搜索： a070322-编号：a070323
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1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, 122, 145, 170, 197, 226, 257, 290, 325, 362, 401, 442, 485, 530, 577, 626, 677, 730, 785, 842, 901, 962, 1025, 1090, 1157, 1226, 1297, 1370, 1445, 1522, 1601, 1682, 1765, 1850, 1937, 2026, 2117, 2210, 2305, 2402, 2501
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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n X n非负矩阵A是本原矩阵（参见A070322号)如果A^k的每个元素对于某个幂k都是>0。如果A是本原的，那么应该具有所有正项的幂是<=n^2-2n+2（Wielandt）。
a（n）=Phi_4（n），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
由于x=2n+1/x的正解是x=n+sqrt（a（n）），sqrt的连分式展开式是{n；2n，2n，2-n，…}-贝诺伊特·克洛伊特2001年12月7日
a（n）比它的邻域的算术平均值小一：a（n）=（a（n-1）+a（n+1））/2-1。例如，2=（1+5）/2-1，5=（2+10）/2-1-阿玛纳斯·穆尔西，2003年7月29日
等价地，sqrt（a（n））的连分式展开式为（n；2n，2n，…）-弗兰兹·弗拉贝克2006年1月23日
超八面体群中避免符号置换的{12,1*2*，21}个数。
从n×n网格的一个角开始，不需要抬起铅笔就可以画出边1的正方形数是n^2-2n+2-塞巴斯蒂安·杜莫蒂埃2005年6月16日
此外，数字m使m^3-m^2是一个正方形，（n*（1+n^2））^2-扎克·塞多夫
1 + 2/2 + 2/5 + 2/10 + ... = Pi*coth Pi[Jolley]，参见A113319号. -加里·亚当森2006年12月21日
对于n>=1，a（n-1）是n个集合中的最小选择数，即至少有一个特定元素被选择了n次或n个元素中的每个元素被选择至少一次。一些游戏这样定义“比赛”；例如，在经典的帕克兄弟（Parker Brothers）（现为孩之宝（Hasbro））棋盘游戏风险中，a（2）=5是三种可用类型（套牌）的牌数，需要保证至少一张三种不同类型或三种相同类型的牌匹配（忽略任何小丑或通配符）-里克·L·谢泼德2007年11月18日
方程X^3+（X-1）^2+X-2=Y^2的解的正X值。为了证明X=n^2+1:Y^2=X^3+-穆罕默德·布哈米达2007年11月29日
对于n>0，连分式[n，n]=n/a（n）；例如，[5,5]=5/26-加里·亚当森2010年7月15日
对于m=2*n，p=p（n）=-（sqrt（A（n））-n）和A=A（n）=（fallfac（p（n（x，k）：=产品{j=0..k-1}（x-j）（下降阶乘）。见T.Koshy参考文献，第263-4页（正p也有两种解决方案，见A087475型). -Wolfdieter Lang公司2010年10月21日
n+sqrt（a（n））=[2*n；2*n，2*n…]，带周期1的正则连分式。这是两败俱伤。一般情况见A087475型和施罗德的参考和评论。有关奇数情况，请参见A078370型.
