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按行读取的三角形:T(n,k)给出最大块长度k的{1,…,n}的集合分区数。
+10 33
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 9, 4, 1, 1, 25, 20, 5, 1, 1, 75, 90, 30, 6, 1, 1, 231, 420, 175, 42, 7, 1, 1, 763, 2016, 1015, 280, 56, 8, 1, 1, 2619, 10024, 6111, 1890, 420, 72, 9, 1, 1, 9495, 51640, 38010, 12978, 3150, 600, 90, 10, 1, 1, 35695, 276980, 244035, 91938, 24024, 4950, 825, 110, 11, 1
评论
乘积{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!在k=-1时,用最大部分相等的部分求和(见卢什尼链接)。
1, 2, 5, 14, 46, 166, 652, ... =A001680号
1, 2, 5, 15, 51, 196, 827, ... =A001681号
...
阵列的第n行是无限下三角矩阵的本征序列,其中Pascal三角形的n条对角线从右边开始,其余为零。(结束)
配方奶粉
例如,对于第k列:exp(exp(x)*GAMMA(k,x)/(k-1)-1) *(exp(x^k/k!)-1)-弗拉德塔·乔沃维奇2005年2月4日
T(n,0)=[n=0](艾弗森符号),对于n>0和1<=m<=n。
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2+…+n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=Product_{j=0..n-1}(-1)=(-1)^n(结束)
T(2n,n)=C(2n、n)*(A000110号(n) -1/2),对于n>0。
T(n,m)=C(n,米)*A000110号(n-m)对于2m>n>0。(结束)
例子
T(4,3)=4,因为有4个集分区的最长块长度为3:{{1},{2,3,4}},}1,3,4{2}}、{1,2,3}、}4}和{1,2,4},[3]。
三角形开始:
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 9, 4, 1;
1, 25, 20, 5, 1;
1, 75, 90, 30, 6, 1;
1, 231, 420, 175, 42, 7, 1;
1, 763, 2016, 1015, 280, 56, 8, 1;
1, 2619, 10024, 6111, 1890, 420, 72, 9, 1;
...
MAPLE公司
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,`如果`(i<1,0,
加上(b(n-i*j,i-1)*n/我^j/(n-i*j)/j!,j=0..n/i))
结束时间:
T: =(n,k)->b(n,k)-b(n,k-1):
seq(seq(T(n,k),k=1..n),n=1..12)#阿洛伊斯·海因茨2012年4月20日
数学
<<离散数学`NewCombinatorica`;表[Length/@Split[Sort[Max[Length/@#]&/@SetPartitions[n]],{n,12}]
(*第二个节目:*)
b[n_,i_]:=b[n,i]=如果[n==0,1,如果[i<1,0,总和[b[n-i*j,i-1]*n/我^j/(n-i*j)/j!,{j,0,n/i}]];T[n_,k_]:=b[n,k]-b[n,k-1];表[表[T[n,k],{k,1,n}],{n,1,12}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年2月25日之后阿洛伊斯·海因茨*)
具有Stirling_1型(参数k=-2)和Stirling _2型(参数k=-2)(按行读取三角形)最大部分统计值的分区积。
+10 25
1, 1, 2, 1, 6, 6, 1, 24, 24, 24, 1, 80, 180, 120, 120, 1, 330, 1200, 1080, 720, 720, 1, 1302, 7770, 10920, 7560, 5040, 5040, 1, 5936, 57456, 102480, 87360, 60480, 40320, 40320, 1, 26784, 438984, 970704, 1103760, 786240, 544320, 362880, 362880
评论
乘积{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!在k=-2时,求出产品{j=0..n-2}(k-n+j+2)和n!k=-2(Stirling_1型)。
它与无意义的Lah数字共享这一财产。
T(n,k)是[n]上具有索引k的对称逆半群(部分双射)中的幂零元素的数目。等价地,T(n、k)是n个标记节点上的有向无环图的数目,每个节点最多有一个独立度和超度,最长路径正好包含k个节点-杰弗里·克雷策2021年11月21日
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森符号),对于n>0和1<=m<=n。
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2+…+n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=产品{j=0..n-1}(-j-1)
OR f_n=Product_{j=0..n-2}(j-n),因为两者的绝对值n!相同!。
k列的示例:exp((x^(k+1)-x)/(x-1))-exp((x^k-x)/-阿洛伊斯·海因茨2015年10月10日
例子
三角形起点:
1;
1, 2;
1, 6, 6;
1, 24, 24, 24;
1, 80, 180, 120, 120;
1, 330, 1200, 1080, 720, 720;
...
