搜索： a083365-编号：a083366
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A001935号
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| 无偶数部分重复的分区数；n的分区，其中没有部分是4的倍数。
（原名M0566 N0204）
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66
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1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 22, 29, 38, 50, 64, 82, 105, 132, 166, 208, 258, 320, 395, 484, 592, 722, 876, 1060, 1280, 1539, 1846, 2210, 2636, 3138, 3728, 4416, 5222, 6163, 7256, 8528, 10006, 11716, 13696, 15986, 18624, 21666, 25169, 29190, 33808, 39104, 45164
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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还有n个分区的数量，其中没有任何部分出现超过三次。
此外，其中最小部分和连续部分之间的差为至多3的n的分区的数目。例如：a（5）=6，因为我们有[4,1]、[3,2]、[3,1,1]、[2,2,1]、[2,1,1]和[1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年4月19日
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参考文献
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A.Cayley，《椭圆函数变换回忆录》，数学论文集。卷。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第9卷，第128页。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，《组合计数》，纽约威利出版社，1983年，（2.5.2）。
M.D.Hirschhorn，《q的力量》，施普林格出版社，2017年。参见第303ff页。
R.Honsberger，《数学宝石III》，M.A.A.，1985年，第241页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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乔治·安德鲁斯，欧拉的“无分割数字”，公牛。阿默尔。数学。Soc.，44（2007年第4期），561-573。（见第9条。）
乔治·安德鲁斯，双色分区的分区标识《哈代-拉马努扬期刊》，哈代-拉马努扬学会，2021年，纪念斯里尼瓦萨·拉马努詹的特别纪念卷，2021，44，第74-80页。hal-03498190。见第75页定理1.4。
克里斯蒂娜·巴伦丁（Cristina Ballantine）和米尔恰·梅尔卡（Mircea Merca），算术级数中分区数和平方和的奇偶性《拉马努扬日报》，2016年。
A.凯利，椭圆函数变换回忆录《伦敦皇家学会哲学学报》（1874）：397-456；数学论文集。卷。伦敦剑桥大学出版社，1889-1897年，1-13页，收录于第9卷。【第126-129页注释扫描。】
A.Fink、R.K.Guy和M.Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年）。
亚历山大·帕特科夫斯基（Alexander Patkowski），在某些分区上，甚至部分都不重复《数学演示》第42卷第2期（2009年6月），第259-263页。
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配方奶粉
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周期4序列[1，1，1，0，…]的欧拉变换。
q^（-1/8）*eta（q^4）/eta（q）的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年3月19日
psi（-x）/phi（-x）=psi（x）/phi（-x^2）=psi-迈克尔·索莫斯2011年7月8日
G.f.：乘积（j>=1，1+x^j+x^（2*j）+x^（3*j））-乔恩·佩里2004年3月30日
G.f.：产品{k>=1}（1+x^k）^（2-k%2）-乔恩·佩里2005年5月5日
通用公式：乘积{k>0}（1+x^（2*k））/（1-x^，2*k-1）=1+和{k>0}（乘积{i=1..k}（x^i+1）/（x^-i-1））。
G.f.：求和{n>=0}（x^（n*（n+1）/2）*乘积{k=1..n}（1+x^k）/（1-x ^k））-乔格·阿恩特2011年4月7日
G.f.：P（x^4）/P（x）其中P（x）=产品{k>=1}1-x^k-乔格·阿恩特2011年6月21日
G.f.：（1+1/G（0））/2，其中G（k）=1-x^（2*k+1）-x^；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月3日
通用公式：exp（总和{n>=1}（x^n/n）/（1+（-x）^n））-保罗·D·汉纳2013年7月24日
a（n）~Pi*BesselI（1，sqrt（8*n+1）*Pi/4）/-瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年8月23日，2017年1月14日延期
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（256 t））=1/2 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A082303号. -迈克尔·索莫斯2017年9月30日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+6*x^5+9*x^6+12*x^7+16*x^8+22*x^9+。。。
G.f.=q+q^9+2*q^17+3*q^25+4*q^33+6*q^41+9*q^49+12*q^57+16*q^65+22*qq^73+。。。
a（5）=6，因为我们有[5]、[4,1]、[3,2]、[3,1,1]、[2,1,1]和[1,1,1,1]。
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MAPLE公司
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g： =乘积（（1+x^j）*（1+x^（2*j）），j=1..50）：gser:=系列（g，x=0,55）：seq（系数（gser，x，n），n=0..48）#Emeric Deutsch公司2006年4月19日