a（n-1）计算2Xn条带上非攻击主教的配置[Chaiken等人，Ann.Combin.14（2010）419]-R.J.马塔尔2011年6月16日
如果h（5,17,37,65101，…）是素数，则h^2-1可以被24整除-文森佐·利班迪2014年4月14日
a（n）也是在经典意义上同时避免213和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见2004年2月有关增加严格二叉树的更多信息-曼达·里尔2014年8月7日
a（n-1）是Gale-Shapley算法中的最大阶段数，用于在给定每个元素偏好顺序的两组n个元素之间找到稳定匹配（参见Gura等人）-梅尔文·佩拉尔塔2016年2月7日
由于费马的小定理，a（n）永远不能被3整除-阿尔图·阿尔坎2016年4月8日
对于n>0，如果一个（n）点位于一个n X n正方形内，则通常情况下，至少有两个点之间的距离小于或等于sqrt（2）个单位-梅尔文·佩拉尔塔2017年1月21日
此外，在简化k=n后，单峰多项式（1-q^（n*k+1））/（1-q）的极限为q->1^-。单峰多项式来自O'Hara对大小小于等于1的分区进行限制后对q-多项式单峰的证明。参见arXiv:1711.11252中的G_1（n，k）。随着尺寸限制s的增加，G_s->G_infinity=G：q-多项式。然后代入k=n和q=1得出中心二项式系数：A000984号. -布莱恩·T·埃克2018年4月11日
a（n）是1,2，…，的置换数，。。。，n+1，只有一个简化分解-施瑞德2022年12月22日
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参考文献
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S.J.Cyvin和I.Gutman，《苯系烃中的Kekulé结构》，《化学讲义》，第46期，施普林格，纽约，1988年（见第120页）。
E.Gura和M.Maschler，《博弈论的洞察力：另类数学经验》，剑桥，2008年；第26页。
托马斯·科西（Thomas Koshy），《斐波纳契和卢卡斯数及其应用》（Fibonacci and Lucas Numbers with Applications），约翰·威利父子公司（John Wiley and Sons），纽约，2001年。
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链接
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S.Chaiken等人。，矩形地带的无攻击皇后区，arXiv:1105.5087[math.CO]，2011年。
R.M.Green和Tianyuan Xu，简单缀饰Weyl群的2根，arXiv:2204.09765[math.RT]，2022年。
C.Homberger和V.Vatter，多项式置换类的有效自动计数，arXiv:1308.4946[math.CO]，2013年。
L.B.W.Jolley，级数求和多佛，1961年，第176页。
T.Mansour和J.West，避免双字母签名模式，arXiv:math/0207204[math.CO]，2002年。
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配方奶粉
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出生日期：（1-x+2*x^2）/（1-x）^3）-埃里克·沃利2011年6月27日
偏移量为0的形式为a（n）=n^2+K的序列具有o.g.f.（K-2*K*x+K*x^2+x+x^2）/（1-x）^3和递推式a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a*（n-3）-R.J.马塔尔，2008年4月28日
对于n>1，a（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-2）^2+（a（n）+n-1+a（n）+n）^2=（n+1）*（6*n^4+18*n^3+26*n^2+19*n+6）/6=（a（n）+n）^2+…+（a（n）+2*n）^2-查理·马里恩2011年1月10日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+2。
a（n）=a（n-1）+2*n-1。（结束）
a（n）=（n-1）^2+2（n-1-杰森·金伯利2011年10月20日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+1。更一般地说，a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k）+1）+k^2-1-乔恩·佩里，2012年8月1日
a（n）=（n！）^2*[x^n]贝塞尔I（0，2*sqrt（x））*（1+x）-彼得·卢什尼2012年8月25日
例如：exp（x）*（1+x+x^2）-杰弗里·克雷策2013年8月30日
产品{n>=0}（1+1/a（n））=sqrt（2）*csch（Pi）*sinh（sqrt）*Pi）。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=Pi*csch（Pi）。（结束）
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例子
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G.f.=1+2*x+5*x^2+10*x^3+17*x^4+26*x^5+37*x^6+50*x^7+65*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数量理论[分圆]（4，n）；
结束进程：
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..50]]中的[n^2+1:n//文森佐·利班迪2011年5月1日
（哈斯克尔）
a002522=（+1）。(^ 2)
a002522_list=扫描（+）1[1，3..]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A059592号,2008年12月1日,A132411号,A132414号,A028872号,A005408号,A000124号,A016813号,A086514号,A000125号,A058331号,A080856号,A000127号,A161701型-A161704年,A161706型,A161707型,A161708号,A161710号-A161713号,A161715年,A006261号.