MAPLE公司
egf:=k->exp((x^(k+1)-x)/(x-1))-exp((x^k-x)/
T: =(n,k)->n*系数(级数(egf(k),x,n+1),x、n):
seq(seq(T(n,k),k=1..n),n=1..10)#阿洛伊斯·海因茨2015年10月10日
交叉参考
囊性纤维变性。A157396号,A157397号,A157398号,157399英镑,A080510号,A157401号,A157402号,157403年,A157404型,A157405号,157386英镑,157385英镑,A157384号,A157383号,A126074号,A157391号,A157392号,A157393号,A157394号,A157395号.
具有最大部分统计(按行读取三角形)的Stirling_2型[参数k=-6]的分区积。
+10 10
1, 1, 6, 1, 18, 66, 1, 144, 264, 1056, 1, 600, 4620, 5280, 22176, 1, 4950, 68640, 110880, 133056, 576576, 1, 26586, 639870, 3141600, 3259872, 4036032, 17873856, 1, 234528, 10759056, 69263040, 105557760, 113008896, 142990848
评论
prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!k=-6时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(-5*j-1)。
具有最大部分统计(按行读取三角形)的Stirling_2型[参数k=-5]的分区积。
+10 10
1, 1, 5, 1, 15, 45, 1, 105, 180, 585, 1, 425, 2700, 2925, 9945, 1, 3075, 34650, 52650, 59670, 208845, 1, 15855, 308700, 1248975, 1253070, 1461915, 5221125, 1, 123515, 4475520, 23689575, 33972120, 35085960, 41769000
评论
prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!k=-5时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(-4*j-1)。
具有最大部分统计(按行读取三角形)的Stirling_2型[参数k=-3]的分区积。
+10 10
1, 1, 3, 1, 9, 15, 1, 45, 60, 105, 1, 165, 600, 525, 945, 1, 855, 5250, 6300, 5670, 10395, 1, 3843, 39900, 91875, 79380, 72765, 135135, 1, 21819, 391440, 1164975, 1323000, 1164240, 1081080, 2027025, 1
评论
prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!在k=-3时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(-2*j-1)。
具有最大部分统计(按行读取三角形)的Stirling_2型[参数k=1]的分区积。
+10 10
1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 9, 12, 15, 1, 25, 60, 75, 105, 1, 75, 330, 450, 630, 945, 1, 231, 1680, 3675, 4410, 6615, 10395, 1, 763, 9408, 30975, 41160, 52920, 83160, 135135, 1, 2619, 56952, 233415, 489510, 555660, 748440, 1216215
评论
prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!k=1时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(2*j-1)。
具有最大部分统计(按行读取三角形)的Stirling_2型[参数k=2]的分区积。
+10 10
1, 1, 2, 1, 6, 10, 1, 24, 40, 80, 1, 80, 300, 400, 880, 1, 330, 2400, 3600, 5280, 12320, 1, 1302, 15750, 47600, 55440, 86240, 209440, 1, 5936, 129360, 588000, 837760, 1034880, 1675520, 4188800, 1, 26784, 1146040, 5856480
评论
prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!k=2时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(3*j-1)。
Stirling_2类型[参数k=3]的分区乘积,具有最大部分统计量(按行读取的三角形)。
+10 10
1, 1, 3, 1, 9, 21, 1, 45, 84, 231, 1, 165, 840, 1155, 3465, 1, 855, 8610, 13860, 20790, 65835, 1, 3843, 64680, 250635, 291060, 460845, 1514205, 1, 21819, 689136, 3969735, 6015240, 7373520, 12113640, 40883535, 1, 114075
评论
prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!k=3时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(4*j-1)。
具有最大部分统计(按行读取三角形)的Stirling_2型[参数k=4]的分区积。
+10 10
1, 1, 4, 1, 12, 36, 1, 72, 144, 504, 1, 280, 1800, 2520, 9576, 1, 1740, 22320, 37800, 57456, 229824, 1, 8484, 182700, 864360, 1005480, 1608768, 6664896, 1, 57232, 2380896, 16546320, 26276544, 32175360, 53319168, 226606464
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prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!k=4时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(5*j-1)。
具有最大部分统计(按行读取三角形)的Stirling_2型[参数k=5]的分区积。
+10 10
1, 1, 5, 1, 15, 55, 1, 105, 220, 935, 1, 425, 3300, 4675, 21505, 1, 3075, 47850, 84150, 129030, 623645, 1, 15855, 415800, 2323475, 2709630, 4365515, 415800, 2323475, 2709630, 4365515, 21827575, 1, 123515, 6394080, 51934575
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prod_{j=0..n-1}((k+1)*j-1)与n!k=5时,
以相等的最大部分求和(参见Luschny链接)。
配方奶粉
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-1}(6*j-1)。
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