显示找到的13个结果中的1-10个。
中部Delannoy数：a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（n+k，k）。
（原名M2942 N1184）
+10
186
1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, 1462563, 8097453, 45046719, 251595969, 1409933619, 7923848253, 44642381823, 252055236609, 1425834724419, 8079317057869, 45849429914943, 260543813797441, 1482376214227923, 8443414161166173, 48141245001931263
评论
n X n网格中从（0,0）到（n，n）的路径数，仅使用北向、东北向和东向阶梯（即阶梯（1,0）、（1,1）和（0,1））。
此外，排列长度为n的两个序列（例如核苷酸或氨基酸）的方法的数量，最多插入2*n个间隙（-），因此，尽管不必要的间隙：-a a-被禁止，b-和-b都被允许。（如果只允许后者中的另一个，则顺序A000984号给出了路线的数量。）Dickau给出的网格行走可以很容易地对这组对齐进行双向投影（例如，直线对角线对应于没有间隙的完美对齐）-安蒂·卡图恩，2001年10月10日
a（n）是具有2*n个齿的梳状图的n-匹配数。示例：a（2）=13，因为由水平路径ABCD和齿Aa、Bb、Cc、Dd组成的图有13个2-匹配：六个可能的齿对中的任意一个，以及{Aa、BC}、{Aa和CD}、}Bb、CD}，{Cc、AB}、｛Dd，AB}，｝{Dd，BC}，｛AB，CD}-Emeric Deutsch公司，2002年7月2日
（（1-x）/（1-2*x））^n的前n个系数之和是a（n-1）-迈克尔·索莫斯2003年9月28日
此外，仅使用步骤U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），从（0,0）到（n，0）的路径数，U可以有2种颜色，H可以有3种颜色-N-E.法西2008年1月27日
n X n框中的过分割数（将第一条注释中的行走类型视为过分割，将NE步骤解释为n，E，由此创建的零件被覆盖）-威廉·基思2017年5月19日
Delannoy范畴中自同态代数End（R^{（n）}）的维数附属于实线保序自双射的寡形群-诺亚·斯奈德2023年3月22日
参考文献
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链接
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J.B.Slowinski，多条路线的数量《分子系统发育与进化》，10（2）（1998），264-266。
J.B.Slowinski，多条路线的数量《分子系统发育与进化》，10（2）（1998），264-266。
配方奶粉
a（n）=P_n（3），其中P_n是第n个勒让德多项式。
总面积：1/sqrt（1-6*x+x^2）。
渐近展开中的主导项是二项式（2*n，n）/2^（1/4）*（（sqrt（2）+1）/2）^（2*n+1）*（1+c1/n+c2/n^2+…）-迈克尔·戴维·赫施霍恩
a（n）=和{i=0..n}(A000079号（i）*A008459号（n，i））=和{i=0..n}（2^i*C（n，i）^2）Antti Karttunen，2001年10月10日
a（n）=和{k=0..n}C（n+k，n-k）*C（2*k，k）-贝诺伊特·克洛伊特2003年2月13日
a（n）=Sum_｛k=0..n｝C（n，k）^2×2^k-迈克尔·索莫斯2003年10月8日
a（n-1）的G.f.=1/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/）））-迈克尔·索莫斯，2012年5月11日
例如：exp（3*x）*BesselI（0，2*sqrt（2）*x）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月21日
a（n）=和{k=0..n}C（2*n-k，n）*C（n，k）-保罗·巴里2005年4月23日
a（n）=和{k>=n}二项式（k，n）^2/2^（k+1）-弗拉德塔·乔沃维奇2006年8月25日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-1-n）-迈克尔·索莫斯2006年9月23日
递归D-有限：a（-1）=a（0）=1；n*a（n）=3*（2*n-1）*a（n-1）-（n-1。等式（4）inT.D.诺伊JIS 9（2006）#06.2.7中的文章。
通过（i，j>0）定义一般Delannoy数：d（i，0）=d（0，j）=1=：d（0,0）和d。则a（k）=和{j>=0}d（k，j）^2+d（k-1，j）=A026933号（n）+A026933号（n-1）。这是一般Delannoy数的以下公式的特例：d（k，j）=和{i>=0，p=0..n}d（p，i）*d（n-p，j-i）+d（p-1，i）*d（n-p-1，j-i-1）-彼得·E·约翰2006年10月19日
（1+3*x+2*x^2）^n中的x^n系数-N-E.法西2008年1月11日
G.f.：1/（1-x-2*x/（1-x-x/（1-x-x/-保罗·巴里2009年5月28日
G.f.：1/（2*Q（0）+x-1），其中Q（k）=1+k*（1-x）-x-x*（k+1）*（k+2）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（n+k，k）-乔格·阿恩特2013年5月11日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+x*（6-x）*（4*k+1）/（4*k+2-2*x*（6x）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月22日