#第二个Maple项目：
带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，加（a（n-j）*add(
`如果`（irem（d，4）=0，0，d），d=除数（j），j=1..n）/n）
结束时间：
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数学
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a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[2，0，q]/椭圆Theta[2,Pi/4，q^（1/2）]/（16 q）^（1/8），{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
a[n]：=系列系数[乘积[1-x^k，{k，4，n，4}]/乘积[1-x^k、{k，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月8日*）
表[计数[整数分区@n，x_/！成员Q[Mod[x，4]，0，2]]，{n，0，49}](*罗伯特·普莱斯2020年7月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（eta（x^4+x*O（x^n））/eta（x+x*0（x^n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（总和（k=0，（平方（8*n+1）-1））\2，乘积（i=1，k，（1+x^i）/（x^-i-1），1+x*O（x^n））），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年6月1日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（exp（总和（m=1，n+1，x^m/（1+（-x）^m+x*O（x^n））/m）），n）}\\保罗·D·汉纳2013年7月24日
（哈斯克尔）
a001935=p a042968_列表，其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000009号,A000726号,A001936号,A035959号,A035985号,A042968号,A061198型,A061199型,A070048号,A081055型,A081056号,A083365号,A098491号,A098492号,A219601型.
r=2到12的r-规则分区数：A000009号,A000726号,A001935号,A035959号,A219601型,A035985号,A261775型,A104502年,A261776型,A328545型,A328546型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A079006号
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| q^（-1/4）*（eta（q）*eta（q^4）^2/eta（q^2）^3）^2的q次幂展开。 |
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+10
24
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1, -2, 5, -10, 18, -32, 55, -90, 144, -226, 346, -522, 777, -1138, 1648, -2362, 3348, -4704, 6554, -9056, 12425, -16932, 22922, -30848, 41282, -54946, 72768, -95914, 125842, -164402, 213901, -277204, 357904, -460448, 590330, -754368, 960948, -1220370
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 2
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评论
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参考文献
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A.Cayley，《椭圆函数变换回忆录》，数学论文集。卷。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第9卷，第128页。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；等式（34.3）。
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链接
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A.凯利，椭圆函数变换回忆录《伦敦皇家学会哲学学报》（1874）：397-456；数学论文集。卷。伦敦剑桥大学出版社，1889-1897年，1-13页，收录于第9卷。[第126-129页的注释扫描]
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配方奶粉
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q^（-1/4）*（1/2）*k^（1/2）的q次幂展开式，其中k^2是参数，q是椭圆函数的Jacobi nome。
（1/（2*q））*（1-sqrt（k'））/（1+sqrt。参见Fricke参考。
psi（x^2）/phi（x）的膨胀=psi（x）^2/φ，f（）是Ramanujan theta函数。
周期4序列的欧拉变换[-2，4，-2，0，…]。
G.f.A.（x）满足A（x）^2=A（x^2）/（1+4*x*A（x*2）^2）-迈克尔·索莫斯2004年3月19日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q，B（q^2）），其中f（u，v）=u^2*（1+4*v^2）-v-迈克尔·索莫斯2005年7月9日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年7月9日
通用公式：（产品{k>0}（1+x^（2*k））/（1+x^（2%k-1））。
连续部分的扩展1/（1-x^2+（x^1+x^3）^2/（1-x^6+（x^2+x^6）^2/（1-x^10+（x^3+x^9）^2/…））以x^4的幂-迈克尔·索莫斯2005年9月1日
给定g.f.A（x），则B（q）=2*q*A（q^4）满足0=f（B（q，B（q^3）），其中f（u，v）=（1-u^4）*（1-v^4）-（1-u*v）^4-迈克尔·索莫斯2006年1月1日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16 t））=（1/2）G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是G.fA189925号.
