搜索: a285549-编号:a285599
|
|
A002997号
|
| Carmichael数:复合数k,使得a ^(k-1)==1(mod k)对于k的每个a互素。 (原名M5462)
|
|
+10 337
|
|
|
561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 530881, 552721
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
V.Šimerka在Carmichael之前25年发现了这个序列的前7项(参见链接和K.Conrad的评论)-彼得·卢什尼2019年4月1日
k是复合的和无平方的,对于p素,pk=>p-1k-1。
奇数复合数k是一个伪素数,以a为基iff a^(k-1)==1(mod k)。Carmichael数是一个奇数复合数k,它是一个伪素数,以A为基数,对每个数从素数到k。
复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的,并且p-1对每个素数p除以k除以k-1(Korselt,1899)
Ghatage和Scott利用费马的小定理证明了(a+b)^k==a^k+b^k(modk)(新生的梦想)恰好是当k是素数时(A000040型)或者卡迈克尔号码-乔纳森·沃斯邮报2005年8月31日
Alford等人用10333229505个素因子构造了一个Carmichael数,并用m个素因子构建了3到19565220之间的Carmichale数-乔纳森·沃斯邮报2012年4月1日
Thomas Wright证明了对于N中的任何数b和M,其中gcd(b,M)=1,存在无限多个Carmichael数k,使得k==b(mod M)-乔纳森·沃斯邮报2012年12月27日
复合数k相对素数到1^(k-1)+2^(k-1)+…+(k-1)^(k-1)-托马斯·奥多夫斯基2013年10月9日
如果k是Carmichael数并且gcd(b-1,k)=1,那么根据Steuerwald定理,(b^k-1)/(b-1)是基b的伪素数;请参阅中的参考A005935号. -托马斯·奥多夫斯基2016年4月17日
所有Carmichael数的序列可以定义为:a(1)=561,a(n+1)=最小组合k>a(n),这样对于每个素数p<=n+2,p^k==p(modk)-托马斯·奥多夫斯基2017年4月24日
整数m>1是一个Carmichael数,当且仅当m是无平方的,并且它的每一个素数p都满足s_p(m)>=p和s_p。对于每个素因子p,锐界p<=a*sqrt(m)保持不变,a=sqrt(17/33)=0.7177……参见Kellner和Sondow 2019-伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月3日
奇复合数m是一个Carmichael数,当m除以分母(Bernoulli(m-1))时。商是324977美元参见Pomerance、Selfridge和Wagstaff,第1006页,以及Kellner和Sondow关于伯努利数的章节-乔纳森·桑多2019年3月28日
Ore(1948)将这些数字称为“具有费马特性的数字”,或者简称为“F数字”。
也称为“绝对伪素数”。根据埃尔德(Erdős)(1949)的说法,这个词是由D.H.Lehmer创造的。
由Beeger(1950)以美国数学家Robert Daniel Carmichael(1879-1967)的名字命名。(结束)
对于前10000项的末尾数字1、3、5、7、9,我们分别看到80.3、4.1、7.4、3.8和4.3%的分配。为什么偏爱结束数字“1”-比尔·麦克阿欣2021年7月16日
似乎对于任意m>1,模m的Carmichael数的余数都偏向1。模4,6,8,…等于1的项数。。。,前10000个术语中有24个:9827、9854、8652、8034、9682、5685、6798、7820、7880、3378和8518-宋嘉宁2021年11月8日
Alford、Granville和Pomerance在1994年的论文中推测,类似于Bertrand假设的陈述可以应用于Carmichael数。丹尼尔·拉森(Daniel Larsen)已经证明了这一点,请参阅下面的链接-大卫·詹姆斯·桑莫尔2023年1月17日
|
|
参考文献
|
N.G.W.H.Beeger,《关于每一个素数对N的a^N==1(mod N)的复合数N》,《数学脚本》,第16卷(1950年),第133-135页。
Albert H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,多佛出版公司,纽约,1966年,表18,第44页。
David M.Burton,《初等数论》,第五版,McGraw-Hill,2002年。
CRC标准数学表和公式,第30版,1996年,第87页。
理查德·盖伊,《数论中未解决的问题》,A13。
Ø伊斯坦矿石,《数论及其历史》,麦格劳-希尔出版社,1948年,多佛出版社,1988年再版,第14章。
Paul Poulet,《Fermat pour le module 2 jusqu'á100.000.000,Sphinx(布鲁塞尔),第8卷(1938年),第42-45页。
Wacław Sierpinski,《数论问题精选》。纽约麦克米伦出版社,1964年,第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
W.R.Alford、Jon Grantham、Steven Hayman和Andrew Shallue,通过改进的子乘积算法构造Carmichael数《计算数学》,第83卷,第286期(2014年),第899-915页,arXiv预印本,arXiv:12036664v1[math.NT],2012年3月29日。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance,有无限多的卡迈克尔数数学安。(2) 139(1994),第3期,703-722。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance(1994年)。"关于寻找可靠证人的困难“计算机科学课堂讲稿8771994,第1-16页。