G.f.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（6-x）*（2*k-1）/（x*（6-x）*（2*k-1）+2*（k+1）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（6-x）*（2*k+1）/（x*（6-x）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月17日
a（n）^2=和{k=0..n}2^k*C（2*k，k）^2*C（n+k，n-k）=A243949型（n） ●●●●-保罗·D·汉纳2014年8月17日
a（n）=表层（[-n，-n]，[1]，2）-彼得·卢什尼2014年11月19日
a（n）=和{k=0..n/2}C（n-k，k）*3^（n-2*k）*2^k*C（n，k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年6月29日
a（n）=Sum_{0<=j，k<=n}（-1）^（n+j）*C（n，k）*C（n，j）*C（n+k，k）*C（n+k+j，k+j）。囊性纤维变性。A126086号和A274668号. -彼得·巴拉2020年1月15日
a（n）~c*（3+2*sqrt（2））^n/sqrt（n），其中c=1/sqrt-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月7日
a（n+1）=3*a（n）+2*Sum_{l=1..n}A006318号（l） *a（n-l）。【齐世国（2016）式（1.16）】
a（n）~（1+平方（2））^（2*n+1）/（2^（5/4）*sqrt（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年1月9日
例子
G.f.=1+3*x+13*x ^2+63*x ^3+321*x ^4+1683*x ^5+8989*x ^6+。。。
MAPLE公司
seq（加（多项式（n+k，n-k，k，k），k=0..n），n=0..20）#零入侵拉霍斯2006年10月18日
seq（矫形[P]（n，3），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年11月3日
数学
f[n]：=和[二项式[n，k]二项式[n+k，k]，{k，0，n}]；数组[f，21，0]（*或*）
a[0]=1；a[1]=3；a[n]：=a[n]=（3（2 n-1）a[n-1]-（n-1）a[n-2]）/n；数组[a，21，0]（*或*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-6x+x^2]，{x，0，20}]，x](*罗伯特·威尔逊v*)
a[n_]：=与[｛m=如果[n<0，-1-n，n]}，系列系数[（1-6 x+x^2）^（-1/2），｛x，0，m｝]]一起；(*迈克尔·索莫斯2015年6月10日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；polceoff（1/sqrt（1-6*x+x^2+x*O（x^n）），n）}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；子集（pollegendre（n），x，3）}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n）；n++；subst（Pol（（1-x）/（1-2*x）+O（x^n））^n），x，1）；}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+3*x+2*x^2）^n，n））\\保罗·巴里，2007年8月22日
步骤=[1，0]，[0，1]，[1，1]]/*乔格·阿恩特，2011年6月30日*/
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）*二项式\\乔格·阿恩特2013年5月11日
（PARI）x='x+O（'x^100）；Vec（1/sqrt（1-6*x+x^2））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月17日
（Python）#来自Nick Hobson。
定义f（a，b）：
如果a==0或b==0：
返回1
返回f（a，b-1）+f（a-1，b）+f
[范围（7）中n的f（n，n）]
（Python）
从gmpy2导入divexact
对于范围（2，10**3）中的n：
（极大值）a（n）：=系数（展开（（1+3*x+2*x^2）^n），x，n）；
（鼠尾草）
a=λn：超几何（[-n，-n]，[1]，2）
[对范围（23）中的n简化（a（n））]#彼得·卢什尼2014年11月19日
交叉参考
囊性纤维变性。A008288号，的二等分A026003号,A027618号,A047665号,A052141号,A084773号,A152250型,A109980号,A000129号,A078057号,A241023型,A243949型.
a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n，k+1）*二项式。
（原名M3938 N1621）
+10
30
0, 1, 5, 25, 129, 681, 3653, 19825, 108545, 598417, 3317445, 18474633, 103274625, 579168825, 3256957317, 18359266785, 103706427393, 586889743905, 3326741166725, 18885056428537, 107347191941249, 610916200215241
评论
数组解释（第一行和第一列为自然数）：
1 2 3 ..j。。。如果b（i，j）=b（i-1，j）+b（i-l，j-1）+b
2 5 .........