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x^（k+1/2）+（x^；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月2日
a（n）~（-1）^n*exp（Pi*sqrt（n））/（2^（7/2）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年7月4日
连分式1/（1-x^1+x^1*（1+x^1）^2/以x^2的幂-迈克尔·索莫斯2017年4月20日
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例子
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G.f.A（x）=1-2*x+5*x^2-10*x^3+18*x^4-32*x^5+55*x^6-90*x^7+144*x^8+。。。
G.f.B（q）=q*A（q^4）=q-2*q^5+5*q^9-10*q^13+18*q^17-32*q^21+55*q^25-90*q^29+。。。
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数学
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a[n]：=系列系数[乘积[（1+x^（k+1））/（1+x^k），{k，1，n，2}]^2，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月8日*）
a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ[q]}，级数系数[（m/16/q）^（1/4），{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月8日*）
nmax=50；系数列表[系列[积[（1+x^（2*k））^4/（1+x^k）^2，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年7月4日*）
a[n_]：=级数系数[QPochhammer[x^4]^2/QPochharmer[-x]^2，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2017年4月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（n，a）；如果（n<0，0，n=（平方（16*n+1）+1））；a=contfracpnqn（矩阵（2，n，i，j，如果（i==1，如果（j<2，1+O（x^）}/*迈克尔·索莫斯，2005年9月1日*/
（PARI）{a（n）=my（a，m）；如果（n<0，0，a=1+O（x）；m=1；while（m<=n，m*=2；a=subst（a，x，x^2）；a=sqrt（a/（1+4*x*a^2）））；polcoff（a，n））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x+a）*eta（x^4+a）^2/eta（x2+a））^2，n））}；
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A029838号
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| q的平方根乘以Gamma（4）的归一化Hauptmodule的q^8次幂的展开。 |
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+10
23
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1, 1, -1, 0, 1, 0, -1, -1, 2, 1, -2, -1, 2, 1, -3, -1, 4, 2, -5, -2, 5, 2, -6, -3, 8, 4, -9, -4, 10, 4, -12, -6, 15, 7, -17, -7, 19, 8, -22, -10, 26, 12, -30, -13, 33, 14, -38, -17, 45, 21, -51, -22, 56, 24, -64, -29, 74, 33, -83, -36, 92, 40, -104, -46, 119, 53, -133, -58, 147, 63, -165, -73, 187, 83, -208, -90, 229, 99, -256
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第221页条目1（i）。
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链接
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W.杜克，连分式和模函数，公牛。阿默尔。数学。Soc.42（2005），137-162；见公式（9.1）、（9.3）。
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配方奶粉
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f（x）/f（-x^4）=phi（x）/psi（x）=psi（x）/psi（x^2）=φ（-x*2）/psi。
q^（1/8）*eta（q^2）^3/（eta（q）*eta（q^4）^2）的q次幂展开。
周期4序列[1，-2，1，0，…]的欧拉变换。
给定g.f.A（x），则B（q）=A（q^8）/q满足0=f（B（q，B（q^2）），其中f（u，v）=4+v^4-u^4*v^2-迈克尔·索莫斯2006年3月2日
给定g.f.A（x），则B（q）=A（q^8）/q满足0=f（B（q，B（q^3）），其中f（u，v）=u^4-v^4-4*u*v+u^3*v^3-迈克尔·索莫斯2006年3月2日
给定g.f.A（x），则B（q）=A（q^8）/q满足0=f（B（q），B（q^2），B（q^4）），其中f（u，v，w）=2+w^2-u^2*v*w-迈克尔·索莫斯2006年3月2日
给定g.f.A（x），则B（q）=A（q^8）/q满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2006年3月2日
G.f.A.（x）满足A（x）^2=（A（x^4）+2*x/A（x^3））/A（x*2）-迈克尔·索莫斯2004年3月8日
G.f.A.（x）满足A（x）=（A（x^2）^2+4*x/A（x^ 2）^2）（1/4）-乔格·阿恩特2011年8月6日
通用公式：乘积{k>0}（1+x^（2*k-1））/（1+x ^（2*k））=（和{k>0}x^。
通用格式：1+x/（1+x+x^2/（1+x^2+x^3/（1+x^3+…）））。
G.f.：2-2/（1+Q（0）），其中Q（k）=1+x^（k+1）+x ^（k+1）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月2日
G.f.：（-x；x^2）_{1/2}，其中（a；q）_n是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月20日
