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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A050143号 A(n,k)=Sum_{h=0..n-1,m=0..k}A(h,m)对于n>=1和k>=1,其中A(n、0)=1对于n>=0,A(0,k)=0.对于k>=1;方阵A,按反对偶降序读取。 9
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 4, 7, 1, 0, 1, 5, 12, 15, 1, 0, 1, 6, 18, 32, 31, 1, 0, 1, 7, 25, 56, 80, 63, 1, 0, 1, 8, 33, 88, 160, 192, 127, 1, 0, 1, 9, 42, 129, 280, 432, 448, 255, 1, 0, 1, 10, 52, 180, 450, 832, 1120, 1024, 511, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,9
评论
该方阵的三角形形式由T(n,k)=A(k,n-k)定义为0<=k<=n。相反,A(n,k)=T(n+k,n)定义为n,k>=0。我们有[T的o.g.f](x,y)=[A的o.gf](x*y,x)和[A的o-Petros Hadjicostas公司2021年2月11日
格式为带偏移量(0,8)的三角形数组,它是[0,1,0,-1,1,0,0,0,0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2006年11月5日
[矩形阵列]的前两列的和给出2的幂;也就是说,求和{j=0..1}A(i,j)=2^i,i>=0。另一方面,对于i>=1和j>=2,A(i,j)是i-1上步长(1,1)和j-1下步长(1,-1)的晶格路径数,其中每个下步长自由顶点都是红色或蓝色的。无下阶顶点是指与下阶无关的顶点。例如,点表示路径中的无级顶点。U.U.UDU。UDDU(统一数据单元)。,在i=j=2的情况下,A(2,2)=4计数UD,*UD,DU,DU*,其中星号表示红色顶点-大卫·卡伦2011年8月27日
链接
赵玉敏、金在云、金章洙和李中勇,用广义q导数计算多重杂耍卡片序列,arXiv:2402.09903[math.CO],2024。见第9页。
克拉克·金伯利,路径计算和斐波那契数,光纤。夸脱。40(4) (2002), 328-338; 参见第333页的实施例3A和等式(8)。
配方奶粉
方阵公式(A(n,k):n,k>=0):
A(n,1)=-1+2^n=A000225号(n) 对于n>=1。
A(n+2.2)=4*A001792号(n) 对于n>=0。
发件人Petros Hadjicostas公司2021年2月11日:(开始)
递归:当n>=1和k>=2时,A(n,k)=2*A(n-1,k)+A(n、k-1)-A(n-1、k-1;其中,A(n,0)=1表示n>=0,A(0,k)=0表示k>=1,A(n,1)=-1+2^n表示n>=1。
二元o.g.f.:和{n,k>=0}A(n,k)*x^n*y^k=(1-2*x)*(1-y)/(1-x)*。
对于n>=0和k>=1,A(n,k)=和{s=1..n}二项式(n,s)*二项式(s+k-2,k-1)。(可以通过使用上述二元o.g.f.的部分分式分解来证明。)
对于n>=0和k>=1,A(n,k)=n*超几何([-n+1,k],[2],-1)。(结束)
三角形数组的公式(T(n,k):0<=k<=n):
和{k=0..n}T(n,k)=Fibonacci(2*n-1)=A001519号(n) 斐波那契(-1)=1。
和{k=0..n}(-1)^(n+k-1)*T(n,k)=Fibonacci(n+1)-2=A001911号(n-2)带有A001911号(-2) =A001911号(-1) = -1.
T(n,k)=A055807号(n,n-k)对于0<=k<=n。
发件人Petros Hadjicostas公司2021年2月12日:(开始)
复发:对于n>=3和1<=k<=n-2,T(n,k)=2*T(n-1,k-1)+T(n-1,k)-T(n-2,k-1);对于n>=0,T(n,n)=1,对于n>=1,T(n,0)=0,对于n>=1,以及T(n+1,n)=2^n-1。
二元o.g.f:Sum_{n,k>=0}T(n,k)*x^n*y^k=(1-x)*(1-2*x*y)/(1-x*y,*(1-x-2*x*y+x^2*y))。
T(n,k)=Sum_{s=1..k}二项式(k,s)*binominal(s+n-k-2,s-1)=k*超几何([-k+1,n-k],[2],-1),对于n>=1和0<=k<=n-1。(结束)
T(n,k)=JacobiP(k-1,1,n-2*k-1,3)n>=0和0<=k<n-彼得·卢什尼2021年11月25日
例子
方形数组A(n,k)(行n>=0,列k>=0)开始:
1,0,0,0,0,0,0,0,0,0。。。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
1, 7, 12, 18, 25, 33, 42, 52, 63, 75, ...
1, 15, 32, 56, 88, 129, 180, 242, 316, 403, ...
1, 31, 80, 160, 280, 450, 681, 985, 1375, 1865, ...
1, 63, 192, 432, 832, 1452, 2364, 3653, 5418, 7773, ...
1、127、448、1120、2352、4424、7700、12642、19825、29953。。。
...
如果我们通过降序反对偶读取上述方形数组,我们得到以下三角形数组T(n,k)(行n>=0,列0<=k<=n):
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 1, 3, 1;
0, 1, 4, 7, 1;
0, 1, 5, 12, 15, 1;
0, 1, 6, 18, 32, 31, 1;
0, 1, 7, 25, 56, 80, 63, 1;
0, 1, 8, 33, 88, 160, 192, 127, 1;
0, 1, 9, 42, 129, 280, 432, 448, 255, 1;
...
数学
T[n_,k_]:=如果[n==k,1,JacobiP[k-1,1,n-2*k-1,3]];
表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*彼得·卢什尼2021年11月25日*)
交叉参考
反对角和是奇诱导斐波那契数(A001519号).
符号交替反对角线和是斐波那契(n)-2,如A001911号.
囊性纤维变性。A000225号A001792号A050147号A050148号A055807号(三角形镜像阵列),A084938号.
关键词
非n
作者
扩展
由编辑的各个部分Petros Hadjicostas公司2021年2月12日
状态
经核准的

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