.............
i…………..b（i，j）
（结束）
x^n在（（1-x）/（1-2x））^n中的系数，n>0-迈克尔·索莫斯2003年9月24日
从（0,0）到（2n，0）的所有Schroeder路径中的峰值数（即，由步骤U=（1,1）、D=（1，-1）、H=（2,0）组成，并且永远不会低于x轴）。例如：a（2）=5，因为HH、HU*D、U*DH、UHD、U*DU*D、U U*DD包含5个峰值（用*表示）-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
a（n）是所有Schroeder（n+1）-路径中HH的总数。例如：a（2）=5，因为UH*HD、H*H*H、UDH*H和H*HUD包含5个HH（用*表示），而其他18个Schroeder 3路不包含HH-大卫·卡伦2006年7月3日
a（n）是所有Schroeder n路径中的Hs总数。例如：a（2）=5，因为Schroeder 2-路径是HH、DUH、DHU、HDU、DUDU和DDUU，并且有5个H。通常，a（n）是所有Schroeder-路径中H.Hs（m+1 H）的总数-冯卓贤2021年6月19日
a（n）是Z^（n+1）中距离原点的L1（曼哈顿）距离<=n的点数，或Z^n中距离原点L1距离<=n+1的点数。这些项出现在水晶球序列中：a（n）是（n+1）维立方晶格序列中的第n项，也是n+1维立方晶格中的第1项。请参见A008288号用于水晶球序列列表（A008288号). -谢尔·卡潘，2022年12月25日[编辑：彼得·穆恩2023年1月5日]
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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M.Janjic和B.Petkovic，计数函数，arXiv:1301.4550[math.CO]，2013年。
配方奶粉
例如：exp（3*x）*（贝塞尔I（0，2*sqrt（2）*x）+sqrt（2）*贝塞尔I（1，2*sqrt（2）*x））-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月28日
a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*二项式-保罗·巴里2004年9月20日
a（n）=n*超几何（[n+1，-n+1]，[2]，-1）=（n+1）*LegendreP（n+1，3）-（5*n+3）*LengendreP（n，3））/（2*n），对于n>0-马克·范·霍伊2010年7月12日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-n）-迈克尔·索莫斯2011年8月9日
G.f.：-1+1/（1-x/（1-4*x/（1-x^2/（1-4*x/（1-x^2/（1-4*x/…））））-迈克尔·索莫斯2013年1月3日
带递归的D-有限：2*（6*n^2-12*n+5）*a（n-1）-（n-2）*（2*n-1）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月4日
a（n）~（3+2*sqrt（2））^n/（2^（5/4）*sqert（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月4日
D有限（另一种选择）：n*a（n）=（6-n）*a（n-6）+（14*n-72）*a-林风2014年2月5日
a（n）=（-1）^。对于这两个等式中的每一个，两边都满足相同的递归——这是根据Zeilberger算法得出的-孙志伟2014年8月30日
a（n）=上层（[1-n，-n]，[1]，2），对于n>=1-彼得·卢什尼2014年11月19日
L.g.f.：L（x）=和{n>=1}d^（n-1）/dx^（n-1）x^，（2*n-1）*（1-x）^（-n）/n！=和{n>=1}a（n）*x^n/n其中exp（L（x））=的g.fA001003号. -保罗·D·汉纳2015年5月17日
a（n+1）=（1/2^（n+1））*Sum_{k>=0}（1/2^k）*二项式（n+k，n）*二项式（n+k，n+1）-彼得·巴拉2017年3月2日
a（n）=（勒让德雷P（n，3）-勒让德雷P（n-1,3））/2-马克·范·霍伊2022年7月14日
D-有限，递归n*a（n）+（-7*n+5）*a（n-1）+（7*n-16）*a-R.J.马塔尔2022年8月1日
对于n>=1，a（n）=（-1）^（n+1）*超几何（[n+1，-n+1，[1]，2）。
高斯同余成立：对于所有素数p和所有正整数n和r，a（n*p^r）==a（n^p^（r-1））（mod p^r
G.f.：和{n>=1}二项式（2*n-1，n）*x^n/（1-x）^（2*n）=x+5*x^2+25*x^3+129*x^4+。。。。
例子
G.f.=x+5*x^2+25*x^3+129*x^4+681*x^5+3653*x^6+19825*x^7+108545*x^8+。。。
数学
系数列表[级数[（1-x）/Sqrt[1-6x+x^2]-1）/2，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2011年3月17日*）
a[n]：=n超几何2F1[n+1，-n+1，2，-1](*迈克尔·索莫斯2011年8月9日*）
a[n_]：=与[{m=绝对值@n}，符号[n]和[二项式[m，k]二项式[m+k-1，m]，{k，m}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年8月9日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=my（m=abs（n））；符号（n）*和（k=0，m-1，二项式（m，k+1）*二项式/*迈克尔·索莫斯2011年8月9日*/