John D.Brillhart、N.J.A.Sloane和J.D.Swift,通信,1972年。
R.D.卡迈克尔,关于一个新数论函数的注记,公牛。阿默尔。数学。《判例汇编》第16卷(1910年),第232-238页。
K.A.Draziotis、V.Martidis和S.Tiganourias,乘积子集问题:在数论和密码学中的应用,arXiv:2002.07095[math.NT],2020年。另请参见第5章《分析、密码学和信息科学》,《世界科学》(2023年),第108页。
Gerhard Jaeschke,卡迈克尔数到10^12,数学。公司。,第55卷,第191号(1990年),第383-389页。
D.H.Lehmer,Poulet表勘误表,数学。公司。,25号(1971),944-945。25 944 1971.
Carl Pomerance、J.L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff,Jr。,伪素数为25*10^9,数学。公司。,第35卷,第151期(1980年),第1003-1026页。
|
|
配方奶粉
|
总和{n>=1}1/a(n)位于区间(0.004706,27.8724)(Bayless和Kinlaw,2017)。Kinlaw(2023年)将上限降至0.0058-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月26日,2024年2月24日
|
|
MAPLE公司
|
过滤器:=进程(n)
局部q;
如果isprime(n),则返回false fi;
如果2&^(n-1)mod n<>1,则返回false fi;
如果不是numtheory:-issqrfree(n),则返回false fi;
对于numtheory:-factorset(n)do中的q
如果(n-1)mod(q-1)<>0,则返回假fi
日期:
真实;
结束进程:
选择(过滤器,[seq(2*k+1,k=1..10^6)])#罗伯特·伊斯雷尔2014年12月29日
isA002997:=n->0=modp(n-1,数字理论:-lambda(n)),而不是isprime(n)和n<>1:
选择(isA002997,[1..10000])#彼得·卢什尼2019年7月21日
|
|
数学
|
病例[范围[1100000,2],n_/;Mod[n,CarmichaelLambda[n]]==1&&!PrimeQ[n]](*阿图尔·贾辛斯基2008年4月5日;次要编辑来自扎克·塞多夫2011年2月16日*)
选择[Range[1,600001,2],CompositeQ[#]&&Mod[#,CarmichaelLambda[#]]==1&](*哈维·P·戴尔2023年7月8日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)Korselt(n)=我的(f=系数(n));对于(i=1,#f[,1],如果(f[i,2]>1||(n-1)%(f[i,1]-1),返回(0));1
isA002997(n)=n%2&&!isprime(n)&&Korselt(n)&&n>1\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)是_A002997号(n,F=factor(n)~)={#F>2&&!foreach(F,F,(n%(F[1]-1)==1&&F[2]==1)||return)}\\不需要检查奇偶校验:如果需要效率,只扫描奇数-M.F.哈斯勒,2012年8月24日,编辑于2022年3月24日
(哈斯克尔)
a002997 n=a002997_列表!!(n-1)
a002997_list=[x|x<-a024556_list,
all(==0)$map((mod(x-1))。(减1)$a027748_当前x]
(岩浆)[n:n in[3..53*10^4 by 2]|非IsPrime(n)和n mod CarmichaelLambda(n)eq 1]//布鲁诺·贝塞利2012年4月23日
(圣人)
定义为Carmichael(n):
如果n==1或is_even(n)或is_prime(n):
返回False
因子=因子(n)
对于因子中的f:
如果f[1]>1:返回False
如果(n-1)%(f[0]-1)!=0:
返回False
return True
打印(如果是Carmichael(n),则[n代表(1..20000)中的n])#彼得·卢什尼2019年4月2日
(Python)
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime,factorint
p、 q=3,5
为True时:
对于范围(p+2,q,2)内的n:
f=因子(n)
如果max(f.values())==1,而不是任何((n-1)%(p-1),对于f中的p):
产量n
p、 q=q,下一素数(q)
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A001567号,A002445号,A002322号,A006931号,A024556号,A027748号,A055553号,A064238号-A064262号,A083737号,A087441号,A087442号,A135717号,A141711号,A153581号,A225498型,A285512型,A285549型,A309132型,A324290型,A324315型,A324316型,A324973型,324975英镑,324977美元,A326690型。
|
|
关键词
|
非n,美好的,改变
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
341, 1105, 1729, 29341, 29341, 162401, 252601, 252601, 252601, 252601, 252601, 252601, 1152271, 2508013, 2508013, 3828001, 3828001, 3828001, 3828001, 3828001, 3828001, 3828001, 3828001, 3828001, 3828001, 6733693, 6733693, 6733693
