54, 60, 64, 68, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 100, 108, 110, 114, 120, 126, 128, 136, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 180, 192, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 228, 234, 240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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无平方项：1、2、6、10、30、42、78、110、114、210、222。。。
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例子
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=我的（f=系数（n）[，1]，m=n）；对于（k=1，#f，m=lcm（m，f[k]-1））；m/=n；m&&n%m==0\\查尔斯·R·Greathouse IV2016年2月22日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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对于n>0，a（n）是周期性的，周期为6：重复[1，1，0，1，2，0]。
1110119/9999999 0的十进制扩展-大卫·A·科内斯2016年6月28日
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链接
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配方奶粉
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通用格式：（1+x+x^2+x^4+2*x^5-x^6）/（1-x^6-布鲁诺·贝塞利2012年1月18日
当n>6时，a（n）=a（n-6）。
a（n）=sin（n*Pi/3）*（10*sin（n*Pi/3。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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表[PowerMod[n，n，3]，{n，0，140}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1]猫[Modexp（n，n，3）：n in[1..100]]//韦斯利·伊万·赫特2016年6月28日
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交叉参考
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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通用格式：（x^6-5*x^5-4*x^4-3*x^3-4*x^2-x-1）/（（x-1）*（x+1）*（x^2-x+1）x（x^2+x+1））。[科林·巴克2012年7月20日]
当n>5时，a（n）=a（n-6）。
对于n>0，a（0）=1，a（n）=（17-cos（n*Pi）-8*cos。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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表[PowerMod[n，n，6]，{n，0，140}]
联接[{1}，LinearRecurrence[{0，0，0、0、1}、{1，4，3，4，5，0}，86]](*雷·钱德勒2015年8月26日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1]猫和猫[1，4，3，4，5，0]^^20]//韦斯利·伊万·赫特2016年6月23日
（PARI）a（n）=升力（Mod（n，6）^n）\\安德鲁·霍罗伊德2018年2月25日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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1, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：（1+x+3x^3-x^4）/（1-x^4。
a（n）=（1-（-1）^n）*（2+i^（n+1））/2，其中i=sqrt（-1），a（0）=1。
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MAPLE公司
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数学
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表[PowerMod[n，n，4]，{n，0，140}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1]猫和猫[1,0,3,0]^^30]//韦斯利·伊万·赫特2016年6月15日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 4, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 4, 4, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 4, 4, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 4, 4, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 4, 4, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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对于n>0，周期为20=A174824号（5） ：重复[1,4,2,1,0,1,3,1,4,0,1,1,3,1,3,1,0,1,2,4,4,0]。
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链接
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数学
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表[PowerMod[n，n，5]，{n，0，140}]
联接[{1}，线性递归[{0，0，0(*雷·钱德勒2015年8月26日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A338445美元
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| 整数解为x^x==（x+1）^（x+1）（mod m）且1<=x<m的数字m。 |
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+10
2
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3, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 43, 49, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 93, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 129, 131, 133, 141, 143, 147, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 177, 179, 183, 187, 197, 199, 201, 203, 205, 211, 217, 229, 235, 237, 239
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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m的一些值有多个解。
例如，对于m=49，25^25==26^26（mod 49）和37^37==38^38（mod 48）。
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链接
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例子
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3是一个术语，因为1^1==2^2（mod 3）。
11是一个术语，因为8^8==9^9（mod 11）。
13是一个术语，因为8^8==9^9（mod 13）。
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MAPLE公司
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过滤器：=proc（n）局部x，y，z；
y： =1；
对于x从2到n-1 do
z： =x&^x模块；
如果z＝y，则返回真fi；
y： =z
od；
假
结束进程：
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数学
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seqQ[n_]：=AnyTrue[Range[n-1]，PowerMod[#，#，n]==PowerMod[#+1，#+1，n]&]；选择[Range[240]，seqQ](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）isok（m）=总和（i=1，m-1，Mod（i，m）^i==Mod（（i+1），m）^（i+1））\\安德鲁·霍罗伊德2020年10月28日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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