（极大值）makelist（和（二项式（n，k+1）*二项式，（n+k，k），k，0，n），n，0，21）\\布鲁诺·贝塞利2011年5月19日
（岩浆）[&+[二项式（n，k+1）*二项式（n+k，k）：k in[0..n]]：n in[0..21]]//布鲁诺·贝塞利2011年5月19日
（鼠尾草）
a=lambda n：超几何（[1-n，-n]，[1]，2），如果n>0，否则为0
[对范围（22）中的n简化（a（n））]#彼得·卢什尼2014年11月19日
（PARI）/*L.g.f.：和{n>=1}d^（n-1）/dx^（n-1）x^，（2*n-1）*（1-x）^（-n）/n*/
{Dx（n，F）=局部（D=F）；对于（i=1，n，D=导数（D））；D}
{a（n）=局部（a=1）；a=（sum（m=1，n+1，Dx（m-1，x^（2*m-1）/（1-x）^m/m！）+x*O（x^n））；n*极系数（a，n）}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）\\保罗·D·汉纳2015年5月17日
a（0）=1；对于n>0，a（n）=2*5^（n-1）-（1/2）*Sum{i=1..n-1}a（i）*a（n-i）。
+10
25
1, 2, 8, 34, 150, 678, 3116, 14494, 68032, 321590, 1528776, 7301142, 35003238, 168359754, 812041860, 3926147730, 19022666310, 92338836390, 448968093320, 2186194166950, 10659569748370, 52037098259090, 254308709196660
评论
从（0,0）到（2n，0）的双边Schroeder路径数（即由步长U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（2,0）组成的晶格路径），在偶数（零、正或负）水平上没有H步长。例如：a（2）=8，因为我们有UDUD、UUDD、UHD、UDDU及其在x轴上的反射。的第一个差异A026375号. -Emeric Deutsch公司2004年1月28日
此序列是一类序列的一部分，对于m>=0，具有以下属性：
a（n）=2*m*（4*m+1）^（n-1）-（1/2）*Sum_{k=1..n-1}a（k）*a（n-k）。
a（n）=和{k=0..n}m^k*二项式（n-1，n-k）*二项法（2*k，k）。
a（n）=（2*m）*Hypergeometric2F1（-n+1，3/2；2；-4*m），对于n>0。
n*a（n）=2*（（2*m+1）*n-（m+1））*a（n-1）-（4*m+1）*（n-2）*a（n-2）。
（4*m+1）^n=Sum_{k=0..n}和{j=0..k}a（j）*a（k-j）。
G.f.：平方英尺（（1-t）/（1-（4*m+1）*t））。
这个序列是m=1的情况。（结束）
链接
LászlóNémeth，四面体三项系数变换，arXiv:1905.13475[math.CO]，2019年。
配方奶粉
总面积：平方（（1-x）/（1-5*x））。
求和{i=0..n}（求和{j=0..i}a（j）*a（i-j））=5^n。
递归D-有限：a（n）=（2*（3*n-2）*a（n-1）-5*（n-2）*a（n-2；a（0）=1，a（1）=2-Emeric Deutsch公司2004年1月28日
G.f.：G（0），其中G（k）=1+4*x*（4*k+1）/（（4*k+2）*（1-x）-2*x*（1-x）*（2*k+1）*（4*k+3）/（x*（4*k+3）+（1-x）*（k+1）/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月22日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（2*k，k）*binominal（n-1，n-k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年5月30日
当n>0时，a（n）=2*超几何（[3/2，1-n]，[2]，-4）-彼得·卢什尼2017年1月30日
MAPLE公司
a:=n->`如果`（n=0，1，2*hypergeom（[3/2，1-n]，[2]，-4））：
seq（简化（a（n）），n=0..22）#彼得·卢什尼2017年1月30日
数学
系数列表[序列[Sqrt[（1-x）/（1-5x）]，{x，0，25}]，x]
黄体脂酮素
（PARI）我的（x='x+O（'x^66））；Vec（平方（（1-x）/（1-5*x））\\乔格·阿恩特2013年5月10日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），30）；系数（R！（Sqrt（（1-x）/（1-5*x）））//G.C.格鲁贝尔2020年5月23日
（鼠尾草）
P.<x>=PowerSeriesRing（ZZ，prec）
返回P（sqrt（（1-x）/（1-5*x））.list（）
作者
马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年6月25日
1, 2, 16, 110, 770, 5512, 40066, 294484, 2182850, 16288430, 122198926, 920820578, 6964483628, 52840433000, 401990254180, 3065365241440, 23422905551018, 179302895759782, 1374785979255880, 10556280995419090, 81161958814162700, 624750086745027388