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
记录:341、1105、1729、29341、162401、252601、1152271、2508013、3828001、6733693、17098369、17236801、29111881、82929001、172947529、216821881、228842209、366652201-罗伯特·威尔逊v2012年5月11日
猜想:对于n>1,a(n)是最小的Carmichael数k,lpf(k)>prime(n)。这类卡迈克尔数似乎正好有三个素因子-托马斯·奥多夫斯基2017年4月18日
如果素数(n)<m<a(n),那么m是素数当且仅当p^(m-1)==1(mod m)对于每个素数p<=素数(n)-托马斯·奥多夫斯基,2018年3月5日
根据第二条评论中的这个推测,a(n)<=A135720型(n+1),当n>1时,当a(n)<a(n+1),即n=2,3,5,6,12,13,15,25,28,29。。。对于这样的n,a(n)给出了A300629型>561中-托马斯·奥多夫斯基2018年3月10日
|
|
链接
|
|
|
数学
|
k=4;Do[l=表[Prime[i],{i,1,n}];而[PrimeQ[k]||联合[PowerMod[l,k-1,k]]!={1} ,k++];打印[k],{n,1,29}]
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)isps(k,n)={if(isprime(k),return(0));my(nbok=0);对于(b=2,prime(n),if(Mod(b,k)^(k-1)==1,nbok++,break))
a(n)={my(k=2);while(!isps(k,n),k++);return(k);}\\米歇尔·马库斯2018年4月27日
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A002997号,A001567号,A052155号,A083737号,A087788号,A083739美元,A135720型,A141768号,A250199型,A271221型,A285549型,A300629型。
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A300629型
|
| a(1)=561;a(n+1)=所有自然基到lpf(a(n))的最小费马伪素数。 |
|
+10 5
|
|
|
561, 1105, 1729, 29341, 162401, 252601, 1152271, 2508013, 3828001, 6733693, 17098369, 17236801, 29111881, 82929001, 172947529, 216821881, 228842209, 366652201, 413138881, 2301745249, 2438403661, 5255104513, 5781222721, 8251854001, 12173703001, 13946829751, 15906120889, 23224518901, 31876135201, 51436355851, 57274147841, 58094662081
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
只考虑素数基就足够了:a(n+1)是最小的复合数k,使得p^(k-1)==1(mod k)对于每个素数p<=lpf(a(n)),a(1)=561。
猜想:a(n+1)是最小的Carmichael数k,使得lpf(k)>lpf(a(n)),其中a(1)=561。这类卡迈克尔数似乎正好有三个素因子。
Carl Pomerance(在给作者的信中)写道,2018年3月13日:(开始)
假设素数k-元组猜想的一种强形式,若并没有小的反例,那个么很可能并没有反例。
原因如下。
假设素数k元组,有无限多的形式为(6k+1)(12k+1)的Carmichael数(18k+1),其中每个因子都是素数。而在巴托曼霍恩,这些都是相当密集的分布。还有其他更好的三元组,如(60k+41)(90k+61)(150k+101),其中“更好”意味着最小素因子不远低于立方根。
因此,为了进入序列,一个数字需要是几乎到立方根的每个碱基的费马伪素数。
然而,这是一个定理,即具有此性质的足够大的数必须是Carmichael数。(结束)
|
|
链接
|
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
3, 5, 7, 13, 17, 41, 43, 53, 101, 109, 113, 151, 211, 281, 307, 331, 337, 461, 617, 727, 739, 827, 1033, 1301, 1481, 1531, 1723, 1901, 2161, 2351, 2381, 2633, 2647, 2801, 3371, 3931, 4933, 5653, 5743, 6791, 6917, 7561, 8059, 9521, 10369, 11503, 11551, 12161, 17579, 17839, 18433, 20593, 21061, 23581, 26731, 30241
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A294179号
|
| a(n)是具有n个素数因子的最小k,因此对于每个素数p除以k,p^k==p(modk)。 |
|
+10 0
|
|
|
2, 65, 561, 41041, 825265, 321197185, 5394826801, 232250619601, 9746347772161
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
所有条款都是自由的。所有的复合术语都奇怪吗?