abs（a（n））~平方（sqrt（2）+（-1）^n）*exp（Pi*平方（n）/2^（3/2））/（4*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年2月7日
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例子
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G.f.=1+x-x^2+x^4-x^6-x^7+2*x^8+x^9-2*x^10-x^11+2*x^12+。。。
G.f.=1/q+q^7-q^15+q^31-q^47-q^55+2*q^63+q^71-2*q^79-q^87+。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[QPochhammer[-q，q^2]QPochharmer[q^2，q^4]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月20日*）
a[n_]：=级数系数[QPochhammer[-q，-q]/QPochharmer[q^4，q^4]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月20日*）
a[n_]：=级数系数[q^（1/8）椭圆Theta[2,0，q^[1/2）]/椭圆Theta[2]，0，q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，（1+x^k）^（-（-1）^k），1+x*O（x^n）），n））}；
（PARI）{a（n）=my（a）；if（n<0，0，a=contfracpnqn（矩阵（2，（sqrtint（8*n+1）+1）\2，i，j，if（i==1，x^（j-1），1+if（j>1，x^（j-1））））；polcoeff（a[1，1]/a[2，1]+x*O（x^n），n）}/*迈克尔·索莫斯2006年3月2日*/
（PARI）{a（n）=我的（a，m）；如果（n<0，0，a=1+O（x）；m=1；while（m<=n，m*=2；a=子集（a，x，x^2）；A2=子集；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^3/eta（x+a）/eta（x^4+a）*2，n））}；
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A092869号
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| Ramanujan-Goellnitz-Gordon的系列扩张延续了分数。 |
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+10
16
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1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -2, 2, -1, 0, 2, -3, 2, 0, -2, 4, -4, 0, 4, -6, 5, 0, -6, 9, -6, 0, 7, -12, 9, 0, -10, 16, -13, 0, 15, -22, 17, 0, -20, 29, -21, 0, 25, -38, 28, 0, -32, 50, -39, 0, 43, -64, 49, 0, -56, 82, -60, 0, 69, -105, 78, 0, -86, 132, -101, 0, 112, -166, 125, 0, -142, 208, -153, 0, 172, -258, 192, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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Glaisher（1876）写道“XIII.tan（pi/16）=（e^（-pi/2）-e^（-3 pi/2）-e（-15 pi/2）+e（-21 pi/2）+e（-45 pi/2）-&c）/（1-e（-6 pi/2）-e（-10 pi/2）+1e（-28 pi/2）+2（-36 pi/2）-&c），…”其中分子是q*f（-q^2，-q^14），分母是f（-q ^ 6，-q^10），其中q=e^（-pi/2）-迈克尔·索莫斯，2012年6月22日
伯恩特写道：“[…]v=q^（1/2）f（-q，-q^7）/f（-q^3，-q*5）。然后v=q*^（1/2）/（1+q+q^2/（1+q^3+q^4/（1+q^5+q^6/（1+/x^7+…）））。（1.1）”-迈克尔·索莫斯2012年7月9日
雅各比写道：“（7.）（1-sqrt（k'））/（1+sqrt-迈克尔·索莫斯2012年9月11日
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag；参见第221页条目1（ii），等式（1.1）。
J.W.L.Glaisher，《身份，数学信使》，5（1876），111-112。参见公式XIII
C·G·J·雅各比（C.G.J.Jacobi），《克里奥尔Bd.26（1843），93-114=Gesammelte Werke，Bd.1》，1881，343-368。
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链接
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W.杜克，连分式和模函数，公牛。阿默尔。数学。Soc.42（2005），137-162；参见公式（9.2）、（9.4）。
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配方奶粉
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f（-x，-x^7）/f（-x^3，-x*5）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的一般θ函数-迈克尔·索莫斯2011年8月2日
（phi（x）-phi（x^2））/（2*x*psi（x^4））=2*psi（x^4）/（phi（x）+phi（x^2））以x的幂展开，其中phi（），psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年2月15日
q^（-1）*（1-sqrt（k'））/（1+sqrt-迈克尔·索莫斯，2012年9月11日
周期8序列的欧拉变换[1，0，1，0，1,0，-1，0，…]。
G.f.A（x）同时满足A（-x）*A（x”）=A（x^2）和x*A（x）^2=B（x*A“x^2”），其中B（x）=x*（1-x）/（1+x）。
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^2）满足0=f（B（x。
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^2）满足0=f（B（x，B（x^3）），其中f（u，v）=（1-u*v）*（u+v）^3-v*（1+v^2）*（1-u^4）-迈克尔·索莫斯2006年2月15日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^2）满足0=f（B（x，B（x^5）），其中f（u，v）=（u-v）*（1+u*v）^5-u*（1-u^4）*（1+v^2）*（1-6*v^2+v^4）-迈克尔·索莫斯2006年2月15日