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}二项式（2*k，k）*二项式。
对于n>5，n*a（n）=（10*n-8）*a（n-1）-（19*n-46）*a（n-2）+20*（n-3）*a（n-3）-15*（n-4）*a（n-4）+6*（n-5）*a（n-5）-（n-6）*a（n-6）。
a（0）=1；a（n）=（2/n）*和{k=0..n-1}（n+k）*二项式（n+3-k，4）*a（k）。
黄体脂酮素
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（1/sqrt（1-4*x/（1-x）^5））
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（2*k，k）*二项式\\温斯顿·德·格里夫2023年3月24日
1, 2, 18, 134, 1010, 7788, 60978, 482708, 3853338, 30964238, 250150176, 2029781310, 16530857930, 135051216620, 1106287906140, 9083459084364, 74734798117570, 615998603183550, 5085522355488150, 42045309424052250, 348067638153560040, 2884832348569699340
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}二项式（2*k，k）*二项式。
n*a（n）=（11*n-9）*a（n-1）-（25*n-60）*a。
a（0）=1；a（n）=（2/n）*和{k=0..n-1}（n+k）*二项式（n+4-k，5）*a（k）。
黄体脂酮素
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（1/sqrt（1-4*x/（1-x）^6））
1, 2, 12, 68, 396, 2358, 14262, 87252, 538440, 3345434, 20899816, 131154264, 826135794, 5220372274, 33077821314, 210087769632, 1337104370320, 8525602760550, 54449281992528, 348250972411252, 2230296171922008, 14300414859019290, 91791793780179790
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}二项式（2*k，k）*二项式。
n*a（n）=（8*n-6）*a（n-1）-（10*n-24）*a。
a（n）~平方米（2*（2+（35+3*sqrt（129））^（1/3））*（40+7*（262+6*sqrt（129，）^-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年3月25日
数学
系数列表[系列[1/Sqrt[1-（4x）/（1-x）^3]，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔，2023年8月9日*）
黄体脂酮素
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（1/sqrt（1-4*x/（1-x）^3））
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（2*k，k）*二项式\\温斯顿·德·格里夫2023年3月24日
由P[0]=0，P[1]=x+1定义的多项式P[n]（x）系数行读取的三角形；对于n>=2，P[n]=（x+1）*P[n-1]+x*P[n-2]。
+10
5
0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 6, 10, 6, 1, 1, 8, 20, 20, 8, 1, 1, 10, 34, 50, 34, 10, 1, 1, 12, 52, 104, 104, 52, 12, 1, 1, 14, 74, 190, 258, 190, 74, 14, 1, 1, 16, 100, 316, 552, 552, 316, 100, 16, 1, 1, 18, 130, 490, 1058, 1362, 1058, 490, 130, 18, 1, 1, 20, 164
配方奶粉
P[n]（x）=（x+1）*（（（x+1+sqrt（x^2+6x+1））/2）^n-（（x+1 sqrt-马克斯·阿列克塞耶夫2008年3月10日
P[n]（x）=（x+1）*（sqrt（x）*I）^（n-1）*U[n-1]（-I*（x+1-马克斯·阿列克塞耶夫2008年3月10日
例子
三角形开始：
0
1, 1
1, 2, 1
1, 4, 4, 1
1, 6, 10, 6, 1
1, 8, 20, 20, 8, 1
1, 10, 34, 50, 34, 10, 1
1, 12, 52, 104, 104, 52, 12, 1
1, 14, 74, 190, 258, 190, 74, 14, 1
1, 16, 100, 316, 552, 552, 316, 100, 16, 1
MAPLE公司
P[0]：=0；
P[1]：=x+1；
对于从2到14 do的n
P[n]：=展开（（x+1）*P[n-1]+x*P[n-2]）；
l打印（P[n]）；
lprint（系列列表（系列（P[n]，x，200））；
日期：
数学
t[n，k]：=2^（1-n）*二项式[n，k]*和[二项式[n，2*m+1]*超几何PFQ[{-k，-m，k-n}，{1/2-n/2，-n/2}，-1]，{m，0，（n-1）/2}]；表[t[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月9日之后马克斯·阿列克塞耶夫*)