猜想:序列只包含有限多个Carmichael数,A006931号如果a(n)不是Carmichael数,那么最小的n>=3是多少?对于n>=3,a(n)<=A006931号(n) ●●●●。
|
|
链接
|
|
|
MAPLE公司
|
对于k从2到10^6 do
如果numtheory:-issqrfree(k),则
ps:=数量理论:-系数集(k);
n:=nops(ps);
如果未赋值(A[n])和andmap(p->p&^k-p mod k=0,ps),则
A[n]:=k;
结束条件为
结束条件:;
结束do:
seq(A[i],i=1..max(映射(op,[索引(A)]))#罗伯特·伊斯雷尔2018年2月11日
|
|
数学
|
使用[{s=Select[Range[10^6],Function[k,AllTrue[FactorInteger[k][[All,1]],PowerMod[#,k,k]==Mod[#,k]&]]},选择[Table[SelectFirst[s,PrimeOmega@#==n&],{n,5}],IntegerQ]](*迈克尔·德弗利格2018年2月20日*)
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,更多,坚硬的
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
3, 3, 3, 5, 3, 7, 3, 3, 5, 5, 7, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 7, 3, 3, 3, 7, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 7, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 13, 3, 3, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 7, 3, 3, 13, 5, 3, 7, 3, 3, 3, 3, 3, 7, 3, 3, 3, 3, 3, 11, 3, 5, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 3, 5, 7, 5, 5, 3, 13, 3, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
每个a(n)都是一个奇素数。
如果k=A001567号(n) 是Carmichael数,则a(n)=lpf(k)。
最小的数字k=A001567号(n) 使得对于m>1,a(n)=素数(m)是341、1105、1729、75361、29341、162401、334153。。。请参见A135720型> 561.
最小的半素数是3412701?,721801, ... 囊性纤维变性。A285549型。
|
|
链接
|
|
|
例子
|
基址2的第一个费马伪素数是341,而341不是基址3的费马伪素,因此a(1)=3。
|
|
数学
|
a[p_]:=模[{m=3},而[Mod[m^(p-1),p]==1,m++];m] ;psp=选择[Range[310000000,2],CompositeQ[#]&&PowerMod[2,(#-1),#]==1&];地图[a,psp](*阿米拉姆·埃尔达尔,2018年11月19日*)
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A354692型
|
| 最小Euler-Jacobi伪素数到素数(n)-1的所有自然基,即不是基素数(n)的Euler-雅可比伪素数。 |
|
+10 0
|
|
|
9, 561, 10585, 1729, 488881, 399001, 2433601, 1857241, 6189121, 549538081, 50201089, 14469841, 86566959361, 311963097601, 369838909441, 31929487861441, 6389476833601, 8493512837546881, 31585234281457921, 10120721237827201, 289980482095624321, 525025434548260801, 91230634325542321
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
基b的Euler-Jacobi伪素数是一个奇复合数k,使得gcd(b,k)=1,Jacobi符号(.,.)满足b^((k-1)/2)==(b,k)(mod k)。
|
|
链接
|
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)a(n)=my(b,p=因子回归(素数(n-1)));对于复合(k=9,oo,如果(gcd(k,p)==1,b=2;而(Mod(b,k)^(k\2)==kronecker(b,k),b++);如果(b==素数(n),则返回(k));
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
搜索在0.011秒内完成
|