通用公式：产品{k>=0}。
G.f.=连分数1/（1+x+x^2/（1+x^3+x^4/（1+/x^5+x^6/（1+5x^7+…）））。的卷积逆A111374号.
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例子
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G.f.=1-x+x^3-x^4+x^5-2*x^7+2*x^8-x^9+2*x^11-3*x^12+。。。
G/f.=q-q^3+q^7-q^9+q^11-2*q^15+2*q^17-q^19+2*qq^23+。。。
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数学
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a[n_]：=系列系数[QPochhammer[x，x^8]QPochharmer[x^7，x^8]/（QPochhamer[x^3，x^8]Q赭锤[x^5，x^8%），{x，0，n}](*迈克尔·索莫斯2011年8月2日*）
a[n_]：=系列系数[EllipticTheta[2,0，x^2]/（Elliptic Theta[3，0，x]+EllipticaTheta[3,0，x^2]），{x，0，n+1/2}](*迈克尔·索莫斯2011年8月2日*）
a[n_]：=系列系数[乘积[（1-q^k）^KroneckerSymbol[8，k]，{k，n}]，{q，0，n}](*迈克尔·索莫斯，2012年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛a（n）=局部（a，u，v）；如果（n＜0，0，n＝2*n+1；a＝x；forstep（k＝3，n，2，u＝a+x*O（x^k）；v＝subst（u，x，x^2）；a-＝x^k*polcoeff（u^2-v+v*u^2+v^2，k+1）/2）；polcoeff（a，n）｝
（PARI）{a（n）=局部（a，m）；如果（n<0，0，a=1+O（x）；m=1；while（m<=n，m*=2；a=x*subst（a，x，x^2）；a=sqrt（a*（1-a）/（1+a）/x））；polcoff（a，n））}
（PARI）{a（n）=局部（a，A2）；如果（n<0，0，a=eta（x^8+x*O（x^n））^2/eta
（PARI）｛a（n）=局部（a，A2）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；a=eta（x+a）*eta（x^4+a）^2/eta（x^2+a）^3；A2=subst（a，x，x^2）；polcoeff（2*a^2*A2^2/（a^2+A2），n）｝
（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；Vec（prod（k=1，N，（1-x^k）^kronecker（2，k））\\Seiichi Manyama先生2019年9月24日
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma1（16），1/2），159）；LS<q>：=LaurentSeriesRing（RationalField（））；A[3]/A[2]/*迈克尔·索莫斯，2018年8月31日*/
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A111374号
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| Goellnitz-Gordon倒数的级数展开继续分数。 |
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1, 1, 1, 0, 0, -1, -1, 0, 1, 2, 1, 0, -2, -3, -2, 0, 3, 4, 4, 0, -4, -6, -5, 0, 5, 9, 6, 0, -8, -12, -9, 0, 12, 16, 13, 0, -14, -22, -17, 0, 18, 29, 21, 0, -26, -38, -28, 0, 34, 50, 39, 0, -42, -64, -49, 0, 53, 82, 60, 0, -70, -105, -78, 0, 90, 132, 101, 0, -110, -166, -125, 0, 137, 208, 153, 0, -174, -258, -192, 0, 217
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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杨2004年表一中列出的15个广义eta商中的第15个-迈克尔·索莫斯2014年8月7日
与同余子群Gamma（2）和Gamma_1（8）的交集相关的函数场的生成器（Hauptmodule）。【杨2004】-迈克尔·索莫斯2014年8月7日
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链接
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配方奶粉
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以x的幂展开1+x+x^2/（1+x^3+x^4/（1+x^5+x^6/（1+x^7+…））。
设qf（a，q）=乘积（1-a*q^j，j=0..无穷大）；g.f.是qf（q^3，q^8）*qf（q ^5，q ^8）/。
（phi（x）+phi（x^2））/（2*psi（x^4））=2*x*psi（x^4）/（phi（x）-phi（x^2））的x次幂展开，其中phi（），psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年2月15日
f（-x^3，-x^5）/f（-x，-x*7）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的双变量θ函数-迈克尔·索莫斯2012年3月8日
周期8序列的欧拉变换[1，0，-1，0，-1,0，1，0，…]-迈克尔·索莫斯2012年3月8日
给定g.f.A（x），则B（q）=A（q^2）/q满足0=f（B（q，B（q^ 2）），其中f（u，v）=u^2*（v-1）-v*（v+1）-迈克尔·索莫斯2013年10月22日
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例子
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G.f.=1+x+x^2-x^5-x^6+x^8+2*x^9+x^10-2*x^12-3*x^13-2*x^14+。。。
G.f.=1/q+q+q^3-q^9-q^11+q^15+2*q^17+q^19-2*q^23-3*q^25+。。。