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关键词
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非n,容易的
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布尔关系矩阵R是收敛的，当R^k=R^（k+1）对于所有足够大的k。换句话说，当R的周期等于1。R的有向图是这样的：它的所有最大循环网都是本原的(A070322号)若R收敛。请参阅Rosenblatt链接。此外，R是收敛的，如果每个对角块的Frobenius正规形式是本原矩阵或1 X 1零矩阵，Gregory、Kirkland和Pullman的定理1.1。
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链接
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D.A.Gregory、S.Kirkland和N.J.Pullman，幂收敛布尔矩阵《线性代数及其应用》，第179卷，1993年1月15日，第105-117页。
E.de Panafieu和S.Dovgal，符号方法与有向图枚举，arXiv:1903.099454[math.CO]，2019年。
罗宾逊，对强分量有限制的有向图计数《组合数学与图论》，1995年（T.-H.Ku编辑），《世界科学》，新加坡（1995年），第343-354页。
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配方奶粉
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求和{n>=0}a_n*x^n/（n！*2^二项式（n，2））=1/（E（x）@exp（-（p（x）-1+x）），其中E（xA070322号（n） x^n/n！@是指数Hadamard产品（参见Panafieu和Dovgal）。
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等价地，a（n）是[n]上的二元关系R的个数，对于[n]中的所有x，y，如果（x，y）在R中，则[n]有一个z，使得（x，z）和（z，y）都在R中。具有此性质的关系有时称为稠密关系。
几乎所有的关系都很紧密。
一个关系是幂等的，当且仅当它既是传递的又是稠密的。传递关系R是稠密的（因此是幂等的）当且仅当不存在一对无边分量（C_1，C_2），使得C_1在G（R）的凝聚中覆盖了C_2。这里，G（R）是与R相关联的有向图（允许有自循环）。G（R。参见Schein参考。
如果R包含在R^2中，则R中的最大循环网是本原的(A070322号)因此R是收敛的，即R的周期等于1。此外，R收敛到其传递闭包，因此R的指数最多为n。参见Rosenblatt参考-杰弗里·克雷策2023年9月5日
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链接
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B.M.Schein，幂等二元关系的构造，程序。日本科学院。，第46卷，第3期（1970年），第246-247页。
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配方奶粉
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极限{n->oo}a（n）/2^（n^2）=1。
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例子
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a（2）=13，因为除了{{0,1}，{0,0}}，}{0,0，}{1,0}}，{0,1，}，，{0}，1,0}之外，[2]上的所有16个二进制关系都是稠密的。
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数学
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表[B=元组[{0，1}，nn]，nn]；subsetQ[矩阵1_，矩阵2_]：=
应用[And，Map[！MemberQ[#，1]&，matrix1-matrix2]]；选择[B，subsetQ[#，Clip[#.#]]&]//长度，{nn，0，4}]
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设A是[n]上带周期k的强连通二元关系。然后k等于G（A）中与A相关联的有向图（允许自循环）中循环长度的最大公约数（GCD）。参见Ki-Hang-Kim参考文献第5.2节。此外，k等于所有整数e>=1的GCD，这样G（A^e）至少有一个自循环。参见Schwarz链接中的定理6.6。此外，对于G（A）中的每一对顶点x，y，从x到y的有向游动的长度是同余模k。参见Brualdi和Ryser参考文献中的引理3.4.1。最后，{A^i:i>=1}中的幂等元是等价关系~定义为：对于[n]中的所有x，y，x~y，如果G（A）中的xy链的长度与0模k同余。等价关系~将[n]精确地分为k个块。参见Schwarz链接中的定理7.3。
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参考文献
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R.Brualdi和H.Ryser，组合矩阵理论，剑桥大学出版社，1991年，第53-96页。
Ki Hang Kim，布尔矩阵理论与应用，Marcel Dekker，1982年，第177-226页。
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链接
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配方奶粉
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T（n，n）=（n-1）！统计简单循环的关系。
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例子
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三角形开始。。。
1;
3, 1;
139, 3, 2;
25575, 103, 12, 6;
18077431, 4815, 230, 60, 24;
...