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=和（m=0，（n-1）\2，二项式（n，2*m+1）*和-马克斯·阿列克塞耶夫2008年3月10日
（哈斯克尔）
a128966 n k=a128966_tabl！！不！！k个
a128966_row n=a128966 _ tabl！！n个
a128966_tabl=映射fst$迭代
（\（我们，vs）->（vs，zipWith（+）（[0]++us++[0]）$
zipWith（+）（[0]++vs）（vs++[0]））（[0]，[1，1]）
1, 2, 2, -2, -14, -32, -30, 64, 346, 752, 584, -2044, -9486, -19324, -11368, 66180, 271658, 514916, 192584, -2151612, -7949736, -13933280, -1779028, 69933368, 235295106, 378579404, -61171228, -2267724644, -7003832456, -10248117752, 5236354188, 73288104568
评论
有理函数1/（1-（1-x*y）*（x+y））的对角线。
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（2*k，k）*二项式（2xk，n-k）。
n>2时，n*a（n）=2*（（2*n-1）*a（n-1）-2*（2*n-2）*a。
黄体脂酮素
（PARI）我的（N=40，x='x+O（'x^N））；Vec（1/sqrt（1-4*x*（1-x）^2））
1, 2, 0, -10, -22, 12, 174, 344, -354, -3304, -5780, 9180, 65258, 99132, -226620, -1313580, -1690990, 5441340, 26681700, 28070100, -128211552, -543818824, -440381780, 2978145240, 11080939914, 6162798092, -68377892976, -225107280388, -64286124152
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（2*k，k）*二项式（3*k，n-k）。
n>3时，n*a（n）=2*（（2*n-1）*a（n-1）-3*（2*n-2）*a。
黄体脂酮素
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（1/sqrt（1-4*x*（1-x）^3））
总面积：（2*x+1）/（2*sqrt（4*x^2-8*x1））+1/2。
+10
三
1, 3, 15, 90, 579, 3858, 26262, 181380, 1265955, 8906706, 63058530, 448716876, 3206387790, 22992276180, 165364807308, 1192393813320, 8617219956003, 62397513984210, 452607991376490, 3288138397237884, 23921128800374874
配方奶粉
a（n）=和{i=0..n}2^（n-i）*二项式（n，i）*二项式（n+i-1，i））。
a（n）~3^（1/4）*2^（n-1）*（2+sqrt（3））^n/sqrt（Pi*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月15日
a（n）=2^n*超深层（[-n，n]，[1]，-1/2）-彼得·卢什尼2015年3月15日
带递归的D-有限：n*a（n）-6*n*1（n-1）+12*（-n+3）*a（n-2）+8*（n-3）*a-R.J.马塔尔2020年1月25日
a（n）=（-2）^n*（P_n（-2）-P-{n-1}（-2））/2如果n>0，其中P_n（x）是勒让德多项式。
0=a（n）*（+64*a（n+1）-96*a（n+4）），如果n>=0。（结束）
a（n）=[x^n]（（1+2*x）/（1-x））^n。
高斯同余成立：对于所有素数p和所有正整数n和r，a（n*p^r）==a（n^p^（r-1））（mod p^r）。（完）
a（n）=3*A098663号（n-1）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*binominal（n，k+1）*3^（k+1），对于n>=1-彼得·巴拉2024年9月2日
例子
G.f.=1+3*x+15*x^2+90*x^3+579*x^4+3858*x^5+26262*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年5月26日
数学
系数列表[级数[（2*x+1）/（2*Sqrt[4*x^2-8*x+1]）+1/2，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月15日*）
黄体脂酮素
（最大值）
a（n）：=总和（2^（n-i）*二项式（n，i）*二项式（n+i-1，i），i，0，n）；
（鼠尾草）
a=lambda n:2^n*超几何（[-n，n]，[1]，-1/2）.simplify（）
[范围（21）中n的a（n）]#彼得·卢什尼2015年3月15日
（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（（2*x+1）/（2*sqrt（4*x^2-8*x+1））+1/2）\\G.C.格鲁贝尔，2017年6月3日
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