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MAPLE公司
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M： =100；qf:=（a，q）->mul（1-a*q^j，j=0..M）；t2:=qf（q^3，q^8）*qf（q ^5，q ^8）/（q f（q，q ^ 8）*q f（q*7，q*8））；系列（%，q，M）；系列列表（%）；
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数学
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a[n_]：=系列系数[乘积[（1-x^k）^-KroneckerSymbol[2，k]，{k，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2012年7月8日*）
a[n_]：=系列系数[QPochhammer[x^3，x^8]QPochharmer[x ^5，x^8]/；(*迈克尔·索莫斯2012年7月8日*）
a[n_]：=系列系数[（椭圆Theta[3，0，x]+椭圆Theta[3]，0，x ^2]）/椭圆Theta[2，0、x ^2],{x，0，n-1/2}]；(*迈克尔·索莫斯2012年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a，A2）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；a=eta（x+a）*eta（x^4+a）^2/eta（x ^2+a）|3；A2=子集（a，x，x^2）；极坐标（（a^2+A2）/（2*a^2*A2^2），n））}/*迈克尔·索莫斯2012年3月8日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，（1-x^k+x*O（x^n））^-kronecker（2，k）），n））}/*迈克尔·索莫斯2012年7月8日*/
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A001937年
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| （psi（x^2）/psi（-x））^3的x次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数。
（原名M2785 N1120）
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1, 3, 9, 22, 48, 99, 194, 363, 657, 1155, 1977, 3312, 5443, 8787, 13968, 21894, 33873, 51795, 78345, 117312, 174033, 255945, 373353, 540486, 776848, 1109040, 1573209, 2218198, 3109713, 4335840, 6014123, 8300811, 11402928, 15593702, 21232521, 28790667, 38884082
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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A.Cayley，《椭圆函数变换回忆录》，数学论文集。卷。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第9卷，第128页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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A.凯利，椭圆函数变换回忆录《伦敦皇家学会哲学学报》（1874）：397-456；数学论文集。卷。伦敦剑桥大学出版社，1889-1897年，1-13页，收录于第9卷。【第126-129页注释扫描】
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配方奶粉
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q^（-3/8）*（eta（q^4）/eta（q））^3的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2012年7月26日
周期4序列的欧拉变换[3,3,3，0，…]-迈克尔·索莫斯2011年3月6日
G.f.：（产品{k>0}（1+x^（2*k））/（1-x^）（2*k-1））^3。
a（n）~3^（1/4）*exp（sqrt（3*n/2）*Pi）/（16*2^（3/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年11月15日
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例子
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1+3*x+9*x^2+22*x^3+48*x^4+99*x^5+194*x^6+363*x^7+657*x^8+。。。
q^3+3*q^11+9*q^19+22*q^27+48*q^35+99*q^43+194*q^51+363*q^59+。。。
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MAPLE公司
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g100：=mul（（1+x^（2*k））/（1-x^）（2*k-1）），k=1..50）^3：
S： =系列（g100，x，101）：
seq（系数（S，x，j），j=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔，2015年11月30日
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数学
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系数列表[系列[产品[（1-x^k）^（-3*Boole[Mod[k，4]！=0]），{k，1，101}]，{x，0，100}]，x]（*Olivier GERARD，2009年5月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^4+a）/eta（x+a））^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月6日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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2009年5月6日，Olivier GERARD审核了更多条款
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状态