T（4.3）=12。设A是[4]上的强连通关系，其邻接矩阵为{{0,0,0,1}，{0,0，0,1}，{1,0,0}，}。很容易检查A的周期是否为3。此外，G（A）包含两个长度为3的循环，因此其循环长度的GCD为3。此外，{A^i:i>=1}包含对应于集合分区{1,2}{3}{4}的等价关系。在与A相同的同构类中有12个关系，因此T（4,3）=12。
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1986年1月
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| {1,2，…，n}上二元关系R的个数，使得R的传递闭包是平凡关系。 |
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1, 1, 4, 144, 25696, 18082560, 47025585664, 450955726792704, 16260917603754029056, 2253010420928564535951360, 1219004114245442237742488879104, 2601909995433633381004133738019815424, 22040854392120341022554569447470527813779456
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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对于n>=2，a（n）是[n]上强连通二元关系的个数-杰弗里·克雷策2023年12月4日
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例子
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a（2）=4，因为在{1,2}上有四个关系，它们的传递闭包是{（1,1），（1,2），（2,1），，（2,2）}。它们是三个非及物关系{（1,2），（2,1）}，{（1.2），（2.1）。
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数学
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需求[“Combinatorica`”]；
f[list_]：=应用[Plus，表[MatrixPower[list，n]，{n，1，长度[list]}]；
连接[{1}，表[Length[Select[Map[Flatten，Map[f，Tuples[Strings[{0，1}、n]，n]]，FreeQ[#，0]&]]，{n，1，4}]]
（*第二个节目：*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，With[{triv=matnk[n，2^n^2-1]}，Sum[Boole[triv==transitiveClosure[matnk[n，k]]]，{k，0，2^n ^2-1}]]；matnk[n_，k_]：=分区[整数位数[k，2，n^2]，n]；传递闭包[x_]：=固定点[符号@（#+Dot[#，x]）&，x，长度@x]; (*迈克尔·索莫斯2012年3月8日*）
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经核准的
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评论
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等价地，a（n）是其Frobenius范式使得所有对角块都是本原的布尔关系矩阵的数目(A070322号)并且所有非对角块都是0块。见格雷戈里、柯克兰、普尔曼。
收敛二元关系R的极限是等价关系，当G（R）中的每个顶点和每条边都在一个圈上时，其中G（R。
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链接
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D.A.Gregory、S.Kirkland和N.J.Pullman，幂收敛布尔矩阵《线性代数及其应用》，第179卷，1993年1月15日，第105-117页。
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配方奶粉
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数学
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nn=13；B[n_]：=2^二项式[n，2]n！；primitive=选择[Import[“网址：https://oeis.org/A070322号/b070322.txt“，”表格“]，
长度@#==2&][[全部，2]]；pr[x_]：=总计[原始表[x^i/i！，{i，0，6}]]；表[n！，{n，0，nn}]系数列表[Series[Exp[pr[x]-1]，{x，0，nn}]，x]
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等价地，a（n）是收敛布尔关系矩阵的个数，其Frobenius范式使得所有对角块都是本原的(A070322号).