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经核准的
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A187053号
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| （psi（x^2）/psi（x））^3的x次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数。 |
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1, -3, 9, -22, 48, -99, 194, -363, 657, -1155, 1977, -3312, 5443, -8787, 13968, -21894, 33873, -51795, 78345, -117312, 174033, -255945, 373353, -540486, 776848, -1109040, 1573209, -2218198, 3109713, -4335840, 6014123, -8300811, 11402928
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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A.Cayley，《椭圆函数变换回忆录》，数学论文集。卷。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第9卷，第128页。
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链接
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A.凯利，椭圆函数变换回忆录《伦敦皇家学会哲学学报》（1874）：397-456；数学论文集。卷。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，收录于第9卷。【第126-129页注释扫描】
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配方奶粉
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q^（-3/8）*（eta（q）*eta（q^4）^2/eta（q^2）^3）^3的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[-3，6，-3，0，…]。
G.f.：（产品_｛k>0｝（1+x^（2*k））/（1+x^（2*k-1））^3。
a（n）~（-1）^n*3^（1/4）*exp（sqrt（3*n/2）*Pi）/（16*2^（3/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年11月15日
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例子
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G.f=1-3*x+9*x^2-22*x^3+48*x^4-99*x^5+194*x^6-363*x^7+。。。
G.f.=q^3-3*q^11+9*q^19-22*q^27+48*q^35-99*q^43+194*q^51+。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[x^4]/QPochharmer[-x]）^3，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2015年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x+a）*eta（x^4+a）^2/eta（x2+a））^3，n））}；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A195861号
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| （psi（x）/phi（x））^5的x次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujanθ函数。 |
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1, -5, 20, -65, 185, -481, 1165, -2665, 5820, -12220, 24802, -48880, 93865, -176125, 323685, -583798, 1035060, -1806600, 3108085, -5276305, 8846884, -14663645, 24044285, -39029560, 62755345, -100004806, 158022900, -247710570, 385366265
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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A.Cayley，《椭圆函数变换回忆录》，数学论文集。卷。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第9卷，第128页。
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链接
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A.凯利，椭圆函数变换回忆录《伦敦皇家学会哲学学报》（1874）：397-456；数学论文集。卷。伦敦剑桥大学出版社，1889-1897年，1-13页，收录于第9卷。[第126-129页的注释扫描]
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配方奶粉
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q^（-5/8）*（eta（q）*eta（q^4）^2/eta（q^2）^3）^5的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[-5，10，-5，0，…]。
通用格式：（产品{k>0}（1+x^（2*k））/（1+x ^（2*k-1））^5。
a（n）~（-1）^n*5^（1/4）*exp（sqrt（5*n/2）*Pi）/（64*2^（3/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月27日
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例子
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G.f.=1-5*x+20*x^2-65*x^3+185*x^4-481*x^5+1165*x^6-2665*x^7+。。。
G.f.=q^5-5*q^13+20*q^21-65*q^29+185*q^37-481*q^45+1165*q^53-2665*qq^61+。。。
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数学
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a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[（m/16）^（5/8），{q，0，n+5/8}]]；
a[n]：=系列系数[乘积[（1+x^（k+1））/（1+x^k），{k，1，n，2}]^5，{x，0，n}]；
a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[-x^2，x^2]/QPochharmer[-x，x^2]）^5，{x，0，n}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x+a）*eta（x^4+a）^2/eta（x2+a））^5，n））}；
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A307462型
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| 乘积{k>=1}的展开（1+x^k）^（（-1）^k*k^2）。 |
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+10
5
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1, -1, 5, -14, 36, -97, 246, -593, 1423, -3351, 7699, -17432, 38901, -85545, 185862, -399220, 848080, -1783682, 3716584, -7675916, 15722127, -31951330, 64452707, -129102947, 256876062, -507854808, 997954125, -1949631802, 3787674152, -7319306458, 14071371173
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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该序列是从中的广义欧拉变换获得的A266964型取f（n）=（-1）^（n+1）*n^2，g（n）=-1。
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链接
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配方奶粉
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a（n）~（-1）^n*exp（2*Pi*n^（3/4）/3+3*Zeta（3）/（4*Pi^2））/（4*n^（5/8））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年4月9日
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[积[（1+x^k）^（（-1）^k*k^2），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2019年4月9日*）
nmax=40；系数列表[系列[乘积[（1+x^（2*k））^（4*k^2）/（1+x^（2*k-1））^2），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年4月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；Vec（prod（k=1，N，（1+x^k）^（（-1）^k*k^2））
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交叉参考
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1, 1, -2, -2, 0, 1, 2, 0, 0, -1, -4, 0, 1, 0, 6, 2, 0, 1, -8, 0, 0, 0, 12, 0, -1, -1, -18, -4, 0, -1, 24, 0, 0, 2, -32, 0, 0, 1, 44, 6, 0, -2, -58, 0, 0, -1, 76, 0, 1, 2, -100, -8, 0, 1, 128, 0, 0, -3, -164, 0, 0, -1, 210, 12, 0, 4, -264, 0, 0, 2, 332, 0, -1, -5, -416, -18, 0, -2, 516, 0, 0, 5, -640, 0, -1, 2, 790, 24
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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配方奶粉
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周期24序列的欧拉变换[1，-3，0，-1，1，-1，0，0，-3，1，-4，1，-3，0-，0，1，-1-，0-。
a（12*n+4）=a（12*n+7）=a。
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例子
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G.f.=1+x-2*x ^2-2*x ^3+x ^5+2*x*6-x ^9-4*x ^10+x ^12+6*x ^14+。。。
G.f.=q^-3+q^-1-2*q-2*q^3+q^7+2*q^9-q^15-4*q^17+q^21+6*q^25+。。。
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数学
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a[n]：=系列系数[QPochhammer[-x，x^2]QPochhammer[x^2，x^4]^2 QPochhammer[x^3，x^6]QPochhammer[x^4，x^8]QPochhammer[-x^6，x^12]^2 QPochhammer[x^12，x^24]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月25日*）
a[n_]：=系列系数[QPochhammer[-x^12，x^24]QPochharmer[x^24，x^48]+x QPochhamer[-x^4，x^8]QPochammer[x^8，x^16]-2 x^2 QPochhanmer[x ^16]/QPochchammer[2 x^4]-2 x^3 QPochammer[x-48]/QPochhammer[-x^12]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^4*eta（x^3+a）*eta；
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