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D.A.Gregory、S.Kirkland和N.J.Pullman，幂收敛布尔矩阵，《线性代数及其应用》，第179卷，1993年1月15日，第105-117页。
E.de Panafieu和S.Dovgal，符号方法与有向图枚举，arXiv:1903.09454[math.CO]，2019年。
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配方奶粉
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和{n>=0}a_n*x^n/（2^n*二项式（n，2））=1/（E（x）@exp（-（p（x）-1）），其中E（xA070322号，@是指数Hadamard乘积（参见Panafieu和Dovgal）。
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数学
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nn=6；B[n_]：=2^二项式[n，2]n！；pr[x_]：=总计[原始表[x^i/i！，{i，0，6}]]；ggf[egf_]：=正常[序列[egf，{x，0，nn}]/。
表[x^i->x^i/2^二项式[i，2]，{i，0，nn}]；表[B[n]，{n，0，nn}]系数列表[Series[1/ggf[Exp[-（pr[x]-1）]]，{x，0，nn}]，x]
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交叉参考
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评论
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一个收敛关系R是极限支配的，如果[n]中的所有x，y都有以下蕴涵。如果（x，y）在R中，则在G（R）中存在从x到y的循环遍历，其中G（R是带有与R相关联的循环的有向图。
关系R是极限支配的，如果它收敛到最小传递关系L(A006905号)包含R。在这种情况下，L是所有i>=1的R^i的并集-杰弗里·克雷策2023年12月3日
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D.A.Gregory、S.Kirkland和N.J.Pullman，幂收敛布尔矩阵《线性代数及其应用》，第179卷，1993年1月15日，第105-117页。
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作者
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A370385
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| 按行读取的三角形数组。T（n，k）是[n]上二元关系R的个数，使得{R^i:i>=1}中的唯一幂等关系是一个包含k个强连通分量的拟序。 |
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1, 1, 3, 4, 139, 66, 48, 25575, 9280, 3072, 1536, 18077431, 4498530, 1174800, 322560, 122880
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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E.de Panafieu和S.Dovgal，符号方法与有向图枚举，arXiv:1903.09454[math.CO]，2019年。
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配方奶粉
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求和{n>=1}求和{k=1..n}T（n，k）*y^k*x^n/（n！*2^二项式（n，2））=1/（E（x）@exp（-s（x，y）））其中E（xA367948型.
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例子
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三角形开始：
1;
1;
3, 4;
139, 66, 48;
255759280、3072、1536；
18077431、4498530、1174800、322560、122880；
...
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数学
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nn=5；B[n_]：=n！2^二项式[n，2]；s[x_，y]：=y x+（3 y+y^2）x^2/2！+（139年+3年^2+2年^3）x^3/3！+（25575年+103年2月+12年3月+6年4月）x^4/
4! + （18077431年+4815年2+230年3+60年4+24年5）x^5/5；
ggf[egf_]：=正常[序列[egf，{x，0，nn}]/。表[x^i->x^i/2^二项式[i，2]，{i，0，nn}]；映射[Select[#，#>0&]&，表[B[n]，{n，0，nn}]系数列表[
序列[1/ggf[Exp[-s[x，y]]]，{x，0，nn}]，{x，y}]]
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交叉参考
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关键词
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非n,更多,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A363834型
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| [n]上的标记有向图的数量（允许自循环），使得大小至少为2的每个强连通分量都包含一个具有自循环的顶点。 |
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+10
0
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1, 2, 15, 452, 58023, 31083662, 66296957895, 554842541248592, 18340342731323665263, 2411916363098805776251322, 1266238008719333748929247025455, 2657054767893996575723268008873476172, 22295054304671836968688374028608806896204023
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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E.de Panafieu和S.Dovgal，符号方法与有向图枚举，arXiv:1903.09454[math.CO]，2019年。
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配方奶粉
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求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！*2^二项式（n，2））=1/（E（x）@exp（-（sm（x）-1+x）），其中E（x*A003030美元（n） *x^n/n！@是指数Hadamard产品（参见Panafieu和Dovgal）。
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例子
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a（2）=15，因为[2]上有16个带自循环的标记有向图，除[1->2,2->1]外，其余都是好的。
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数学
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nn=12；B[n_]：=2^二项式[n，2]n！；strong=选择[导入[“网址：https://oeis.org/A003030号/b003030.txt“，”表格“]，长度@#==2&][[All，2]]；sm[x_]：=总计[表格[2^n-1，{n，1，长度[strong]}]strong表格[x^i/i！，{i，1，58}]]；ggf[egf_]：=Normal[Series[egf，{x，0，nn}]/。
表[x^i->x^i/2^二项式[i，2]，{i，0，nn}]；表[B[n]，{n，0，nn}]系数列表[Series[1/ggf[Exp[-（sm[x]+x）]]，{x，0，nn}]，x]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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